نگاهی به ریاضیات پیشرفته/مثلثات کروی

مثلثات کروی علمی است که به بررسی روابط بین زاویه‌‌ها و اضلاع یک مثلث کروی (در هندسه نااقلیدسی) می‌پردازد. مثلثات کروی شاخه‌ای از هندسه کروی است که با توجه به روابط بین توابع مثلثاتی دو طرف و زوایای چند ضلعی کروی (به ویژه مثلث کروی)؛ محدود شده توسط تعدادی از دایره‌های بزرگ، در کره را بررسی می‌کند. کاربرد عملی مثلثات کروی در محاسبه‌ها و براوردها در نجوم رصدی، زمین‌شناسی و ناوبری، و نیز قبله یابی، بسیار مهم است.

ویژگی ها

یک مثلث کروی حاصل سه دایره عظیمه.

در این مثلث‌ها مجموع زوایای داخلی بیشتر از ۱۸۰ درجه و حداکثر ۵۴۰ درجه می‌باشد.

قوانین معمول مثلثات تخت در این مثلثات صادق نیستند.

تمام اضلاع این مثلثات باید جزو دوایر عظیمه باشند.

قوانین

قانون کسینوس‌ها

$\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,$

$\cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B,$

$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C,$

قانون سینوس‌ها

$\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}.$

فرمول چهار جزئی

$\cos a\cos C=\sin a\cot b-\sin C\cot B$

چندضلعی های کروی

چند ضلعی کروی چند ضلعی روی سطح کره است که توسط تعدادی کمان دایره بزرگ تعریف شده است که محل تلاقی سطح با صفحاتی است که از مرکز کره می گذرد. چنین چند ضلعی ممکن است هر تعداد ضلع داشته باشد. دو صفحه یک لون را تعریف می کنند که به آن " دیگون " یا دو زاویه نیز می گویند، آنالوگ دو طرفه مثلث: یک مثال آشنا، سطح منحنی قسمتی از یک پرتقال است. سه صفحه یک مثلث کروی را تعریف می کنند که موضوع اصلی این مقاله است. چهار صفحه یک چهارضلعی کروی را تعریف می کنند: چنین شکلی و چندضلعی های ضلعی بالاتر همیشه می توانند به عنوان تعدادی مثلث کروی در نظر گرفته شوند.

از این نقطه مقاله به مثلث‌های کروی محدود می‌شود که به سادگی به عنوان مثلث نشان داده می‌شوند

منابع

ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی