نمایش مبدأ برای دورهمی طرح و حل مساله ریاضی/مدل‌سازی شرکت‌های هرمی

این یادداشت بخشی از مجموعه [[دورهمی طرح و حل مساله ریاضی]] است.

راوی: رضا شکری و محمدامین درستی

راجع به این موضوع در ۲ جلسه بحث شد: جلسه یک شنبه ۱۸ آذرماه ۱۴۰۳ و سه شنبه ۲۰ آذرماه ۱۴۰۳

==گزارشی از مطالب کلاس==

شرح مسئله:
یک شرکت هرمی داریم که هر نفر با جذب دو نفر که بازوهای چپ و راست او می‌نامیم، موجب رشد شبکه می‌شود. اگر تعداد افراد بازوهای چپ و راست یک نفر، به عدد k برسد، آنگاه آن شخص جایزه می‌گیرد. می‌خواهیم ثابت کنیم که نسبت تعداد افرادی که جایزه می‌گیرند به کل شبکه، اکیدا کمتر از <math>\frac{1}{k + 1}</math> است.
شبکه مورد نظر را با ساختار داده [https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%B1%D8%AE%D8%AA_(%D8%B3%D8%A7%D8%AE%D8%AA%D8%A7%D8%B1_%D8%AF%D8%A7%D8%AF%D9%87) درخت] نمایش می‌دهیم و از تعاریف موجود در ساختار داده درخت نظیر ریشه، پدر، فرزند، برگ و ... استفاده خواهیم کرد. در درخت متناظر با مسئله شبکه هرمی، هر گره حداکثر دو فرزند دارد. یعنی یک [https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%B1%D8%AE%D8%AA_%D8%AF%D9%88%D8%AF%D9%88%DB%8C%DB%8C درخت دو دویی]. علاوه بر این از اصطلاح جایزه بگیر برای گره‌های که شرط مسئله را ارضا کرده‌اند و بازوهای چپ و راستشان به k رسیده است استفاده می‌کنیم.


فرض کنید که در نقطه‌ای توسعه شبکه هرمی، سه گره وجود دارد و که یک گره پدر و دو گره دیگر فرزندان چپ و راست این گره خواهند بود(همان بازوهای چپ و راست). اگر k = 1 باشد - یعنی گره‌ای که بازوهای جپ و راست او به اندازه ۱ رسیده باشد جایزه دریافت می‌کند - در این صورت تنها گره فرزند جایزه می‌گیرد و نسبت جایزه بگیران به کل شبکه برابر <math>\frac{1}{3}</math> می‌شود که کمتر از <math>\frac{1}{2}</math> است. توجه کنید در هر حالت دیگری با سه گره و هر مقدار kای، حکم مسئله نقض نمی‌شود. حال بنا داریم این موضوع را به طور کلی اثبات کنیم.


روشی برای علامت زدن یک درخت ارائه می‌دهیم: ابتدا تمام رئوسی که پدر آن‌ها جایزه بگیر است ولی خودشان جایزه بگیر نیستند را علامت می‌زنیم. اگر در یک زیر درخت، راس علامت خورده‌ای وجود نداشت، تمام رئوس آن زیر درخت را حذف می‌کنیم. بنابراین در درخت جدید، تمامی برگ‌ها علامت خورده هستند؛ چون در غیر این صورت باید حذف می‌شدند: خود برگ علامت نخورده و در زیردرخت آن هم برگ علامت خورده‌ای وجود ندارد(زیر درختی ندارد) بنابراین باید حذف می‌شد.
حال یک راسی که برگ نیست و جایزه بگیر است را در نظر بگیرید. این راس باید حداقل دو فرزند داشته باشد؛ وگرنه یکی از زیردرخت‌های این راس در گراف اولیه راس علامت دار نداشته است. 
در گراف دودویی تعداد برگ‌ها برابر است با تعداد رئوس درجه ۲ بعلاوه ۱. 
اثبات با استفاده از [https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D8%B3%D8%AA%D9%82%D8%B1%D8%A7 استقرا]

پایه استقرا: برای درختی که تک راس باشد حکم مسئله برقرار است. تعداد برگ‌ّها = ۱ و تعداد رئوس درجه ۲ = ۰.
فرض کنیم حکم برای درختی با n - 1 راس صحیح باشد. در یک درخت n راسی، یک برگ را به دلخواه حذف می‌کنیم. اگر با حذف این برگ پدرش برگ شد، تعداد برگ‌ها و درجه ۲ ها تغییری نمی‌کند و حکم مسئله بنا به استقرا صحیح است. اگر پدرش درجه ۲ بود، از تعداد برگ‌ها و تعداد درجه ۲ها هرکدام یک واحد کاسته می‌شود و همچنان حکم مسئله صحیح است.

تعریف می‌کنیم:
y = تعداد جایزه بگیرها + تعداد سایر رئوس درجه ۲ + ۱
x = تعداد رئوس علامت‌داری که در درخت اصلی، در زیر درختشان هیچ علامت‌دار دیگری نیست.
و طبق حکم ثابت کرده داریم: y + 1 ≤ x و در نتیجه y ≤ x -  1.
هرکدام از این xها، زیردرختی با حداقل k راس داشته‌اند، وگرنه نمی‌توانستند فرزند یک جایزه بگیر باشند. پس n ≥ xk + y. بنابراین اگر yتا جایزه بگیر داریم، حداقل xk + y راس داریم. و از آنجایی که y + 1 ≤ x پس حداقل y + 1) * y + k)  راس داریم. پس نسبت جایزه بگیران به کل رئوس <math>\frac{y}{(y + 1) * y + k}</math> است که اکیدا کمتر از <math>\frac{1}{k + 1}</math> است.

==مطالب تکمیلی==
این مطالعه به بررسی دینامیک مالی طرح های هرمی، به ویژه تمرکز بر طرح هرمی "5.03" در هونان، چین می پردازد. با استفاده از ''تکنیک های تحلیل شبکه اجتماعی (SNA)''، از جمله تحلیل موتیف ها و مدل های گراف تصادفی نمایی، این تحقیق با هدف کشف ویژگی های عملیاتی و ویژگی های ریزساختاری طرح های هرمی، که تهدیدات قابل توجهی برای ثبات اقتصادی ایجاد می کنند، انجام شده است.

طرح های هرمی با جذب اعضا از طریق وعده بازده برای ثبت نام دیگران به جای فروش قانونی عمل می کنند. دولت چین این طرح ها را به طور گسترده تعریف می کند و بر ماهیت مخرب آنها برای نظم اقتصادی تاکید می کند. طرح "5.03" نمونه ای از مدل طرح هرمی جنوبی است که به دلیل شیوه های فریبنده خود در چین محبوبیت پیدا کرده است.
===روش ها===
این مطالعه از دو تکنیک اصلی SNA استفاده می کند:
====تحلیل موتیف ها====
این روش زیرگراف های مکرر را در شبکه شناسایی می کند تا تعاملات سطح میکرو و ویژگی های ساختاری را آشکار کند.
====مدل های گراف تصادفی نمایی====
این رویکرد بررسی می کند که چگونه روابط مالی در شبکه، به ویژه بین اعضای مختلف جامعه، شکل می گیرد.
===نتایج===
تحلیل یک شبکه جریان مالی پراکنده با ساختار هرمی معمولی را نشان می دهد. یافته های کلیدی عبارتند از:

پویایی جامعه: جریان های مالی در جوامع خاص متمرکز هستند، با حداقل تعامل بین گروه های مختلف.

نقش عضو جدید: اعضای جدید در موقعیت های بحرانی در شبکه قرار دارند و اغلب به دلیل نقش مرکزی خود در جذب و معاملات مالی، هدف تعقیب قرار می گیرند.

===فرمول تحلیل موتیف ها===
تجزیه و تحلیل موتیف با استفاده از فرمول زیر کمی می شود:

<math display=block>Z_i = \frac{N_{\text{obs}} - \langle N_{\text{rand}} \rangle}{\text{std}(\sigma_{\text{rand}})}</math>
{\text{std}(\sigma_{\text{rand}})}
<math></math>
به طوری که:
<math>N_obs</math> فرکانس مشاهده شده یک زیرگراف است، <math>{\langle N_{\text{rand}} \rangle} </math> فرکانس مورد انتظار در یک شبکه تصادفی است، <math>{\text{std}(\sigma_{\text{rand}})}</math> انحراف استاندارد فرکانس های گراف تصادفی است.

اندازه گیری های آماری توصیفی: 

برای توصیف شبکه جریان مالی از چندین معیار کلیدی استفاده شد:

تراکم: نسبت اتصالات واقعی به اتصالات ممکن.

فاصله متوسط: میانگین تعداد مراحل در کوتاه ترین مسیرها برای تمام جفت های ممکن گره های شبکه.

اتصال: معیاری از سهولت دسترسی گره ها به یکدیگر در شبکه.    

- گذرندگی: نسبت مثلث های بسته به تمام مثلث های ممکن در شبکه.

تمرکز درجه: معیاری که نشان می دهد اتصالات چقدر در اطراف گره های خاصی متمرکز هستند.
===نتیجه گیری===
این مطالعه با تجزیه و تحلیل کمی شبکه های جریان مالی آنها، درک طرح های هرمی را افزایش می دهد. این مطالعه نشان می دهد که این طرح ها به دلیل وابستگی آنها به استخدام مداوم برای دوام مالی، در نهایت منجر به فروپاشی سیستمیک در صورت کاهش شرکت کنندگان جدید می شوند. بینش های حاصل از این تحقیق می تواند استراتژی هایی را برای رسیدگی و کاهش تأثیر طرح های هرمی بر جامعه اطلاع دهد.

==مطالعه بیش‌تر==

اگر کتاب، مقاله یا صفحه اینترنتی مربوطی وجود دارد این‌جا معرفی کنید.

[[رده:دورهمی طرح و حل مساله ریاضی]]