جریان خارجی

سرآغاز

فصل هفتم به بررسی جریان خارجی و انتقال گرما در آن می پردازد. در این فصل مسائل جابه‌جایی واداشته، با سرعت کم و بدون تغییر فاز در سیال مورد بررسی قرار می گیرد. نیروی شناوری در این فصل نقشی ندارد و جابه‌جایی واداشته حرکت نسبی بین سیال و سطح با وسایل خارجی مانند پمپ‌ها و فن‌ها تامین می‌گردد. قسمت اول این فصل به بررسی جریان خارجی در روی صفحه تخت و در قسمت بعد به بررسی جریان بر روی عرض یک استوانه می پردازد. و در قسمت های بعدتر جریان عرضی در دسته لوله ها، جت های برخورد کننده مورد کاوش و جستجو قرار می گیرد.

روابطالگو:سخ

رابطه اصلی کاربردی انتقال حرارت از طریق جابجایی بصورت زیر است:

الگو:چپ‌چین $q=h\cdot A(T-T_{\mathrm{\infty }})$ الگو:پایان چپ‌چین

h: ضریب انتقال حرارت جابجاییالگو:سخ A: مساحت سطوح تبادل حرارتالگو:سخ $T_{\mathrm{\infty }}$ : دمای سیال در فاصله بی نهایت از جسم

این رابطه به قانون سرمایش نیوتن نیز معروف است.

پرونده:Amin01.jpg

شکل لایه مرزی هیدرودینامیکی در اطراف یک سطح تخت، در اطراف استوانه و مجموعه لوله‌ها ضریب نرخ انتقال حرارت جابجایی (h) تابع پیچیده‌ای از محل قرارگیری لوله‌ها، قطر آن‌ها و اعداد بی بعد مانند Re و Pr می‌باشد.

مقایسه با مکانیک جامداتالگو:سخ

به طور کلی در الاستسیته داریم:

${\sigma }_{\text{ij}}+f_j=0$

${\sigma }_{\text{xx,x}}+{\sigma }_{\text{xy,y}}+f_x=0$

${\sigma }_{\text{yx,x}}+{\sigma }_{\text{yy,y}}+f_y=0$

به طوری که

${\sigma }_{\text{xx,x}}=\frac{\partial {\sigma }_{\text{xx}}}{\partial x}$

${\sigma }_{\text{yy}}$ , ${\sigma }_{\text{xx}}$ و ${\sigma }_{\text{xy}}$ به ترتیب تنش های نرمال در جهت y و x و تنش برشی هستند. $f_i$ نیروی حجمی مانند جرم است.

در معادلات فوق برای اکثر حالات کلاسیک Closed Form Solution داریم و معادلات از طریق روش های دقیق قابل حل‌اند.

معادلات حاکم در سیالات غیر قابل تراکم دو بعدی به صورت زیر نوشته می شود:

$\rho \frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu (\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2})$

$\rho \frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{\partial p}{\partial y}+\mu (\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2})$

$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0$

$\rho$ جرم مخصوص u,v مولفه های سرعت قائم و افقی، p فشار، $\mu$ ویسکوزیته دینامیک هستند. این معادلات در حالت کلی جواب بسته ندارند که علت اصلی مشکل حل این معادلات چه به صورت تحلیلی و چه به صورت روش های عددی (کامپیوتری) وجود ترم‌های غیر خطی یا به عبارت دیگر جملات جابجایی است. در حالت هایی که سرعت سیال خیلی ناچیز باشد (جریان سیال بسیار لزج) می توان از جملات جابجایی در مقابل جملات فشار و پخش (Diffusion) صرف نظر کرد آنگاه معادلات راحت تر حل می شوند و می‌توان جواب های بسته نیز برای آن پیدا کرد. بدین منظور طی صد سال اخیر تلاش قابل توجهی جهت حل این معادلات صرف شده است همچنین به علت نبود حل تحلیلی جامع، به یاری از نتایج کاربردی به کمک روش‌های تجربی بدست آمده و در اختیار مهندسان قرار گرفته است.

معادله دیفرانسیل انتقال حرارت جابجایی بصورت زیر نوشته می شود:الگو:سخ

$\rho C_p(u\frac{\partial T}{\partial x}+v\frac{\partial T}{\partial y})=k(\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2})$

همانطور که ملاحظه می شود برای حل معادله فوق لازم است ابتدا معادلات ناویر استوکس حل شوند و میدان سرعت (u,v) تعیین گردند در این شرایط هنوز غیر خطی بودن معادلات و ناپایداری جملات جابجایی مشکل‌زا هستند و جواب های تحلیلی محدود و بر عکس جواب‌های عددی نسبتا نامحدود ولی تقریبی خواهند بود. در این حالت هنوز استفاده از روش های تجربی جهت تعیین ضریب انتقال حرارت و ضریب اصطکاک بطور معمول بکار می‌رود و ساخت انواع دستگاه‌های اندازه‌گیری مانند PIV)Particle Image Velocimetry) یا (Laser Doppler Velocimetry (LDV درک عمیق تر و دقیق تر از پدیده‌های انتقال حرارت و انتقال ممنتوم به خصوص در جریان‌های آشفته فراهم ساخته است. به نظر می رسد در آینده نزدیک با تلاش های محققین در حل تحلیلی، عددی و بکارگیری روش های تجربی بیشتری از پدیده های انتقال در توربوماشین‌ها و سایر دستگاه‌های حرارتی-برودتی فراهم آید.

فرضیه لایه مرزی Thermal Boundary Layer Assumption

الگو:چپ‌چین $q=h\cdot A(T_s-T_{\mathrm{\infty }})$ الگو:پایان چپ‌چین

در این رابطه $T_s$ دمای سطح، $T_{\mathrm{\infty }}$ دمای سیال به اندازه کافی دور از جسم می باشد. همانگونه که قبلا نیز اشاره شد در نزدیکی جسم انتقال حرارت تنها از طریق هدایت انجام می گیرد، بنابراین:

$q=-kA\frac{\partial T}{\partial y}{|}_{\text{y=0}}$

الگو:چپ‌چین پرونده:A.N4.png الگو:پایان چپ‌چین برای محاسبه h باید معلوم کنیم الگو:چپ‌چین $\frac{\partial T}{\partial y}=?$

$h=\frac{-k\frac{\partial T}{\partial y}{|}_{\text{y=0}}}{T_s-T_{\mathrm{\infty }}}$ الگو:پایان چپ‌چین یا

الگو:چپ‌چین T=f(y)=? الگو:پایان چپ‌چین

h: ضریب انتقال حرارت جابجایی موضعی :$\frac{W}{m^{2}C}$ Local Heat Transfer Coefficient

و$\bar{h}$ ضریب انتقال حرارت متوسط است که برای صفحه تخت بصورت زیر تعریف می‌شود:

$\bar{h}=\frac{\underset{0}{\overset{x}{\int }}hdA}{\underset{0}{\overset{x}{\int }}dA}=\frac{\underset{0}{\overset{x}{\int }}h(1)dx}{\underset{0}{\overset{x}{\int }}(1)dx}$

گاهی اوقات لایه مرزی حرارتی از لبه شروع نمی شود. مثلا وقتی در اول صفحه تخت مقداری لایه عایق باشد. در این صورت لایه مرزی سرعت زودتر از لایه مرزی حرارتی شروع خواهد شد.
شکل آن در اینصورت به صورت زیر در خواهد آمد.
اگر ناحیه ξ از سطح آدیاباتیک باشد پس لایه مرزی سرعت از x=0 شروع خواهد شد و لایه مرزی حرارتی از x=ξ. طبق روابط بدست آمده از کتاب های پیشرفته داریم:
الگو:چپ‌چین پرونده:Amin100.jpg الگو:پایان چپ‌چین

برای جریان لایه ای:

$N{u}_{x_{}}=\frac{N{u}_x{|}_{\xi =0}}{{[1-{(\xi /x)}^{\frac{3}{4}}]}^{\frac{1}{3}}}$

برای جریان متلاطم:

$N{u}_{x_{}}=\frac{N{u}_x{|}_{\xi =0}}{{[1-{(\xi /x)}^{\frac{9}{10}}]}^{\frac{1}{9}}}$

ترم های $N{u}_x{|}_{\xi =0}$ در روابط بالا همان Nu در حالتی که لایه مرزی حرارتی از لبه شروع شود.(ناحیه آدیاباتیک نداشته باشیم).
از آنجاییکه برای بدست آوردن نرخ حرارت کلی نیاز به $\bar{h}$ می باشد پس از رابطه زیر استفاده می کنیم:
جریان متلاطم و لایه‌ای:

${\overline{Nu}}_L={\overline{Nu}}_{{}_L}{|}_{\xi =0}\times \frac{L}{L-\xi }{[1-{(\xi /L)}^{(p+1)/(p+2)}]}^{\frac{p}{p+1}}$

در رابطه اخیر که هم برای جریان لایه‌ای و هم جریان متلاطم برقرار است ترم ${\overline{Nu}}_{{}_L}{|}_{\xi =0}$ ترم مربوط به ناسلت متوسط هر جریان وقتی که ناحیه آدیاباتیک نداشته باشیم.p=2 برای وقتی که جریان لایه ای و p=8 برای وقتی که جریان متلاطم باشد.
داریم:

${\overline{Nu}}_L=\frac{{\bar{h}}_{L}L}{k}$

${\bar{h}}_L$ ضریب جابجایی متوسطی است که در سطحی که انتقال حرارت صورت می گیرد و لذا دقت شود طول سطحی که انتقال حرارت از آن صورت می گیرد L-ξ می باشد نه L.
مقدار h در این حالت نسبت به وقتی که لایه مرزی حرارتی از اول سطح شروع می‌شود بیشتر است چرا که در یک x مشخص مقدار ضخامت لایه مرزی کاهش یافته و این مثل این است که مقدار مقاومت کمتر شده است.

جریان لایه‌ای روی یک صفحه تک دما

جریان پایا، تراکم ناپذیر، لایه ای و دارای خواص ثابت روی یک صفحه تخت را در نظر می گیریم. که در آن روابط به صورت زیر است:

(ضخامت لایه مرزی)

$\delta =\frac{5.0}{\sqrt{{\mathrm{Re}}_x}}$

(ضریب اصطکاک محلی)

$C_f=\frac{{\tau }_w}{\frac{1}{2}\rho {U_{\mathrm{\infty }}}^2}=0.664{{\mathrm{Re}}_x}^{-\frac{1}{2}}$

در نتیجه برای

الگو:چپ‌چین $Pr\ge 0.6$ الگو:پایان چپ‌چین

عدد نوسلت محلی چنین است:

$N_{u_x}=\frac{h_{x}x}{k}=0.332{{\mathrm{Re}}_x}^{\frac{1}{2}}P{r}^{\frac{1}{3}}$

که نهایتا رابطه h به صورت زیر بیان می‌شود:

$h_x=0.332k\sqrt{\frac{U_{\mathrm{\infty }}}{\upsilon x}}*{\mathrm{Pr}}^{\frac{1}{3}}$

از آنجاییکه ${\overline{h}}_L=2h_L$ برای این نوع جریان، نوسلت متوسط به صورت زیر می باشد:

$\overline{N{u}_L}=0.664{{\mathrm{Re}}_x}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{Pr}}^{\frac{1}{3}}$

در روابط بالا کلیه خواص باید در دمای فیلم خوانده شود که:

$T_f=\frac{T_s+T_{\mathrm{\infty }}}{2}$

رابطه ناسلت موضعی برای گستره وسیعی از Pr در شرایط دما ثابت به صورت زیر است:

اگر

$Rr*\mathrm{Pr}>100$

$N{u}_x=\frac{0.3387{{\mathrm{Re}}_x}^{0.5}{\mathrm{Pr}}^{\frac{1}{3}}}{{[1+{(\frac{0.0468}{\mathrm{Pr}})}^{\frac{2}{3}}]}^{\frac{1}{4}}}$

صفحه با شرط مرزی شار ثابت

روابط موجود برای شرط مرزی شار ثابت عبارتند از:
جریان لایه ای:

$N{u}_x=0.453{\mathrm{Re}}^{1/2}{\mathrm{Pr}}^{1/3}$

شرط برقراری رابطه بالا این است که:

$\mathrm{Pr}\ge 0.6$

جریان متلاطم:

$N{u}_x=0.0308{\mathrm{Re}}^{4/5}{\mathrm{Pr}}^{1/3}$

شرط برقراری رابطه بالا این است که:

$0.6\le \mathrm{Pr}\le 60$

در شرط مرزی شار ثابت از آنجاییکه دمای سطح ثابت نمی باشد، لذا دمای متوسط سطح را به صورت زیر تعریف می کنیم:

$\left(\overline{T_s-T_{\mathrm{\infty }}}\right)=\frac{1}{L}\underset{0}{\overset{L}{\int }}(T_s-T_{\mathrm{\infty }})dx=\frac{q^{\prime }{\text{'}}_s}{L}\underset{0}{\overset{L}{\int }}\frac{x}{kN{u}_x}dx$

حال اگر رابطه ناسلت هر کدام از جریان ها را در رابطه بالا بگذاریم، مقدار دمای متوسط سطح بدست خواهد آمد. همچنین از رابطه زیر نیز می توان مقدار ناسلت متوسط را بدست آورد:

$\left(\overline{T_s-T_{\mathrm{\infty }}}\right)=\frac{q^{\prime }{\text{'}}_{s}L}{k{\overline{Nu}}_L}$

مثلا اگر ناسلت موضعی جریان لایه‌ای را در رابطه انتگرالی اخیر بگذاریم ناسلت متوسط برای لایه‌ای به صورت زیر در خواهد آمد:

${\overline{Nu}}_L=0.680{\mathrm{Re}}^{1/2}{\mathrm{Pr}}^{1/3}$

همان طور که مشاهده می شود مقدار ناسلت در شرط مرزی شار ثابت بیشتر از شرط مرزی دما ثابت می باشد.

برای گستره وسیعی از Pr اگر:

$Rr*\mathrm{Pr}>100$

رابطه ناسلت موضعی به صورت زیر است:

$N{u}_x=\frac{0.4637{{\mathrm{Re}}_x}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{Pr}}^{\frac{1}{3}}}{{[1+{(\frac{0.0207}{\mathrm{Pr}})}^{\frac{2}{3}}]}^{0.25}}$

تحلیل کلی جریان آشفته روی صفحه

اگر

$5*{10}^5<{\mathrm{Re}}_x<{10}^7$

آنگاه:

$C_f=0.0592{{\mathrm{Re}}_x}^{\frac{-1}{5}}$

و اگر

${10}^7<{\mathrm{Re}}_x<{10}^9$

آنگاه:

$C_f=0.37{(\log {\mathrm{Re}}_x)}^{-2.584}$

طبق تشابه اصلاح شده رینولدز مثلا برای رابطه اول:

$N{u}_x=0.0296{{\mathrm{Re}}_x}^{0.8}{\mathrm{Pr}}^{\frac{1}{3}}$

اینک رابطه ویتاکر که برای مایعات می باشد را نشان می دهیم:

${\overline{Nu}}_L=0.036{\mathrm{Pr}}^{0.43}({\mathrm{Re}}_L-9200){(\frac{{\mu }_{\mathrm{\infty }}}{{\mu }_w})}^{0.25}$

شرایط لایه مرزی آمیخته روی یک صفحه تخت

در این حالت در جریان روی صفحه هم لایه مرزی لایه ای داریم و هم لایه مرزی متلاطم.

با توجه به تعریف دمای فیلم که به صورت زیر می باشد، برای تمامی روابطی که در ادامه گفته می شود باید خواص سیال را در دمای فیلم از جداول انتهای کتاب بخوانیم:

$T_f=\frac{T_s+T_{\mathrm{\infty }}}{2}$

روابط نهایی عدد ناسلت متوسط و ضریب اصطکاک متوسط و شرایط استفاده از آنها به صورت زیر می‌باشد:

عدد ناسلت متوسط :

$\overline{Nu}=(0.037{{\mathrm{Re}}_L}^{\frac{4}{5}}-A){\mathrm{Pr}}^{\frac{1}{3}}$

شرایط :

$0.6\le \mathrm{Pr}\le 60$

${\mathrm{Re}}_{x,c}\le {\mathrm{Re}}_L\le {10}^8$

مقدار A در آن به صورت زیر است:

$A=(0.037{{\mathrm{Re}}_{x,c}}^{\frac{4}{5}}-0.664{{\mathrm{Re}}_{x,c}}^{\frac{1}{2}})$

عدد رینولدز استفاده شده در فرمول A عدد رینولدز بحرانی می باشد

ضریب اصطکاک متوسط :

$\overline{C_{f,L}}=0.074{{\mathrm{Re}}_L}^{-\frac{1}{5}}-\frac{2A}{{\mathrm{Re}}_L}$

شرط :

${\mathrm{Re}}_{x,c}\le {\mathrm{Re}}_L\le {10}^8$

جریان جابجایی اجباری عمود بر استوانه

حرکت سیال در امتداد عمود بر محور یک استوانه دوار یکی دیگر از جریان‌های خارجی است. جریان آزاد در نقطه جلویی ساکن می شود و فشار آن افزایش می یابد. از این نقطه به بعد با افزایش x فشار کاهش یافته و لایه مرزی تحت تاثیر شیب فشار مطلوب$({}^{dp}╱{}_{dx}\le 0)$ گسترش می‌یابد ولی سرانجام فشار به یک مقدار حداقل می رسد و لایه مرزی همراه با شیب فشار معکوس به طرف عقب استوانه گسترش می‌یابد.

وقوع گذار در لایه مرزی که به عدد رینولدز بستگی دارد شدیدا بر مکان نقطه جدایش تاثیر می گذارد. قطر استوانه دوار طول مشخصه آن است و عدد رینولدز به صورت زیر تعریف می شود:

${\mathrm{Re}}_D=\frac{\rho vD}{\mu }=\frac{vD}{\nu }$

تکانه سیال در لایه مرزی متلاطم بزرگتر از تکانه در لایه مرزی لایه‌ای است. گذار باعث تاخیر جدایی می‌شود.اگر $\mathrm{Re}{}_D\le 2\times {10}^5$ لایه مرزی از نوع لایه‌ای است و جدایی در $\theta \simeq {80}^{\circ }$روی می دهد.ولی اگر ${\mathrm{Re}}_D\ge 2\times {10}^5$گذار در لایه مرزی روی می دهد و جدایی تا$\theta \simeq {140}^{\circ }$به تاخیر می افتد.

این فرایندها بر نیروی درگ روی استوانه شدیدا تاثیر می گذارند. این نیرو دو مولفه دارد. یکی ناشی از تنش برشی جداری در لایه مرزی است (درگ اصطکاکی) و مولفه دیگر (درگ فرم یا درگ فشاری) ناشی از اختلاف فشار در جهت جریان بر اثر تشکیل ویک می باشد. ضریب درگ بی بعد را به صورت زیر می توان تعریف کرد:

$C_D=\frac{F_D}{A_f(\rho {}^{V^2}╱{}_2)}$

که در آن$A_f$ سطح پیشانی استوانه است (سطح تصویر در امتداد عمود بر سرعت جریان آزاد). ضریب درگ تابعی از عدد رینولدز است. برای$\mathrm{Re}<2$تاثیرات جدایی ناچیزند و شرایط تحت تاثیر درگ اصطکاکی اند ولی با افزایش عدد رینولدز اثر جدایی و نیز درگ فرم مهم تر می شود. کاهش بیشتر$C_D$که برای ${\mathrm{Re}}_D>2\times {10}^5$ روی می دهد ناشی می شود از گذار در لایه مرزی، که جدایی را به تاخیر می اندازد، و از این رو گسترش ناحیه ویک و مقدار درگ فرم کاهش می یابد.

برای تغییرات عدد ناسلت محلی بر حسب $\theta$برای استوانه با شرایط متناظر با ${\mathrm{Re}}_D\le {10}^5$ را در نظر میگیریم. از نقطه سکون به بعد به علت گسترش لایه مرزی لایه ای ناسلت با افزایش $\theta$کاهش می یابد و در $\theta \simeq {80}^{\circ }$ به حداقل می رسد. در اینجا جدایی روی می دهد و از این به بعد به علت آمیختگی ناشی از گسترش گرداب در ویک، ناسلت بر حسب$\theta$ افزایش می یابد. در مقابل برای ${\mathrm{Re}}_D\ge {10}^5$ تغییرات ناسلت با دو مینیمم مشخص می شود. کاهش ناسلت از مقداری که در نقطه رکود دارد مجددا ناشی از گسترش لایه مرزی لایه ای است. اما افزایش شدید آن بین هشتاد و صد درجه بر اثر گذار لایه مرزی از لایه ای به متلاطم است. با گسترش بیشتر لایه مرزی متلاطم، ناسلت دوباره شروع به کاهش می کند. سر انجام جدایی روی می دهد$(\theta \simeq {140}^{\circ })$و ناسلت بر اثر آمیختگی در ناحیه و یک افزایش یابد.با افزایش رینولدز، ناسلت افزایش می یابد، زیرا ضخامت لایه مرزی کم می شود.

ابتدا رابطه هیلپرت را نشان می دهیم، که مقادیر m و c از جدول به دست می آید.

${\overline{Nu}}_D=C{\mathrm{Re}}^{m}p{r}^{\frac{1}{3}}$

رابطه دوم رابطه زوکاسکاس می باشد که این بار نیز مقادیر m را از جدول می خوانیم:

${\overline{Nu}}_D=C{\mathrm{Re}}^{m}p{r}^n{(\frac{\mathrm{Pr}}{{\mathrm{Pr}}_s})}^{0.25}$

که اگر پرانتل کمتر از 10 باشد، عدد n برابر با 0.37 می شود و اگر پرانتل از 10 بزرگتر باشد n برببر با 0.36 است.و نکته قابل توجه این است که کلیه خواص در دمای جریان جابجایی خوانده می شود.

و در نهایت رابطه چرچیل را بیان می کنیم:

${\overline{Nu}}_D=0.3+\frac{0.62{\mathrm{Re}}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{Pr}}^{\frac{1}{3}}}{{[1+{(\frac{0.4}{\mathrm{Pr}})}^{\frac{2}{3}}]}^{0.25}}{[1+{(\frac{\mathrm{Re}}{282000})}^{\frac{5}{8}}]}^{\frac{4}{5}}$

کره

آثار لایه مرزی در جریان روی کره خیلی شبیه آثار مربوط به استوانه است. در هر دو گذار و جدایی نقش مهمی دارند. در اعداد رینولدز خیلی کوچک (جریان خزشی) ضریب درگ با اعداد رینولدز به طور معکوس متناسب است و رابطه آن را قانون استوکس می گویند.

$\begin{array}{cc}& C_D=\frac{24}{{\mathrm{Re}}_D}\\ & {\mathrm{Re}}_D<0.5\\ \end{array}$

رابطه های گوناگونی برای انتقال گرما در این حالت داده شده اند و رابطه ویتاکر به صورت زیر است:

$\begin{array}{cc}& \overline{N}{u}_D=2+(0.4{{\mathrm{Re}}_D}^{\frac{1}{2}}+0.06{{\mathrm{Re}}_D}^{\frac{2}{3}}){\mathrm{Pr}}^{0.4}{(\frac{\mu }{{\mu }_s})}^{\frac{1}{4}}\\ & 0.71<\mathrm{Pr}<380\\ & 3.5<{\mathrm{Re}}_D<7.6\times {10}^4\\ \end{array}$

تمام خواص به غیر از ${\mu }_s$ در$T_{\mathrm{\infty }}$ محاسبه می شوند.

یکی از حالت های خاص برای انتقال گرمای جابه جایی از کره ها انتقال گرما از قطره های مایعی است که به طور آزاد سقوط می کنند و در این مورد اغلب از رابطه رانز و مارشال استفاده می شود:

$\overline{N}{u}_D=2+0.6{{\mathrm{Re}}_D}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{Pr}}^{\frac{1}{3}}$

در حد${\mathrm{Re}}_D\to 0$ معادله های بالا به $\overline{N}{u}_D=2$ تبدیل می شوند که متناظر است با انتقال گرمای رسانشی از یک سطح کروی به محیط ساکن نامتناهی در پیرامون سطح.

---

مثال1

صفحه ای تخت به طول 1متر و عرض 1 متر داریم که در معرض هوای آزاد با دمای 300 کلوین و سرعت یک متر بر ثانیه قرار می گیرد.اگر صفحه تحت شرط مرزی شار ثابت با مقدار 100 وات بر متر مریع قرار گیرد،مطلوب است:
الف)دمای متوسط سطح.
ب)بیشترین دمای صفحه.
الگو:چپ‌چین پرونده:Amin200.jpg الگو:پایان چپ‌چین
حل :برای خواندن خواص نیاز به دمای متوسط سطح می باشد ولی در اینجا ما به دنبال پیدا کردن آن می باشیم.پس دمای سطح را حدس می زنیم.
حدس:

${\bar{T}}_s=340k$

در این صورت دمای فیلم به دست خواهد آمد:

$T_f=\frac{{\bar{T}}_s+T_{\mathrm{\infty }}}{2}=\frac{340+300}{2}=320k$

با استفاده از دمای فیلم و جدول A-4 خواص را بدست می آوریم:

$\begin{array}{cc}& \nu =16\times 10^{-6}{m}^2/s\\ & k=0.028W/m.k\\ & \mathrm{Pr}=0.7\\ \end{array}$

رینولدز را بدست می آوریم:

$\mathrm{Re}=\frac{u_{\mathrm{\infty }}L}{\nu }=\frac{1m\times 1m}{16\times 10^{-6}{m}^2/s}=6.3\times 10^4\prec 5\times 10^5$

از آنجاییکه مقدار رینولدز کمتر از مقدار بحرانی بوده لذا در کل صفحه جریان لایه ای داریم. پس از رابطه مربوط به ناسلت متوسط جریان لایه ای در شرط مرزی شار ثابت استفاده می کنیم:

${\overline{Nu}}_L=0.680{\mathrm{Re}}^{1/2}{\mathrm{Pr}}^{1/3}=0.68\sqrt{63000}\sqrt[3]{0.7}=151=\frac{{\bar{h}}_{L}L}{k}\Rightarrow {\bar{h}}_L=\frac{151\times (0.028w/m.k)\times }{1m}=4.24w/m.k$

$\overline{T_s}=T_{\mathrm{\infty }}+\frac{q^{″}}{\bar{h}}=300k+\frac{100w/m^2}{4.24w/m^{2}k}=324k$

مقدار دمای متوسط بدست آمده با مقدار حدس شده اختلاف دارد. لذا عملیات بالا را این با دمای متوسط جدید تکرار می کنیم.

${\bar{T}}_s=324k\Rightarrow T_f=312k\Rightarrow TableA-4Air\Rightarrow \nu =17.6\times 10^{-6}{m}^2/s,,,k=27.3\times 10^{-3}w/m.k,,,\mathrm{Pr}=0.7$

$\Rightarrow {\mathrm{Re}}_L=5.68\times 10^4\Rightarrow {\overline{Nu}}_L=145.9\Rightarrow \overline{T_s}=326k$

چون با دمای قبلی زیاد اختلاف پیدا نکرده است لذا همین دما را به عنوان دمای سطح در نظر میگیریم. برای حل قسمت دوم سوال از خواص مربوط به دمای متوسط سطح 324k استفاده کرده ایم چرا که دیدیم خواص تغییر چندانی نمی کنند،پس داریم: بیشترین دما در انتهای سطح اتفاق می افتد چرا که در انتهای سطح کمترین ضریب جابجایی را داریم پس بیشترین دمای سطح اتفاق می افتد.(طبق رابطه ای که دمای سطح با ضریب جابجایی در رابطه ی سرمای نیوتون دارد

$N{u}_x=0.453{\mathrm{Re}}^{1/2}{\mathrm{Pr}}^{1/3}\Rightarrow N{u}_L=0.453\sqrt{57000}\sqrt[3]{0.7}=97.3=\frac{h_{L}L}{k}\Rightarrow h_L=\frac{97.3\times 0.28w/m.k}{1m}=2.56w/m^{2}k$

$q{\text{'}}^{\prime }=h_L(T_L-T_{\mathrm{\infty }})\Rightarrow T_L=\frac{q^{″}}{h_L}+T_{\mathrm{\infty }}=\frac{100w/m^2}{2.56w/m^{2}k}+300k=339k$

---

مثال 2

اگر ضریب انتقال حرارت جابجایی موضعی به صورت زیر باشد $\bar{h}$ را محاسبه نمایید.

$h_x(x)=a{x}^{0.1}$

$\overline{h_x}=\frac{1}{x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{h}_x(x)dx\to h_x(x)=a{x}^{0.1}$

$\to \bar{h}=\frac{1}{x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}a{x}^{0.1}dx=\frac{a}{x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{x}^{0.1}dx=1.1a{x}^{0.1}$

$\to \bar{h}=1.1h_x$

ملاحظه می شود که تغییرات $h_x$ و $\overline{h_x}$ به صورت زیر خواهد بود.

الگو:چپ‌چین پرونده:Amin03.jpg الگو:پایان چپ‌چین

---

مثال 3

جریان عبوری از روی صفحه تخت.

مقدار q را محاسبه کنید؟

داده‌ها:

$U_{\mathrm{\infty }}=0.04m/s$

c°$T_{\mathrm{\infty }}=50$

$\nu =10^{-6}{m}^2/s$

$Pr=0.7$

$T_s=150$°c

$b=1m$

$L=1m$

خواسته:

مقدار q

$R_e=\frac{0.04*1}{10^{-6}}=4*10^4$

$\overline{N{u}_l}=0.664R{e}_l^{0.5}P{r}^{\frac{1}{3}}=1.328*10^2$

$\overline{h}=\frac{k\overline{N{u}_l}L}{L}=3.9\frac{w}{m^{2}k}$

$q=\overline{h}Lb(T_s-T_{\mathrm{\infty }})=390w$

---

مثال 4

جریان هوای عبوری از روی صفحه تخت.

مقدار $\overline{(T_w-T_{\mathrm{\infty }})}$ و ماکزیمم$T_w$ را محاسبه کنید؟

داده‌ها:

$U_{\mathrm{\infty }}=5m/s$

c°$T_{\mathrm{\infty }}=27$

$A=0.6*0.6m^2$

$q=1kw$

$L=0.6m$

محاسبات:

$q_w{\text{'}}^{\prime }=\frac{q}{0.6*0.6}=36*10^5$

$\overline{(T_w-T_{\mathrm{\infty }})}=\frac{{q_w}^{″}L{k}^{-1}}{0.6795R{e}_l^{0.5}p{r}^{\frac{1}{3}}}$

حدس می‌زنیم:

c°$T_f=T_{\mathrm{\infty }}=300$

$k=0.02324\frac{w}{m.k}$

$pr=0.708$

$\nu =15.69*10^{-6}\frac{m^2}{s}$

جریان لایه‌ای

$R{e}_L=\frac{U_{\mathrm{\infty }}L}{\nu }=109*10^5<5*10^5$

$T_f=\frac{\overline{T_w}+T_{\mathrm{\infty }}}{2}=\frac{\overline{(T_w-T_{\mathrm{\infty }})}+2T_{\mathrm{\infty }}}{2}=420k$

$\nu =28.2*10^{-6}\frac{m^2}{s}$

$pr=0.687$

$k=0.035\frac{w}{m.k}$

$R{e}_L=1.068*10^5$

c°$\overline{(T_w-T_{\mathrm{\infty }})}=243$

ب)

مقدار ماکزیمم $T_w$

$(T_w{)}_{max}=\frac{{q_w}^{″}}{h(x=l)}+T_{\mathrm{\infty }}$

$Nu(x=l)=0.453R{e}^{\frac{1}{2}}p{r}^{\frac{1}{3}}=130$

$h(x=l)=\frac{N{u}_{l}k}{L}=7.61\frac{w}{m^{2}k}$

c°$T_w(x=l)=T_{\mathrm{\infty }}+\frac{{q_w}^{″}}{h(x=l)}=27+364.9=392$

---

مثال 5

جریان عبوری از روی صفحه تخت.

مقدار q را محاسبه کنید؟

داده:

$U_{\mathrm{\infty }}=1.2m/s$

c°$T_{\mathrm{\infty }}=20$

$T_s=60$°c

$A=20*20c{m}^2$

$L=0.6m$

خواسته:

مقدار q؟

c°$T_f=\frac{T_s+T_{\mathrm{\infty }}}{2}=40$

$k=0.144\frac{w}{m.k}$

$\nu =2.4*10^{-4}\frac{m^2}{s}$

$pr=2870$

$Re=\frac{U_{\mathrm{\infty }}L}{\nu }=1000$

$R{e}_{x}Pr>100$

از طریق رابطه چرچیل:

$\overline{N{u}_L}=2Nu(x=l)=304.4$

$\overline{h}=\frac{304.4k}{L}=219.2\frac{w}{m^2.k}$

$q=\overline{h}A(T_s-T_{\mathrm{\infty }})=350.6$

---

مثال 6

جریان هوا روی یک سیم داغ.

توان تلف شده بر واحد طول را بدست آورید؟

داده:

$D=3.94*10^{-5}m$

c°$T_{\mathrm{\infty }}=25$

$T_s=50$°c

$U_{\mathrm{\infty }}=50m/s$

محاسبات:

$q=A\overline{h}(T_s-T_{\mathrm{\infty }})$

$A=\pi DL$

$\frac{q}{l}=\pi D\overline{h}(T_s-T_{\mathrm{\infty }})$

$T_f=\frac{50+25}{2}=310k$

$\nu =16.7*10^{-6}\frac{m^2}{s}$

$k=0.027\frac{w}{m.k}$

$pr=0.706$

$Re=\frac{U_{\mathrm{\infty }}D}{\nu }=118$

$Re<4000$

$40<Re$

$\overline{N{u}_D}=0.683R{e}_D^{0.4}P{r}^{\frac{1}{3}}=5.615$

$\overline{h}=\frac{\overline{N{u}_D}k}{D}=3854\frac{w}{m^2.k}$

اکنون q/l را محاسبه می‌کنیم

---

مثال 7

هوا در فشار یک اتمسفر و دمای 50 درجه سانتیگراد به طور موازی روی یک سطح ورق تختی که دمای آن 100 درجه سانتیگراد است جریان دارد . طول صفحه 20 سانتیمتر و پهنای آن 10 سانتیمتر است عدد رینولدز بر مبنای طول صفحه 40000 است. نرخ انتقال گرما از صفحه به هوا چقدر است؟ اگر سرعت جریان آزاد هوا دو برابر و فشار آن 10 اتمسفر شود نرخ انتقال گرما چقدر خواهد شد؟ الگو:چپ‌چین پرونده:Jaryane.khareji20.JPG الگو:پایان چپ‌چین از جدول انتهای کتاب انتقال حرارت اینکروپرا و در دمای فیلم برابر 384 درجه کلوین داریم :

$U_{\mathrm{\infty }}=?$

c°$T_{\mathrm{\infty }}=50$

$R_e=4000$

$Pr=0.7$

$T_s=100$°c

$L=0.2m$

$w=0.1m$

P=1 atm

$k=0.299$

$q=\overline{h}Lw(T_s-T_{\mathrm{\infty }})w$

$\overline{N{u}_l}=0.664R{e}_l^{0.5}P{r}^{\frac{1}{3}}=0.664(4000{)}^{0.5}(0.7{)}^{\frac{1}{3}}=118$

$\overline{h}=\frac{k\overline{N{u}_l}}{L}=\frac{0.0299\overline{(}118)}{0.2}=17.6\frac{w}{m^{2}k}$

$q=\overline{h}Lw(T_s-T_{\mathrm{\infty }})=\overline{1}7.6(0.2)(0.1)(100-50)=17.6w$

در قسمت دوم فشار 10 اتمسفر شده و چگالی 10 برابر می شود پس :

${\nu }_2=0.1{\nu }_1$

$R_{e}L2=\frac{UL}{{\nu }_2}=2(10)\frac{UL}{{\nu }_1}=20R_{e}L=8*10^5$

عدد رینولدز بزرگ شده و از مرز 500000 گذشته است پس جریان مغشوش خواهد شد و باید از معادلات تجربی لایه مرزی مرکب استفاده نمود:

$\overline{N{u}_l}=(0.037R{e}_l^{0.8}-871)P{r}^{\frac{1}{3}}=\overline{N{u}_l}=(0.037(800000{)}^{0.8}-871)0.7^{\frac{1}{3}}=961$

$\overline{h}=\frac{k\overline{N{u}_l}}{L}=\frac{0.0299\overline{(}961)}{0.2}=143.6\frac{w}{m^{2}k}$

$q=\overline{h}Lw(T_s-T_{\mathrm{\infty }})=\overline{1}43.6(0.2)(0.1)(100-50)=143.6w$

پس انتقال حرارت جابجایی بسیار بزرگتر خواهد شد.

---

مثال 8

یک مخزن کروی حاوی اکسیژن در دمای -183 درجه سانتی گراد است. اگر به نحوی که روی شکل می بینبم جریان هوا از روی آن عبور کند، میزان گرمای مبادله شده در دو وضعیت زیر را به دست آورید و مقدار اکسیژن تبخیر شده را محاسبه کنید.
الف)مخزن عایق کاری نشده است.
ب)با عایقی که K = 0.035 عایق کاری شده است. الگو:چپ‌چین پرونده:Mesal2.JPG الگو:پایان چپ‌چین

$\begin{array}{cc}& T_{\mathrm{\infty }}=20C{}^{\circ }\therefore \because k=0.025{}^N╱{}_{mK}\therefore \because \upsilon =1.5\times {10}^{-5}\therefore \because {\mu }_{\mathrm{\infty }}=0.8\times {10}^{-5}Pa.s\\ & \mathrm{Pr}=0.74\therefore \because {\mu }_w=1.05\times {10}^{-5}Pa.s\therefore \because D=D_i=4m\\ & {\mathrm{Re}}_D=\frac{VD}{\upsilon }=2.9\times {10}^6\\ & \overline{N{u}_D}=\frac{\bar{h}D}{k}=2+[0.4{\mathrm{Re}}_D^{0.5}+0.06{\mathrm{Re}}^{{}^2╱{}_3}]{\mathrm{Pr}}^{0.4}{\left(\frac{{\mu }_{\mathrm{\infty }}}{{\mu }_w}\right)}^{{}^1╱{}_4}=2220\\ & \bar{h}=\overline{N{u}_D}\frac{k}{D}=13.9\\ & q=\bar{h}A(T_s-T_{\mathrm{\infty }})=142kW\\ & q=\stackrel{\bullet }{m}{h}_{fg}\to \stackrel{\bullet }{m}=\frac{142}{213}=0.67{}^{kg}╱{}_s\\ \end{array}$

برای حل قسمت دوم سوال باید از مقاومت حرارتی معادل استفاده کرد . برای این قسمت لازم است دمای جداره را حدس بزنیم.

$\begin{array}{cc}& T_{\mathrm{\infty }}=20{}^{\circ }\therefore \because k=0.025\therefore \because \upsilon =1.5\times {10}^{-5}\therefore \because {\mu }_{\mathrm{\infty }}=1.8\times {10}^{-5}Pa.s\therefore \because \mathrm{Pr}=0.79\\ & T_s\triangleq -100{}^{\circ }\therefore \because {\mu }_w=1.19\times {10}^{-5}Pa.s\therefore \because D=D_o=4.1m\\ & {\mathrm{Re}}_D=\frac{VD}{\upsilon }=3\times {10}^6\\ & \overline{N{u}_D}=\frac{\bar{h}D}{k}=2+[0.4{\mathrm{Re}}_D^{0.5}+0.06{\mathrm{Re}}^{{}^2╱{}_3}]{\mathrm{Pr}}^{0.4}{\left(\frac{{\mu }_{\mathrm{\infty }}}{{\mu }_w}\right)}^{{}^1╱{}_4}=1910\\ & \bar{h}=\overline{N{u}_D}\frac{k}{D}=11.7{}^W╱{}_{mK}\\ & R_{th}=\frac{{}^1╱{}_{r_1}-{}^1╱{}_{r_2}}{4\pi k}\therefore \because \therefore \because R_{conv}=\frac{1}{hA}\\ & r_1=2m\\ & r_2=2.05m\\ & q=\frac{T_{\mathrm{\infty }}-T_i}{R_{th}+R_{conv}}=6918W\\ & \stackrel{\bullet }{m}=\frac{q}{h_{fg}}=0.0325\\ & T_s=T_{\mathrm{\infty }}-\frac{q}{hA}=20-\frac{6918}{11.7\times 52.7}=9.8{}^{\circ }\\ \end{array}$

حال که یک دمای سطح جدید به دست آمده است , باید مساله را آنقدر تکرار کنیم تا دمای سطح به یک مقدار خاص همگرا شود.

مثال 9

اگر در شکل مقابل درون لوله سبز رنگ بخار اب باشد دمای بخار اب ودمای سطح بیرونی لوله سبز رنگ یکی می باشد .جریان هوا عمود براستوانه با سرعت 10کیلومتر بر ساعت جریان داشته باشد و دمای دیواره اطراف لوله صفر درجه سیلسیوس می باشد نرخ انتقال حرارت را برای طول 12 متر بدست آورید؟ الگو:چپ‌چین پرونده:جریان خارجی.tiff الگو:پایان چپ‌چین اطلاعات :

$\begin{array}{cc}& T_S=75{}^{\circ }c\\ & T_{\mathrm{\infty }}=5{}^{\circ }c\\ & T_{Surr}=0{}^{\circ }c\\ & \epsilon =0.8\\ & L=12m\\ & D=10cm\\ & \nu =10(\frac{km}{h})\\ & \sigma =5.67\times {10}^{-8}(\frac{w}{m^2.k})\\ \end{array}$

حل:

سطح در تماس با هوا:

$A_S=\pi DL=\pi \times 0.1\times 12=3.77m^2$

دمای سطح لوله:

$T_S=273+75=348K$

دمای محیط:

$T_{\mathrm{\infty }}=5+273=278K$

دمای دیواره ی اطراف:

$T_{Surr}=0+273=273K$

انتقال حرارت کل:

$\begin{array}{cc}& q_{total}=q_{conv}+q_{rad}\\ & q_{rad}=A_S\epsilon \sigma (T_S^4-T_{{}_{Surr}}^4)=3.77\times 0.8\times 5.67\times {10}^{-8}({348}^4-{278}^4)=1486.62(W)\\ \end{array}$

دمای فیلم:

$T_f=\frac{T_{\mathrm{\infty }}+T_S}{2}=\frac{278+348}{2}=313K$

جدول(الف-3):

$\begin{array}{cc}& *\nu =1.7\times {10}^{-5}({}^{m^2}╱{}_s)\\ & *\mathrm{Pr}=0.72\\ & *K=0.027(\frac{w}{m.k})\\ \end{array}$

${\mathrm{Re}}_D=\frac{D{\nu }_{\mathrm{\infty }}}{\nu }=\frac{0.1\times 2.8}{1.7\times {10}^{-5}}=1.65\times {10}^4$

پس جریان لایه ای است.

${\mathrm{Re}}_D\times \mathrm{Pr}=1.65\times {10}^4\times 0.72⟩0.2$

پس می توان از رابطه ی چرچیل استفاده نمود.

$\begin{array}{cc}& \overline{N{u}_D}=0.3+\frac{0.62\times {{\mathrm{Re}}_D}^{\frac{1}{2}}\times {\mathrm{Pr}}^{\frac{1}{3}}}{{[1+{(\frac{0.4}{\mathrm{Pr}})}^{\frac{2}{3}}]}^{\frac{1}{4}}}{[1+{(\frac{{\mathrm{Re}}_D}{282000})}^{\frac{5}{8}}]}^{\frac{4}{5}}=64.3\\ & \overline{N{u}_D}=\frac{\bar{h}\times D}{K}\Rightarrow \bar{h}=\frac{\overline{N{u}_D}\times K}{D}=\frac{0.027\times 64.3}{0.1}\\ & \bar{h}=17.4(\frac{w}{k.m^2})\\ & q_{conv}=\bar{h}{A}_S(T_S-T_{\mathrm{\infty }})=17.4\times 3.77\times (348-278)=4854(W)\\ & \Rightarrow q_{total}=4854+1486=6340(W)\\ \end{array}$

---

مثال 10

مطابق شکل یک نوار پلاستیکی بر روی تسمه نقاله با عرض 1.2 متر و ضخامت 0.1 سانتی متر با سرعت 9 متر بر دقیقه حرکت می کند.دمای لا یه ی پلاستیکی هنگامی که در معرض هوای 27 درجه ی سانتیگراد با سرعت 3 متر بر ثانیه است 93 درجه ی سانتیگراد است.

الف ) نرخ انتقال حرارت از نوار پلاستیکی به هوا توسط جابجایی و تابش را بیابید.

ب ) دمای نوار پلاستیکی را پس از انتقال حرارت نهایی بیابید.

مقادیر ثابت به شرح زیر است. الگو:چپ‌چین پرونده:Home work heat.png الگو:پایان چپ‌چین حل:

$\begin{array}{cc}& {\mathrm{Re}}_{cr}=5\times {10}^5\\ & T_f=\frac{T_s+T_{\mathrm{\infty }}}{2}=\frac{93+27}{2}={60}^{{}^{\circ }}c\\ & k=0.02808{}^W╱{}_{m.k}\\ & v=1.896\times {10}^{-5}\\ & \mathrm{Pr}=0.7202\\ & L=1.2m\to {\mathrm{Re}}_L=\frac{VL}{\nu }=\frac{3\times 1.2}{1.896\times {10}^{-5}}=1.899\times {10}^5\\ & Nu=\frac{hL}{K}=0.664{\mathrm{Re}}_L^{0.5}{\mathrm{Pr}}^{1/3}=0.664\times {(1.899\times {10}^5)}^{0.5}{(0.7202)}^{1/3}=259.4\\ & h=\frac{K}{L}Nu=\frac{0.02808}{1.2}(259.4)=6.07{}^W╱{}_{m^{2{}^{\circ }}c}\\ & A_s=0.6m\times 1.2\times 2=1.44m^2\\ & {\stackrel{\bullet }{Q}}_{conv}=h{A}_s(T_s-T_{\mathrm{\infty }})=6.07{}^W╱{}_{m^{2{}^{\circ }}c}\times 1.44m^2\times (93-27)=576.9W\\ & {\stackrel{\bullet }{Q}}_{rad}=\epsilon \sigma A_s(T_s^4-T_{surr}^4)=0.9(5.67\times {10}^{-8})(1.44)[{366}^4-{300}^4]=723.4W\\ & {\stackrel{\bullet }{Q}}_{total}={\stackrel{\bullet }{Q}}_{conv}+{\stackrel{\bullet }{Q}}_{rad}=576.9+723.4=1300W\\ & \stackrel{\bullet }{m}=\rho A_{c}V=1200\times \frac{1.2\times 0.1}{100}\times \frac{9}{60}=0.216{}^{kg}╱{}_s\\ & \stackrel{\bullet }{Q}=\stackrel{\bullet }{m}{c}_p(T_2-T_1)\to T_2=93+\frac{-1300W}{0.216\times 1675}={89.4}^{{}^{\circ }}c\\ \end{array}$

در این فرآیند دمای سطح پلاستیکی به اندازه ی 6.4 درجه ی فارنهایت کاهش یافته است که در اثر عبور جریان های آزاد از روی صفحه است.برای بهتر شدن نتایج می توان دما را به جای 200 درجه ی فارنهایت برابر 196.4 درجه ی فارنهایت در نظر گرفت.اما این تغییرات تاثیر چندانی در نتیجه ندارد.

انتقال حرارت جابه جایی اجباری روی دسته لوله:

در اغلب کاربردهای صنعتی ،مانند تولید بخار در دیگ های بخار ، یا سرمایش هوا در کویل دستگاه های تهویه ی مطبوع ، یکی از سیالات به صورت عرضی روی یک دسته لوله جریان دارد و سیال دیگر( با دمای متفاوت ) از داخل لوله ها عبور می کند.در این قسمت ، انتقال گرما در جریان عرضی روی یک دسته لوله را بررسی می کنیم.آرایش مجموعه لوله ها معمولا مستطیلی یا مثلثی است.ضریب انتقال گرما برای هر لوله به مکان بستگی دارد . مثلا ضریب انتقال گرما برای هر یک از لوله ها در ردیف اول تقریبا برابر است با ضریب جابجایی برای استوانه ای که در جریان عرضی قرار دارد . اما، ضریب انتقال گرما برای لوله های واقع در ردیف های بعد دارای مقدار بزرگ تر است. لوله های چند ردیف اول باعث تلاطم جریان می شوند و ضریب انتقال گرما برای لوله های بعدی را افزایش می دهند . البته ، در اغلب شرایط ، انتقال گرما تثبیت می شود به طوری که ضریب جابه جایی در لوله های ردیف چهارم به بعد فقط کمی تغییر می کند. گفتنی است که انتقال گرما در یک دسته لوله تحت تاثیر جدایی لایه ی مرزی نیز قرار می گیرد.

(دسته لوله با آرایش مستطیلی)

پرونده:04.jpg

دسته لوله با آرایش مستطیلی

الگو:سخ

(دسته لوله با آرایش مثلثی)

پرونده:03.jpg

دسته لوله با آرایش مثلثی

ضریب انتقال روی هر لوله به موقعیت آن لوله در مجموعه لوله ها بستگی دارد.

این ضریب برای لوله های واقع در ردیف اول تقریبا برابر با ضریب لوله واحد عمود بر جریان است ولی ردیف های داخلی ضریب انتقال گرمای بیشتری دارند.

در واقع در چند ردیف اول، لوله ها اغتشاش جریان را زیاد کرده و این ضریب را افزایش می دهند و باعث افزایش انتقال گرما در ردیف های بعدی می شوند.

ضریب جابه جایی روی لوله های بعد از ردیف چهارم و پنجم تغییر چندانی نمی کند چون شرایط در این ردیف ها پایدار است.

به دلیل تفاوت این ضریب معمولا یک ضریب میانگین برای کل مجموعه تعریف می شود.

برای جریان سیال روی مجموعه ای که شامل 10 ردیف لوله یا بیشتر باشد رابطه ای به صورت زیر تعریف می شود :

$\begin{array}{cc}& \overline{N}{u}_D=C{\mathrm{Re}}_{D,\max }^m{\mathrm{Pr}}^{0.36}{(\frac{pr}{p{r}_s})}^{\frac{1}{4}}\\ & N_L\ge 20\\ & 0.7<\mathrm{Pr}<500\\ & 1000<{\mathrm{Re}}_{D,\max }<2\times {10}^6\\ & {\mathrm{Re}}_{D,\max }=\frac{\rho V_{\max }D}{\mu }\\ \end{array}$

تمام خواص به جز ${\mathrm{Pr}}_s$ در دمای میانگین محاسبه می شوند:$T_i$ دمای ورودی و $T_0$ دمای خروجی $\overline{T}=\frac{T_i+T_0}{2}$ ${\mathrm{Pr}}_s$ در دمای سطح ( $T_s$ ) محاسبه می شود.

ضرایب C و m از جداول مربوطه خوانده می شوند.

$V_{\max }$ با استفاده از معادله بقای جرم برای سیال تراکم ناپذیر بدست می آید:

در آرایش مستطیلی :

$V_{\max }=\frac{S_T}{S_T-D}V$

در آرایش مثلثی:

$V_{\max }=\frac{S_T}{S_{\min }}V$

$S_{\min }=\min \{(S_T-D),[2(S_D-D)]\}$

برای مقادیر کوچک $\frac{S_T}{S_L}\le 0.7$ ، ردیف های بالا دست جریان مانند حفاظی در برابر جریان روی ردیف های پایین دست جریان عمل می کنند که اثر معکوسی بر اتقال گرما دارد. یعنی مسیر جریان به صورتی است که تماس کمتری با لوله ها دارد. به همین دلیل عملکرد مجموعه لوله ها با آرایش مستطیلی با $\frac{S_T}{S_L}\le 0.7$ مطلوب نیست. ولی در آرایش مثلثی به دلیل بیشتر بودن پیچ و خم ها سیال با لوله های پایین دست تماس بیشتری دارد. به طور کلی در ${\mathrm{Re}}_D\le 100$ ،انتقال گرما در آرایش مثلثی نسبت به آرایش مستطیلی محسوستر است.

پرونده:02.jpg

شرایط جریان برای لوله های با آرایش مستطیلی

شرایط جریان برای لوله های با آرایش مثلثی

(شرایط جریان برای لوله های با آرایش مستطیلی)

(شرایط جریان برای لوله های با آرایش مثلثی)

چون دمای سیال در هنگام عبور از لوله ها تغییر زیادی می کند، استفاده از $\mathrm{\Delta }T=T_s-T_{\mathrm{\infty }}$ به عنوان اختلاف دما، انتقال گرما را بیشتر از واقعیت پیش بینی می کند. به همین دلیل از اختلاف دمای میانگین لگاریتمی که به صورت زیر محاسبه می شود استفاده می کنیم:

پرونده:005.jpg

استفاده از اختلاف دمای میانگین

$dq=hp[T_s-T\left(x\right)]dx=\dot{m}{C}_p[T(x+dx)-T\left(x\right)]$

$\Rightarrow \dot{m}{C}_p\frac{dT}{dx}=hp[T_s-T\left(x\right)]$ $\Rightarrow \underset{T_i}{\overset{T_0}{\int }}\frac{dT}{T_s-T\left(x\right)}=\underset{0}{\overset{L}{\int }}\frac{hp}{\dot{m}{C}_p}dx$

$\Rightarrow Ln[(T_s-T_i)/(T_s-T_0)]=\frac{h{A}_s}{\dot{m}{C}_p}$ $q=\dot{m}{C}_p(T_0-T_i)\Rightarrow q=h{A}_s\left\{\frac{(T_s-T_i)-(T_s-T_i)}{Ln[(T_s-T_i)/(T_s-T_0)]}\right\}$ $LMTD=\mathrm{\Delta }{T}_{lm}=\frac{(T_s-T_i)-(T_s-T_i)}{Ln[(T_s-T_i)/(T_s-T_0)]}$

مثال 11

هوا با سرعت $V_{air}=5.2m/s$ و دمای اولیه $T_{i,air}=20{}^{\circ }c$ روی یک دسته لوله با آرایش مثلثی عبور می کند. دمای سطح لوله ها $T_s=100{}^{\circ }c$ و قطر هر لوله $D=16mm$ است. تعداد لوله های افقی و عمودی به ترتیب 20 و 10 عدد است ($N_L=20$ و $N_T=10$ )و فاصله افقی و عمودی لوله ها از هم با یکدیگر برابرند($S_T=S_L=4cm$).

مجهولات مسئله : $T_0$ دمای هوای خروجی و $q$ انتقال گرما و $\mathrm{\Delta }P$ اختلاف فشار

ابتدا باید یک $T_0$ حدس بزنیم:

$T_0=50{}^{\circ }c\Rightarrow \overline{T}=\frac{T_i+T_0}{2}=35{}^{\circ }c$

خواص هوا را در دمای $\overline{T}$ می خوانیم :

$\{\begin{array}{cc}& k=0.036w/m.k\\ & C_p=1.007kj/kg.k\\ & \mu =1.89\times {10}^{-5}pa.s\\ & \mathrm{Pr}=0.727\\ \end{array}$

در دمای $T=100{}^{\circ }c$ :

${\mathrm{Pr}}_s=0.711$

$S_d=\sqrt{{\left(\frac{S_T}{2}\right)}^2+S_L^2}=4.2cm=42mm$

$2(S_d-D)=52mm$

$S_{\min }=\min [(S_T-D),2(S_d-D)]=S_T-D=24mm$

$V_{\max }=\frac{S_T}{S_T-D}{V}_{air}=8.67m/s$

${\mathrm{Re}}_{D.\max }=\frac{\rho V_{\max }D}{\mu }=8380$

مقدار C و m را از جدول می خوانیم:

$\begin{array}{cc}& {\overline{Nu}}_{{}_D}=C{\mathrm{Re}}_{D,\max }^m{\mathrm{Pr}}^{0.36}{\left(\frac{\mathrm{Pr}}{{\mathrm{Pr}}_s}\right)}^{1/4}\\ & Table:C=0.35{\left(\frac{S_T}{S_L}\right)}^{0.2},m=0.6\\ \end{array}\}\Rightarrow {\overline{Nu}}_{{}_D}=70.9$

$\overline{h}=\frac{{\overline{Nu}}_{{}_D}\times k}{D}=116w/m^2.k$

حال از طریق رابطه ی LMTD دوباره $T_0$ بدست می آوریم و با حدس اولیه چک می کنیم:(L طول لوله ها)

$A_s=N_T{N}_L=\pi DL=10.05L$

$\begin{array}{cc}& {\rho }_i=1.2kg/m^3\\ & A_c=S_T{N}_{T}L=40L\\ \end{array}\}\Rightarrow \dot{m}={\rho }_i{V}_{air}{A}_c=2.5L(kg/s)$

$[(T_s-T_i)/(T_s-T_0)]=e^{\frac{h{A}_s}{\dot{m}{C}_p}}\Rightarrow T_0=49.7{}^{\circ }c$

می بینیم جواب بدست آمده با حدس اولیه به یکدیگر نزدیک هستند، پس حدس اولیه قابل قبول است. برای واحد طول لوله:

$q=\dot{m}{C}_p(T_0-T_i)=\overline{h}{A}_s\mathrm{\Delta }{T}_{lm}=74.8kw$

X ضریب تصحیح و f ضریب اصطکاک که از جدول خوانده می شود:

$\begin{array}{cc}& {\mathrm{Re}}_D=7713\\ & \frac{S_T}{S_D}=2.5\\ \end{array}\}\Rightarrow f=0.33,X=1$

$\mathrm{\Delta }P=NX\left(\frac{\rho V_{\max }^2}{2}\right)f=284pa$

مثال 12

جریانی با دمای اولیه ی 20 درجه و با سرعت 5.2 متر بر ثانیه از روی دسته لوله ای به شکل زیر عبور می کند.

الف ) دمای هوای خروجی چقدر است؟
الگو:سخ

ب) گرمای منتقل شده چقدر است؟
الگو:سخ

ج) اختلاف فشار چقدر است؟
الگو:سخ

پرونده:Mesal1.JPG

Add caption here

ابتدا دمای خروجی را حدس می زنیم و خواص هوا را با توجه به آن از جداول می خوانیم :

$\begin{array}{cc}& T_o={50}^o\\ & \stackrel{-}{T}=\frac{T_i+T_o}{2}=\frac{20+50}{2}={35}^o\\ \end{array}$

حال در دمای 35 خواص را می خوانیم.

$\begin{array}{cc}& k=0.036\\ & c_p=1.007{}^{Kj}╱{}_{KgK}\\ & \mu =1.89\times {10}^{-5}pa.s\\ & \rho =1.145{}^{Kg}╱{}_{m^3}\\ & P_r=0.727\\ & T={100}^o\to P_{rw}=0.711\\ & {\mathrm{Re}}_{D,\max }=\frac{\rho V_{\max }D}{\mu }=8350\\ & S_{\min }=\min \{s_T-D,2(s_d-D)\}\to ;s_d=\sqrt{{(\frac{s_T}{2})}^2+{s_L}^2}=4.2cm\\ & 2(s_d-D)=52mm\\ & s_{mm}=s_T-D=24mm\\ & V_{\max }=V_{\mathrm{\infty }}\frac{s_T}{s_T-D}=8.67{}^m╱{}_s\\ & {\stackrel{-}{Nu}}_D=C\times {{\mathrm{Re}}^n}_{D,\max }\times {\mathrm{Pr}}^{0.36}{(\frac{\mathrm{Pr}}{{\mathrm{Pr}}_w})}^{1/4}\\ & tab7.7\to C=0.35\times {(\frac{s_T}{s_L})}^{0.2}\\ & \Rightarrow \stackrel{-}{Nu}=70.9\to \stackrel{-}{h}=\frac{\stackrel{-}{Nu}\times k}{D}=116{}^W╱{}_{m^{2}K}\\ \end{array}$

حال گرمای مبادله شده را از دو طریق محاسبه می کنیم

$\begin{array}{cc}& q=\stackrel{o}{m}{c}_p(T_o-T_i)\approx (1)\\ & q=\stackrel{-}{h}{A}_s\mathrm{\Delta }{T}_{lm}\approx (2)\therefore \because \therefore \because \therefore \mathrm{\Delta }{T}_{lm}=LMTD=\frac{(T_s-T_i)-(T_s-T_o)}{\ln \frac{T_s-T_i}{T_s-T_o}}\\ & \stackrel{(1)\mathrm{\&}(2)}{\to }\frac{T_s-T_i}{T_s-T_o}=e^{\frac{A_{s}h}{\stackrel{\cdot }{m}{c}_p}}\\ & \stackrel{\cdot }{m}={\rho }_i{V}_{\mathrm{\infty }}{A}_c=2.5\times L\therefore \because \therefore {\rho }_i=1.2{}^{Kg}╱{}_{m^3}\therefore \because \therefore A_c=N_T\times s_T\times L\\ & A_s=N_L{N}_T\times \pi DL=10.05\times L{m}^2\\ & T_o=T_s-(T_s-T_i)e^{-\frac{A_{s}h}{\stackrel{\cdot }{m}{c}_p}}={49.7}^{\circ }\therefore \because \therefore \because (a)\\ & q=h{A}_s\mathrm{\Delta }{T}_{Lm}=74.8KW\therefore \because \therefore \because (b)\\ & \mathrm{\Delta }p=N_L\times (\frac{\rho V_{\max }^2}{2})f=284Pa\therefore \because \therefore \because (c)\\ \end{array}$

برخورد فواره ها

برخورد فواره ها الگو:چپ‌چین پرونده:Favareh.jpg الگو:پایان چپ‌چین فواره ی گاز یا مجموعه ای از فواره ها که به طور عمودی به یک سطح برخورد می کنند، می توانند برای افزایش ضرایب جابه جایی در فرآیند گرمایش، سرمایش و خشک کردن مورد استفاده قرار گیرند. برای افزایش ضریب جابجایی در فرایندهایی مانند تابکاری ورق های شیشه ای ، آب دادن ورق های فلزی ، خشک کردن محصولات نساجی ، خنک کردن قطعات گرم توربین های گازی و یخ زدایی در هواپیماها ، از جت های ضربه ای استفاده می شود. جت های گاز معمولا از یک نازل گرد یا مستطیلی به داخل یک محیط ساکن تخلیه می شوند. این جت ها معمولا متلاطم اند و منحنی سرعت آن ها در خروجی نازل به صورت یکنواخت است. اما ، با افزایش فاصله جت از خروجی نازل ، تبادل تکانه بین جت و محیط باعث می شود مرز آزاد جت گسترش یابد و هسته ی پتانسیل (که سرعت جت در آن جا یکنواخت است ) تنگ شود . ناحیه ای از جریان را که شرایط آن تحت تاثیر سطح برخورد قرار نمی گیرد جت آزاد می گویند. در ناحیه ی برخورد(ناحیه ی رکورد ) جریان جت تحت تاثیر سطح برخورد قرار می گیرد به طوری که در امتداد عمودی z دستخوش شتاب منفی و در امتداد عرضی r ( یا x) دستخوش شتاب مثبت می شود. اما ، شتاب عرضی نمی تواند افزایش نامحدود داشته باشد. در نتیجه ، جریان شتاب دار در ناحیه ی برخورد به جت جداری کند شونده تبدیل می شود. با افزایش x یا r ، مولفه های سرعت موازی با سطح برخورد از مقدار صفر تا ماکزیمم افزایش می یابند و مجددا به صفر می رسند ( به منحنی سرعت در جت جداری نگاه کنید). اگر دمای سطح برخورد و دمای جت خروجی از نازل یکسان نباشند ،بین ناحیه ی رکورد و جت جداری انتقال گرمای جابه جایی روی خواهد داد. معمولا ، به جای یک جت تنها ، از یک دسته جت استفاده می شود. در این موارد ، جت ها به داخل فضای بین سطح برخورد و صفحه ی نازل تخلیه می شوند.در یک دسته جت، جریان در هر نازل (علاوه بر اینکه دارای ناحیه ی جت آزاد ، ناحیه ی جت جداری است) دارای نواحی رکورد ثانوی نیز هست ، زیرا بین جت های جداری مجاور بر هم کنش روی می دهد. در یک دسته جت آهنگ انتقال گرما شدیدا به نحوه ی حرکت گاز مصرفی بستگی دارد( جت موجود در فضای بین صفحه ی نازل و سطح برخورد را گاز مصرفی می گویند.دمای گاز مصرفی بین دمای خروجی آن از صفحه ی نازل و دمای سطح بر خورد قرار دارد).

روابط مربوط به برخورد فواره ها

شار انتقال گرما

$\overline{q^{″}}=\overline{h}(T_s-T_e)$

نازل گرد منفرد

$N{u}_{D_h}={\mathrm{Pr}}^{0.42}G(\frac{r}{D},\frac{H}{D})F_1\left({\mathrm{Re}}_{D_h}\right)$

نازل گرد و مستطیلی

$D_h=\frac{4A_{c,e}}{P}$

$G=2A_r^{1/2}\frac{1-2.2A_r^{1/2}}{1+0.2(\frac{H}{D}-6)A_r^{1/2}}$

$A_r=\frac{A_{c,e}}{A_{cell}}={\left(\frac{D}{r}\right)}^2$

$F_1\left({\mathrm{Re}}_D\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{Re}}_D^{1/2}{(1+0.005{\mathrm{Re}}_D^{0.55})}^{1/2}$

$\{\begin{array}{cc}& 2000\le {\mathrm{Re}}_D\le 400000\\ & 2\le \frac{H}{D}\le 12\\ & 2.5\le \frac{r}{D}\le 7.5\\ \end{array}$

مستطیل منفرد

$N{u}_{D_h}=\frac{3.06}{\frac{X+H}{W}+2.78}{\mathrm{Pr}}^{0.42}{\mathrm{Re}}_{D_h}^m$

$m=0.695-{[\left(\frac{X}{2W}\right)+{\left(\frac{H}{W}\right)}^{1.23}+3.06]}^{-1}$

$\{\begin{array}{cc}& 3000\le {\mathrm{Re}}_{D_h}\le 90000\\ & 2\le \frac{H}{W}\le 10\\ & 4\le \frac{X}{W}\le 20\\ \end{array}$

بسترهای آکنده Packed Bed

بسترهای پرشده از ذرات جامد پر شده‌اند و در آن‌ها گاز جریان دارد. این بسترها در بسیاری از فرآیندهای صنعتی که با انتقال گرما و ذخیرهٔ انرژی گرمایی سروکار دارند، در واکنش‌های کاتالیزی و در خشک کردن محصولات به کار می‌روند. واژهٔ بسترهای پر شده برای شرایطی به کار می‌رود که ذرات در یک وضعیت ثابت قرار داشته باشند. اگر ذرات (بر اثر جریان سیال) نسبت به هم حرکت کنند، از بسترهای شاریده استفاده می‌شود. در بسترهای پر شده، یک سطح بزرگ تبادل گرما در یک حجم کوچک جای دارد. در این بسترها، جریان نامنظم و متلاطمی که از حفره‌های بین ذرات می‌گذرد انتقال گرما را تقویت می‌کند. به دلیل گسترده بودن و حجم زیاد بسترهای پر شده، مقدار انتقال گرما بسیار خوبی دارند.

روابط مربوط به بسترهای آکنده

از رابطه ی دارسی داریم:

V سرعت سیال ورودی است.

$V=-\frac{k}{\mu }\frac{\mathrm{\Delta }P}{L}$

ضریب تخلخل است و به صورت زیر تعریف می شود:

$\epsilon =\frac{\text{volume of free space}}{\text{volume of total space}}$

$0\le \epsilon \le 1$

${\mathrm{Re}}_D=\frac{\rho VD}{\mu }$

بستر آکنده از ذرات کروی

برای جریان سیال در بستر آکنده از ذرات کروی رابطه ای به صورت تجربی بدست آمده :

${\overline{j}}_H=St\times {\mathrm{Pr}}^{2/3}=\frac{{\overline{Nu}}_{{}_D}}{{\mathrm{Re}}_D\times {\mathrm{Pr}}^{1/3}}$

خواص را در میانگین حسابی دمای ورودی و خروجی خوانده می شود: الگو:چپ‌چین

$\{\begin{array}{cc}& \mathrm{Pr}=0.7\\ & 90\le {\mathrm{Re}}_D\le 4000\\ \end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین از ترکیب روابط بالا داریم:

$\epsilon {\overline{j}}_H=2.06{\mathrm{Re}}_D^{-0.575}$

محاسبه دمای خروجی

مقدار دمای خروجی از رابطه ی زیر بدست می آید :

$T_i$ و $T_0$ به ترتیب دمای ورودی و دمای خروجی سیال هستند و $T_s$ دمای سطح ذرات بستر است.

$A_p$ مساحت کل ذرات و $A_{c,b}$ سطح مقطع بستر است.

$\frac{T_s-T_0}{T_s-T_i}=\exp (-\frac{\overline{h}{A}_p}{\rho V{A}_{c,b}{C}_p})$

با داشتن دمای خروجی و از طریق رابطه ی زیر مقدار $\mathrm{\Delta }{T}_{lm}$ را بدست می آوریم:

$\mathrm{\Delta }{T}_{lm}=\frac{(T_s-T_i)-(T_s-T_0)}{\ln [(T_s-T_i)/(T_s-T_0)]}$

محاسبه انتقال گرما

در نهایت انتقال گرما از رابطه ی زیر بدست می آید:

الگو:چپ‌چین

$q=h{A}_p\mathrm{\Delta }{T}_{lm}$ الگو:پایان چپ‌چین

مثال 13

مثال۹: لوله ای توسط یک عایقی پوشیده شده‌است. جریان به صورت عمود بر سطح جانبی لوله‌است. مطلوب است:

الف- دمای سطح بیرونی (Ts,2)؛

ب- آهنگ انتقال گرما (q) به ازای طول واحد.

داده ها:

$\begin{array}{cc}& V_{\mathrm{\infty }}=4\frac{m}{s}\\ & T_{\mathrm{\infty }}=T_{surr}=3{}^{\circ }c\\ & D_0=11.6cm\\ & D_i=4cm\\ & T_i=250{}^{\circ }c\\ & K=0.38\frac{W}{mK}\\ & \epsilon =0.3\\ & h_{in}=80\frac{W}{m^{2}K}\\ \end{array}$

حل:

$\begin{array}{cc}& q=q_{Conv,in}+q_{th}+q_{Conv,out}\\ & R_1=\frac{1}{h_i{A}_i}=\frac{1}{80\pi D_{i}L}=0.099\frac{K}{W}\\ & R_2=\frac{Ln\frac{D_0}{D_i}}{2\pi KL}=0.015\frac{K}{W}\\ & R_3=\frac{1}{(\bar{h}+h_{rad})A_{out}}=?\\ & T_f=10{}^{\circ }c\Rightarrow \left\{\begin{array}{cc}& K=0.024\frac{W}{mK}\\ & \nu =1.43\times {10}^{-3}\frac{m^2}{s}\\ & \mathrm{Pr}=0.73\\ \end{array}\right\}\\ & \mathrm{Re}=\frac{V_{\mathrm{\infty }}{D}_0}{\nu }=\frac{4\times 0.116}{1.43\times {10}^{-5}}=3.25\times {10}^4\\ & \overline{N{u}_D}=0.3+\frac{0.62{{\mathrm{Re}}_D}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{Pr}}^{\frac{1}{3}}}{{[1+{\left(\frac{0.4}{\mathrm{Pr}}\right)}^{\frac{2}{3}}]}^{\frac{1}{4}}}{(1+{\left(\frac{{\mathrm{Re}}_D}{282000}\right)}^{\frac{5}{8}})}^{\frac{4}{5}}\\ & \overline{N{u}_D}=107\\ & \bar{h}=\frac{\overline{N{u}_D}\times K}{D}=\frac{107\times 0.024}{0.116}=22.5\frac{W}{m^{2}K}\\ & q_1=\frac{T_i-T_{s,2}}{R_1+R_2}=\bar{h}{A}_0(T_{s,2}-T_{surr})+\epsilon \sigma A_0({T_{s,2}}^4-{T_{surr}}^4)\\ & \Rightarrow T_{s,2}=9.9{}^{\circ }c\to T_f=\frac{12.9}{2}=6.5{}^{\circ }c\\ \end{array}$

برای یک متر طول لوله

$q=60W$