نگاهی به ریاضیات پیشرفته/رادیان

رادیان زاویه مرکزی مقابل به کمانی از دایره است که طول آن با شعاع دایره برابر است. یعنی زاویه مرکزیِ متناظر با محیط دایره، مساویِ  رادیان و اندازه زاویه نیم صفحه،  رادیان و اندازه زاویه قائمه،  رادیان است.

اندازهٔ بر حسب رادیان برای عملیات تحلیلی و نظری مناسب ولی برای استفاده‌های عملی نسبتاً نامناسب است، چون عدد  گنگ است. اگر از نقطه‌ای روی دایره شروع کرده پشت سر هم کمان‌های واحد یعنی کمان‌هایی به اندازهٔ ۱ رادیان جدا کنیم، هرگز به نقطهٔ شروع باز نخواهیم گشت. اما نظام اندازه‌گیری معمولی طوری طراحی شده که پس از ۳۶۰ بار کمان یک درجه‌ای، به نقطهٔ شروع برمی‌گردیم (یعنی یک دور به ۳۶۰ واحد صحیح تقسیم شده است).

کمانی از دایره با طول برابر با شعاع دایره متناظر است با زاویهٔ ۱ رادیان. دایرهٔ کامل متناظر است با $2\pi$ رادیان.

موارد زاویه و رادیان

در همهٔ موارد عملی، زاویه بر حسب واحدهایی اندازه‌گیری می‌شود که از تقسیم زاویهٔ راست (قائم) به اجزاء برابر به دست می‌آیند. اگر تعداد این اجزا ۹۰ باشد، واحد همان واحد آشنای درجه است. تقسیم زاویهٔ راست به ۱۰۰ جزء برای نظام اعشاری ما مناسب‌تر است (واحد گرادیان)، ولی آن هم معرف همین شیوهٔ اندازه‌گیری است. اما در بررسی‌های نظری بهتر است برای مشخص کردنِ اندازهٔ زاویه، از شیوهٔ اساساً متفاوتی استفاده کنیم که آن را اندازهٔ رادیانی یا اندازه بر حسب رادیان می‌نامند.

بسیاری از فرمول‌های مهمی که شامل تابع‌های مثلثاتیِ زاویه‌ها هستند، در این نظام شکل ساده‌تری دارند تا در نظام اندازه‌گیری بر حسب درجه.

بیشتر از $2\pi$ رادیان

حال سؤال اینجاست که آیا می‌توان بیشتر از  زاویه‌ای داشت؟جواب مثبت است. شما می‌توانید تا هر چقدر به گردش روی محیط دایره ادامه دهید و مقدار رادیان را زیاد کنید. نکته اینجاست که به زوایای تکراری می‌رسید. یعنی هر کدام از زوایای صفر تا$2\pi$را که با ضریبی از$2\pi$جمع کنید، برابر با همان زاویه است.

علت وجود رادیان

حتما با مفهوم درجه آشنایی دارید. درجه واحدی برای اندازه‌گیری زاویه است.یک دایره کامل برابر ۳۶۰ درجه، نیم دایره برابر ۱۸۰ درجه و ربع دایره برابر با ۹۰ درجه است.

اما تا به حال از خود پرسیده‌اید چرا یک دایره کامل را ۳۶۰ درجه می‌گوییم؟ علت چیست؟

واحد درجه از زمان‌های خیلی قدیم هم وجود داشته است و در واقع نوعی قرارداد است. اینکه چرا انسان‌های قدیمی، یک درجه را برابر با یک $\frac{1}{360}$ دایره گرفته‌اند، معلوم نیست.

برخی می‌گویند منجمان قدیم حساب کرده بودند که خورشید در هر روز به اندازه  محیط دایره جابجا می‌شود. به همین دلیل یک درجه را بدین صورت تعریف کردند.

نظر دیگری هم هست که بابلی‌ها این واحد را اختراع کردند. واحد شمارش آنها بر مبنای ۶۰ بوده (در حال حاضر بر مبنای ۱۰ است). به همین دلیل به عدد ۳۶۰ رسیده‌اند.

همان‌طور که می‌بینید، درجه مبنای درستی ندارد. دانشمندان ریاضی به این موضوع پی برده بودند. به همین دلیل سعی کردند واحدی برای زاویه بیابند که عمومی باشد.

در نتیجه رادیان به وجود آمد. پس رادیان واحدی برای اندازه‌گیری درجه است.

تبدیل رادیان به درجه

هر رادیان تقریباً برابر با ۵۷ درجه است.به عبارت دیگر هر رادیان برابر $\frac{180}{\pi }$ درجه است. بنابراین با ضرب $\frac{180}{\pi }$ در رادیان، درجه به دست می‌آید. به عبارت دیگر با ضرب زاویه بر حسب رادیان در ۱۸۰ و تقسیم آن بر عدد پی، درجه به دست می‌آید.

زاویه در درجه = زاویه در رادیان . $\frac{180}{\pi }$

به عنوان مثال:

$1\text{ rad}=1\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }\approx 57.2958^{\circ }$

$2.5\text{ rad}=2.5\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }\approx 143.2394^{\circ }$

و بلعکس: با ضرب $\frac{\pi }{180}$ در درجه، رادیان بدست می‌آید:

$1^{\circ }=1\cdot \frac{\pi }{180^{\circ }}\approx 0.0175\text{ rad}$

$23^{\circ }=23\cdot \frac{\pi }{180^{\circ }}\approx 0.4014\text{ rad}$

جدول زیر تبدیل چند زاویه پرکاربرد را نمایش می‌دهد:

درجه	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
رادیان	0	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$

منابع

ویکی‌پدیا