نمایش مبدأ برای راهنمای استفاده از فیلتر دیجیتال در متلب/فیلتر دیجیتال

{{سرصفحه
 | عنوان = فیلتر دیجیتال
 | قسمت =
 | قبلی = [[راهنمای استفاده از فیلتر دیجیتال در متلب/باز کردن ابزارها|باز کردن ابزارها]]
 | بعدی = [[راهنمای استفاده از فیلتر دیجیتال در متلب/ویژگی‌ها|ویژگی‌ها]]
 | یادداشت = [[راهنمای استفاده از فیلتر دیجیتال در متلب]]
}}
مهم‌ترین نکته در فیلترهای دیجیتال پاسخ فیلتر است که با توجه به آن؛ فیلتر می‌تواند پایین گذر، بالاگذر، میان‌گذر یا میان نگذر باشد.

برای ایجاد فیلترهای مختلف باید ضرایب حاصل از Z آن‌ها را در قسمت ضرایب فیلتر دیجیتال تنظیم کرد تا یک فیلتر مناسب پدید آید.

[[پرونده:فیلتردیجیتال 8.jpg|200px|قاب|وسط]]

با توجه به اینکه پاسخ فیلتر بر حسب دسی‌بل بیان شده است، در جدول زیر انرژی و بهره سیگنال متناسب با دسی‌بل ذکر شده است:

[[پرونده:فیلتردیجیتال 9.jpg|200px|قاب|وسط|جدول]]

برای به دست آوردن فرکانس سیگنال ورودی از روی ضرایب آن کافی است به روش زیر عمل شود:

<math>f = \frac {1}{(sample time) \times (sample per period)}</math>

و برای به دست آوردن<math>\omega</math> خواهیم داشت:

<math>\omega =\frac{ 2\pi}{(sample time) \times (sample per period)}</math>

=== فیلتر پایین گذر ===
در این قسمت با تنظیم ضرایب صورت و مخرج فیلتر، یک فیلتر پایین‌گذر می‌سازیم.

[[پرونده:فیلتردیجیتال 10.jpg|200px|قاب|وسط]]

[[پرونده:فیلتردیجیتال 11.jpg|200px|قاب|وسط]]

شکل صفر و قطب‌های آن به صورت زیر خواهد بود:

[[پرونده:فیلتردیجیتال 12.jpg|200px|قاب|وسط]]

ضرایب سینوسی‌های ورودی در اینجا به گونه‌ای تنظیم شده‌اند که فیلتر یکی از آن‌ها را عبور دهد و دیگری را ندهد.

[[پرونده:فیلتردیجیتال 13.jpg|200px|قاب|وسط]]

که شکل مدار و خروجی‌های آن به صورت زیر خواهند بود:

[[پرونده:فیلتردیجیتال 14.jpg|200px|قاب|وسط]]

با توجه به اینکه فیلتر پایین‌گذر است سیگنال با فرکانس پایین را عبور داده و سیگنال با فرکانس بالا را عبور نمی‌دهد. با توجه به شکل فیلتر مشاهده می‌شود که سیگنال با فرکانس بالا را تضعیف و سیگنال با فرکانس پایین را با ضریب بزرگی تقویت می‌کند.

در زیر شکل بزرگ شده نشان داده شده است.

[[پرونده:فیلتردیجیتال 15.jpg|200px|قاب|وسط]]

=== اجرای فیلتر پایین گذر در COMMAND WINDOW ===
مثال مشابهی برای فیلتر پایین گذر با استفاده از دستور filter نیز انجام شده که در زیر به صورت مختصر آمده است:

استفاده از دستور فیلتر به این صورت است:

Filter (a,b,s) که a, b, s به ترتیب ضرایب صورت و مخرج فیلتر و سیگنال مورد نظر هستند.

در این مثال دو سیگنال با فرکانس بالا و پایین تعریف شده سپس آن‌ها را با هم جمع کردیم تا یک سیگنال ترکیبی متشکل از دو سیگنال اولیه به دست آوریم. سپس سیگنال حاصله فیلتر داده شده و در انتها با توجه به اینکه سیگنال پایین گذر است، سیگنال با فرکانس بالا را حذف می‌کند.

در زیر تصاویر دستورات و اشکال خروجی آورده شده است و فایل متلب دستورات نیز ضمیمه شده‌اند.

[[پرونده:فیلتردیجیتال 16.jpg|200px|قاب|وسط]]

[[پرونده:فیلتردیجیتال 17.jpg|200px|قاب|وسط]]

[[پرونده:فیلتردیجیتال 18.jpg|200px|قاب|وسط]]

[[پرونده:فیلتردیجیتال 19.jpg|200px|قاب|وسط]]

[[پرونده:فیلتردیجیتال 20.jpg|200px|قاب|وسط]]

[[پرونده:فیلتردیجیتال 21.jpg|200px|قاب|وسط]]

در مثال زیر فیلتر شبیه یک فیلتر پایین‌گذر است ولی با توجه به اینکه در 0 dB هم فیلتر سیگنال ورودی را عبور می‌دهد، پس در سیگنال خروجی هیچ تضعیفی نخواهیم داشت و تنها تغییر آن نسبت به سیگنال ورودی تقویت سیگنال فرکانس پایین خواهد بود:

[[پرونده:فیلتردیجیتال 22.jpg|200px|قاب|وسط]]

[[پرونده:فیلتردیجیتال 23.jpg|200px|قاب|وسط]]

== فیلتر بالاگذر ==
این بار نیز مانند دفعه قبل ضرایب فیلتر را به گونه‌ای تنظیم می‌کنیم تا یک فیلتر بالاگذر پدید آید.

ضرایب سیگنال‌های ورودی و فیلتر دیجیتال به صورت زیر است:

[[پرونده:فیلتردیجیتال 24.jpg|200px|قاب|وسط]]

که با توجه به آن شکل صفر و قطب فیلتر و پاسخ آن به صورت زیر خواهد شد:

[[پرونده:فیلتردیجیتال 25.jpg|200px|قاب|وسط]]

[[پرونده:فیلتردیجیتال 26.jpg|200px|قاب|وسط]]

مدار در این قسمت به گونه‌ای طراحی شده است که دو سیگنال، یکی با فرکانس بالا و دیگری با فرکانس پایین را بگیرد و با یکدیگر ترکیب کند. سپس حاصل را به فیلتر می‌دهد و با توجه به اینکه فیلتر بالاگذر است و سیگنال با فرکانس بالا را تقویت و سیگنال با فرکانس پایین را تضعیف می‌کند، شکل مدار و خروجی آن به صورت زیر خواهد بود:

[[پرونده:فیلتردیجیتال 27.jpg|200px|قاب|وسط]]

[[پرونده:فیلتردیجیتال 28.jpg|200px|قاب|وسط]]

در مثال زیر فقط یک سیگنال به عنوان ورودی اعمال شده است که با توجه به ضرایب موج سینوسی ورودی می‌توان فرکانس آن را محاسبه کرد:

<math>f = \frac {1}{0.01 \times 100} = \frac {1}{10} = 0.1 Hz or 100mHz</math>

با دقت در پاسخ فیلتر می‌توان دید که فرکانس 100mHz در قسمتی قرار دارد که magnitude فیلتر اندکی کمتر از ۱۰^-۱۲ است که با توجه به جدول تقریبا اندازه سیگنال ۴ برابر تضعیف می‌شود (در ۲۵/۰ ضرب می‌شود).

[[پرونده:فیلتردیجیتال 29.jpg|200px|قاب|وسط]]

[[پرونده:فیلتردیجیتال 30.jpg|200px|قاب|وسط]]

[[پرونده:فیلتردیجیتال 31.jpg|200px|قاب|وسط]]

به عنوان یک مثال دیگر این بار ضرایب فیلتر را به صورت زیر تغییر می‌دهیم:

[[پرونده:فیلتردیجیتال 32.jpg|200px|قاب|وسط]]

این فیلتر با توجه به اینکه شیب بیشتری دارد فیلتر مناسب‌تری است.

=== فیلتر بالاگذر با استفاده از ضرایب قطب‌ها ===
در حالت قبلی فیلتر را با تنظیم صفرها و قطب‌ها ایجاد کرده بودیم ولی در مثال زیر فیلتر تنها با ضرایب قطب‌ها (ریشه‌های مخرج) ایجاد شده است.

[[پرونده:فیلتردیجیتال 33.jpg|200px|قاب|وسط]]

همانطور که در شکل ملاحظه می‌شود فیلتر فقط فرکانس‌های بالا را عبور داده است.

توجه شود که چون فرکانس سیگنالی که به عنوان سیگنال فرکانس پایین انتخاب شده در مقایسه با سیگنال دوم بسیار کمتر است شکل موج حاصل جمع به صورت صعودی است.

[[پرونده:فیلتردیجیتال 34.jpg|200px|قاب|وسط]]

[[پرونده:فیلتردیجیتال 35.jpg|200px|قاب|وسط]]

== فیلتر میان‌نگذر ==
این نوع فیلتر تمامی فرکانس‌ها بجز یک باند در میان آن را عبور می‌دهد.

در اینجا هم مانند قسمت‌های قبل با استفاده از ضرایب مناسب در قسمت پارامترهای فیلتر دیجیتال، یک فیلتر میان‌گذر ایجاد می‌کنیم و سپس با اعمال چند ورودی آن را آزمایش می‌کنیم.

در زیر چند نمونه از این فیلتر که با ضرایب مختلف ساخته شده است دیده می‌شود:

[[پرونده:فیلتردیجیتال 36.jpg|200px|قاب|وسط]]

[[پرونده:فیلتردیجیتال 37.jpg|200px|قاب|وسط]]

[[پرونده:فیلتردیجیتال 38.jpg|200px|قاب|وسط]]

ار بخواهیم فرکانس قطع 3dB را مورد توجه قرار دهیم با توجه به نمودار شکل بالا، که پاسخ فرکانسی فیلتر دیجیتال را نشان می‌دهد، می‌توان نوشت:

<math> f = 120 Hz </math>

و

<math> f = 350 Hz </math>

یعنی فیلتر، تمام فرکانس‌ها بجز فرکانس‌های بین این دو را عبور می‌دهد.

<math> numerator = [44 2 43] </math>

و

<math> denuminator = [35 5 2] </math>

ضرایب موج سینوسی ورودی به صورت رو به رو است:

Amplitude = ۲

Bias = ۰

Sample per period = ۱۰۰۰

Number of set samples = ۰

Sample time = ۰٫۰۰۱

پس با توجه به فرمول فرکانس آن را اینچنین می‌توان محاسبه کرد:

<math>f = \frac {1}{(1000) \times (0.001)} = 1 Hz</math>

در این فرکانس پاسخ فیلتر تقریبا 7dB است که با توجه به جدول باید سیگنال ورودی را تقریبا ۵/۲ برابر بزرگ کند.

این موضوع به همراه شکل بلوکی در زیر نشان داده شده‌اند:

[[پرونده:فیلتردیجیتال 39.jpg|200px|قاب|وسط]]

حالا اگر ضرایب ورودی را به صورت زیر تغییر دهیم خواهیم داشت:

Sample per period = ۵

Sample time = ۰٫۰۰۱

<math>f = \frac {1}{5 \times 0.001} </math>

که در این فرکانس پاسخ فیلتر تقریبا -1dB است. پس فیلتر دامنه سیگنال ورودی را در ۰٫۸۹ ضرب می‌کند. این امر در شکل زیر که خروجی را به ازای ضرایب جدید سینوسی نشان می‌دهد به خوبی هویدا است.

[[پرونده:فیلتردیجیتال 40.jpg|200px|قاب|وسط]]

[[پرونده:فیلتردیجیتال 41.jpg|200px|قاب|وسط]]

این بار ضرایب موج ورودی را به صورت زیر تغییر می‌دهیم:

Sample per period = ۴

Sample time = ۰٫۰۰۱

پس:

<math>f = \frac {1}{4 \times 0.001}</math>

و خروجی به شکل زیر خواهد شد

[[پرونده:فیلتردیجیتال 42.jpg|200px|قاب|وسط]]

[[پرونده:فیلتردیجیتال 43.jpg|200px|قاب|وسط]]

<math>ratio = \frac {1189}{2} = 0.059</math>

پس با تقریب خوبی می‌توان گفت فیلتر این فرکانس را اصلا عبور نمی‌دهد.

این بار ضرایب ورودی را به این صورت تغییر می‌دهیم تا فرکانس سیگنال در محدوده بعد از فرکانس قطع قرار بگیرد که فیلتر عبور دهد:

Sample per period = ۲

Sample time = ۰٫۰۰۱

<math>f = \frac {1}{2 \times 0.001} = 500</math>

با توجه به فرکانس ورودی و پاسخ فیلتر انتظار می‌رود که فیلتر سیگنال را عبور دهد و همچنین تقویت کند که این امر رخ داده است:

[[پرونده:فیلتردیجیتال 44.jpg|200px|قاب|وسط]]

== فیلتر میان‌گذر ==
این نوع فیلتر همان‌طور که از اسم آن برمی‌آید بجز فرکانس‌های بین دو فرکانس خاص، هیچ فرکانسی را عبور نمی‌دهد.

این بار هم با تنظیم ضرایب یک فیلتر میان‌گذر می‌سازیم. به طور مثال:
{{چپ‌چین}}
Numerator coefficients = [۲ - ۲ - ۴۵]

Denominator coefficients = [-۳ -۱۲۱ - ۵۲۲]
{{پایان چپ‌چین}}
[[پرونده:فیلتردیجیتال 45.jpg|200px|قاب|وسط]]

یا

{{چپ‌چین}}
Numerator coefficients = [۲ - ۲ - ۴۸۳]

Denominator coefficients = [-۷ -۱۱۲۱۲۱]
{{پایان چپ‌چین}}

[[پرونده:فیلتردیجیتال 46.jpg|200px|قاب|وسط]]

در اینجا به بررسی یک فیلتر میان‌گذر به شکل زیر خواهیم پرداخت:

[[پرونده:فیلتردیجیتال 47.jpg|200px|قاب|وسط]]

پارمترهای سینوسی را اینگونه قرار می‌دهیم:

ضرایب ورودی اول

{{چپ‌چین}}
Sample per period = ۲۰۰۰

Number of offset samples = ۰

Sample time = ۰٫۰۱

<math>f = \frac {1}{2000 \times 0.01} = 50 mHz</math>
{{پایان چپ‌چین}}

[[پرونده:فیلتردیجیتال 48.jpg|200px|قاب|وسط]]

همان طور که انتظار داشتیم، فیلتر سیگنال را عبور نداد

و ضرایب ورودی دوم

{{چپ‌چین}}
Sample per period = 400

Number of offset samples = ۰

Sample time = ۰٫۰۱

<math>f = \frac {1}{400 \times 0.01} = 250 mHz</math>
{{پایان چپ‌چین}}

[[پرونده:فیلتردیجیتال 49.jpg|200px|قاب|وسط]]

به وضوح دیده می‌شود که فیلتر فرکانس 50 mHz را که کمتر از فرکانس پایین است را عبور نمی‌دهد (به شدت تضعیف کرده) ولی فرکانس ۲۵۰ را که بین فرکانس بالا و پایین فیلتر است را عبور می‌دهد.

اختلاف فاز، ناشی از مشخصه فاز فیلتر است که در شکل زیر نشان داده شده است.

[[پرونده:فیلتردیجیتال 50.jpg|200px|قاب|وسط]]

[[رده:راهنمای استفاده از فیلتر دیجیتال در متلب]]