نمایش مبدأ برای ویکی‌مدرسه/المپیاد ریاضی/دورهٔ تابستانی المپیاد ریاضی ایران/آزمون خلاقیت ۱۳۸۸/خوشهٔ نامتناهی

=صورت مسأله=

'''8. خوشهٔ نامتناهی''' (90 دقیقه)

فرض کنید برخی از رئوس شبکهٔ دو بعدی مسطح (یعنی <math>\mathbb{Z}^2</math> ) را حذف کرده‌ایم. به این نقاط به شکل یک گراف نگاه کنید؛ دو رأس به هم وصل هستند اگر در یک درایه برابر باشند و در یک درایه یک واحد اختلاف داشته باشند. به هر مؤلفهٔ هم‌بندی این گراف یک خوشه گفته می‌شود.
 
 [[پرونده:shabakeh.jpg|center]]

فرض کنید به ازای هر <math>n \in \mathbb{N} </math>  تعداد رئوس حذف‌شدهٔ داخل مربع افقی به مرکز مبدأ و به ضلع <math>2n+1</math>  کم‌تر از <math>n/2</math>  باشد. ثابت کنید رئوس حذف‌نشده شامل دقیقاً یک خوشهٔ نامتناهی است.

=حل مسأله=
ناقص است.

=پیش‌نهاداتی برای تحقیق بیش‌تر=

:1. فرض را ضعیف کنید و همان حکم را ثابت کنید: وجود دارد <math> n_0 \in \mathbb{N} </math>  که به ازای هر <math> n > n_0</math>  تعداد رئوس حذف شدهٔ داخل مربع افقی به مرکز مبدأ و به ضلع <math>2n+1 </math>  کم‌تر از <math>n/2</math>  باشد.

:2. در قسمت قبل به جای <math> n/2</math>  قرار دهید <math>\alpha n + \beta 
</math> . به ازای چه ضرایبی باز هم می‌توان نتیجه گرفت که یک خوشهٔ نامتناهی وجود دارد؟ اگر بخواهیم این خوشه یک‌تا باشد آیا باید شرایط بیش‌تری اضافه کنیم؟

:3. مسأله را در مورد شبکهٔ مثلثی و شبکه مسدسی بررسی کنید.

:4. مسأله را به شبکهٔ صحیح در فضای سه بعدی تعمیم دهید.

=نوشته‌هایی در این مورد=
شما می‌توانید در این قسمت صفحه‌ای با نام خود باز کنید و تحقیقاتی که در راستای این مسأله کرده‌اید را در معرض دید دیگران قرار دهید. لطفاً صفحهٔ خود را این‌گونه نام‌گذاری کنید: در مورد مسألهٔ «نام مسأله» (نام کامل شما).

:[[/در مورد مسألهٔ «خوشهٔ نامتناهی» (مجتبی تفاق)|در مورد مسألهٔ «خوشهٔ نامتناهی» (مجتبی تفاق)]]
[[رده:المپیاد ریاضی]]