بقای جرم

بقای جرم

بنا بر بیان لاوازیه از قانون بقای جرم( conservation of mass)،هیچ جرمی معدوم نمی‌شود و هیچ جرمی نیز از عدم بوجود نمی‌آید و یا به عبارت دیگر مقدار جرم مادی که در عالم وجود دارد همواره ثابت است.

قضیه انتقال رینولدز (که به قضیه انتقال رینولدز-لایبنیتز نیز مشهور است) برای بقای جرم،رابطه‌ای بین نرخ تغییرات سیستم و سطح کنترل و انتگرال‌های حجم ایجاد می‌کنند ولی مشتق‌های سیستم به معادلات اساسی مکانیک مربوطند. متغیر کمکیB به ترتیب جای جرم، اندازهٔ حرکت خطی، اندازه حرکت زاویه‌ای و انرژی را می‌گیرد. برای بقای جرم B=m یعنی B_sys = m_sys = جرم سیستم، می‌باشد. الگو:چپ‌چین $\frac{d}{dt}\underset{cv}{\int }\rho dv+\underset{cs}{\int }\rho {\overrightarrow{V}}_{rel}\times dA=0$ الگو:پایان چپ‌چین

برای حجم کنترل ثابت داریم: الگو:چپ‌چین $\frac{d}{dt}\underset{cv}{\int }\rho dv=0\Rightarrow \underset{cs}{\int }\rho {\overrightarrow{V}}_{rel}\times dA=0$ الگو:پایان چپ‌چین

اگر حجم کنترل فقط چند ورودی و خروجی یک بعدی داشته باشد آنگاه:الگو:سخ الگو:چپ‌چین

الگو:چپ‌چین $\underset{cs}{\int }\rho {\overrightarrow{V}}_{rel}\times dA=\sum {\dot{m}}_{out}-\sum {\dot{m}}_{in}=\sum (\rho VA{)}_{out}-\sum (\rho VA{)}_{in}$

الگو:پایان چپ‌چیناین حالات بیانگر لزوم معادل بودن دبی جرم ورودی و دبی جرم خروجی در جریان پایدار است.

در حالت پایدار و یک ورودی و یک خروجی برای حجم کنترل که در موارد بیشتری در مسایل مکانیک سیالات کاربرد دارد،داریم:

الگو:سخالگو:سخ${\dot{m}}_{in}={\dot{m}}_{out}\Rightarrow (\rho VA{)}_{in}=(\rho VA{)}_{out}$

مثال ۱

شکل زیر یک مخزن استوانه‌ای با سطح مقطع A=2m² را نشان می‌دهد که در پایین آن یک سوراخ به قطر d=0.1 وجود دارد که آب از آن خارج می‌شود. از اصطکاک سیال با دیواره ظرف صرف نظر کنید.

آب با دبی جرمی 20kg/s و چگالی ρ=1000kg/m³ توسط یک شیلنگ وارد مخزن می‌شود و با سرعت v=1m/s از سوراخ پایین خارج می‌شود.

الف) اگر ارتفاع H مخزن که شامل آب است با زمان تغییر کند مقدار نرخ تغییرات H را بدست بیارید.الگو:سخ ب) مقدار دبی جرمی ورودی لازم برای اینکه مقدار H ثابت باشد را بدست آورید.الگو:سخ

الگو:چپ‌چین پرونده:بقای جرم مثال1.jpg الگو:پایان چپ‌چین

الگو:پایان چپ‌چین الف)بقای جرم :

الگو:چپ‌چین $\frac{\partial m_{c.v}}{\partial t}={\dot{m}}_{in}-{\dot{m}}_{out}$

فرم انتگرالی بقای جرم را برای حجم کنترل می‌نویسیم

$\frac{\partial m_{c.v}}{\partial t}=\underset{c.v}{\int }\rho dv$الگو:سخچون چگالی و سطح حجم کنترل ثابت است $\frac{\partial m_{c.v}}{\partial t}=\rho A\frac{\partial H}{\partial t}$

حال برای دبی جرمی خروجی با توجه سرعت و قطر داده شده داریم

${\dot{m}}_{out}=\rho v_{out}A=(1000kg/m^3)(1m/s)(\frac{\pi }{4}0.1^2{m}^2)=7.85398kg/s$

${\dot{m}}_{in}=20kg/s$

$\frac{\partial H}{\partial t}=\frac{{\dot{m}}_{in}-{\dot{m}}_{out}}{\rho A}=\frac{(12.15kg/s)}{(1000kg/m^3)(2m^2)}=6.075\times 10^{-3}m/s$

الگو:پایان چپ‌چین ب)بقای جرم : الگو:چپ‌چین

$\frac{\partial m_{c.v}}{\partial t}={\dot{m}}_{in}-{\dot{m}}_{out}$

الگو:پایان چپ‌چین چون در سوال گفته شده است که ارتفاع ثابت می‌ماند پس جرم حجم کنترل تغییری نمی‌کند و در این صورت شرایط پایا داریم و دبی جرمی خروجی برابر با دبی جرمی ورودی است.

چون حالت پایدار داریم و سیالی تراکم ناپذیر داریم $\Rightarrow \frac{\partial m_{c.v}}{\partial t}=0$

${\dot{m}}_{in}={\dot{m}}_{out}=7.85kg/s$

---

مثال ۲

سیالی با چگالی ρ با سرعت ثابت U₀ وارد کانالی به ارتفاع H و عمق b می‌شود.الگو:سخ اگر از اثر لزجت صرف نظر کنیم تابع سرعت خروجی سیال از کانال یک سهمی می‌شود که بیشترین مقدار سرعت آن در فاصله H/2 از سطح کانال است. اگر حالت پایدار و تراکم ناپذیر برای سیال داشته باشیم بیشترین سرعت خروجی سیال u_max را بر حسب سرعت ورودی U₀ بدست آورید.

بقای جرم: $\frac{\partial m_{cv}}{\partial t}={\dot{m}}_{in}-{\dot{m}}_{out}$

چون حالت پایدار دایم و تراکم ناپذیر است$\Rightarrow \frac{\partial m_{cv}}{\partial t}=0$

${\dot{m}}_{in}={\dot{m}}_{out}\Rightarrow \int (\rho udA{)}_{in}=\int (\rho udA{)}_{out}$

${\dot{m}}_{in}=\rho U_{0}bH$

${\dot{m}}_{out}=\int (\rho u(y)dA{)}_{out}$

الگو:پایان چپ‌چین برای بدست آوردن تابع u: از آنجاییکه تابع سهمی است

لذاالگو:سخu(y)=Ay²+By+C

و با اعمال شرایط مرزی u(0)=۰ و u(H)=۰ و u(H/2)=u_mac:الگو:سخ

$u(y)=4u_{max}(\frac{y}{H})(1-\frac{y}{H})\Rightarrow {\dot{m}}_{out}=\underset{0}{\overset{H}{\int }}\rho 4u_{max}(\frac{y}{H})(1-\frac{y}{H})bdy=4\rho u_{max}bH(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})=\frac{2}{3}\rho u_{max}bH$ الگو:سخ

${\dot{m}}_{in}={\dot{m}}_{out}\Rightarrow \rho U_{0}bH=(\frac{2}{3})\rho u_{max}bH\Rightarrow u_{max}=\frac{3}{2}{U}_o$

---

مثال ۳

شکل زیر یک مخزن استوانه‌ای با سطح مقطع A=10m² را نشان می‌دهد که در پایین آن یک سوراخ به قطر d وجود دارد که آب از آن خارج می‌شود. از اصطکاک سیال با دیواره مخزن صرف نظر کنید.

آب با دبی جرمی 2kg/s و چگالی ρ=1000kg/m³ توسط یک شیلنگ وارد مخزن می‌شود و با دبی جرمی 1kg/s از سوراخ پایین خارج می‌شود.

• نرخ تغییرات H را بدست بیارید.الگو:سخ

پرونده:Reza5.jpg

جرم حجم کنترل را با استفاده از فرم انتگرالی قانون بقای جرم بدست می‌آوریم و می‌بینیم که در آن فقط ارتفاع نسبت به زمان تغییر می‌کند و دبی جرمی ورودی و خروجی را داریم حال قانون بقای جرم را می‌نویسیم و نرخ تغییرات ارتفاع را بدست می‌آوریم

بقای جرم: $\frac{\partial m_{cv}}{\partial t}={\dot{m}}_{in}-{\dot{m}}_{out}$

$\frac{\partial m_{cv}}{\partial t}=2-1=1kg/s$

$m_{cv}=\rho A_{0}H$

$\frac{\partial m_{cv}}{\partial t}=\rho A\frac{\partial H}{\partial t}$

$\frac{\partial H}{\partial t}=\frac{(1kg/s)}{(1000kg/m^3)(10)}=1\times 10^{-4}m/s$

---

مثال ۴

شکل زیر یک سرنگ به قطر D=1cm را نشان می‌دهد که حاوی سیالی با چگالی ثابت ρ می‌باشد.الگو:سخ

الف: با توجه به داده‌های هندسی شکل و در نظر گرفتن حالت پایدار و تراکم ناپذیر برای سیال مقدار سرعت لازم پیستون u را برای اینکه سیال با سرعت v=2cm/s از سرنگ در مقطع d=1mm خارج شود را بدست آورید.

پرونده:بقای جرم4.jpg

بقای جرم: $\frac{\partial m_{cv}}{\partial t}={\dot{m}}_{in}-{\dot{m}}_{out}$

چون هیج جریانی وارد حجم کنترل نمی‌شود$\Rightarrow {\dot{m}}_{in}=o$

${\dot{m}}_{out}=\int (\rho udA{)}_{out}=(\rho Av{)}_{out}=\rho \pi \frac{d^2}{4}{v}_{out}$

الگو:پایان چپ‌چین در این جا برای محاسبه جرم حجم کنترل فقط حجم پیستون را می‌نویسیم زیرا بقیه حجم ثابت است و هنگام مشتق گیری حذف می‌شود

الگو:چپ‌چین $m_{cv}=\underset{cv}{\int }\rho dV=\rho \pi \frac{D^2}{4}x\Rightarrow \frac{\partial m_{cv}}{\partial t}=\rho \dot{x}\pi \frac{D^2}{4}$

$u=-\dot{x}\Rightarrow u=v(\frac{d}{D}{)}^2=0.2mm/s$

ب: اگر سرعت خروجی را یکنواخت در نظر بگیریم، آنرا محاسبه کنید؟ (راهنمایی: با استفاده از C.V₂ حل شود)

پرونده:Ampool.jpg

از بقای جرم استفاده می‌کنیم و چون شرایط پایا است داریم

$\begin{array}{cc}& {\stackrel{.}{m}}_{in}=\rho A_{in}{V}_{in}=\frac{\pi }{4}\rho D^2{v}_o\to {\stackrel{.}{m}}_{in}={\stackrel{.}{m}}_{out}\\ & \to \frac{v_{out}}{v_o}=\frac{A_{in}}{A_{out}}={(\frac{D}{d})}^2=100\\ \end{array}$الگو:سخالگو:سخ الگو:پایان چپ‌چین

---

مثال ۵

سیالی با سرعت ثابت V₁ وارد نازلی به قطر مقاطع D₁ و D₂ می‌شود.الگو:سخ اگر از اثر اصطکاک صرف نظر کنیم. سرعت خروجی سیال V₂ را بر حسب سرعت ورودی V₁ بدست آورید.

الگو:چپ‌چین پرونده:Reza1.jpg الگو:پایان چپ‌چین

حجم کنترل را کل نازل در نظر می‌گیریم و چون شرایط پایا است با نوشتن قانون بقای جرم به سادگی نسبت سرعت‌ها بدست می‌آید که سرعت ورودی یا خروجی ؛ ^-u است که برابر است با حاصلضرب سرعت مقطع ورودی در مساحت مقطع ورودی تقسیم بر مساحت مقطع خروجی که در این سوال با گذاشتن v₁ ثابت در معادله و حل آن سرعت خروجی برابر v₂ میشود

بقای جرم: $\frac{\partial m_{cv}}{\partial t}={\dot{m}}_{in}-{\dot{m}}_{out}$

حالت پایدار و تراکم ناپذیر الگو:چپ‌چین $\frac{\partial m_{cv}}{\partial t}=0$ الگو:پایان چپ‌چین

${\dot{m}}_{in}={\dot{m}}_{out}$

${\dot{m}}_{out}=\rho \pi \frac{D_2^2}{4}{v}_2$

${\dot{m}}_{in}=\rho \pi \frac{D_1^2}{4}{v}_1$

$\Rightarrow V_2=v_1(\frac{D_1}{D_2}{)}^2$

---

مثال ۶

مطابق شکل زیر، لایه نازک مایعی که از روی سطح شیبدار فرو می‌ریزد دارای پروفیل سرعت آرام

$u\cong U_0(2y/h-y{}^2/h^2)$ می‌باشد که

$U_0$ مقدار سرعت در سطح است.

مقدار دبی حجمی در لایه مایع را بیابید. فرض کنید $h=0.5in$

دبی حجمی در هر فوت عرض سطح برابر با $1.25gal/\min$ است. مقدار$U_0$را برحسب$ft/s$به دست آورید.

دستگاه مختصات را روی سطح شیبدار در نظر می‌گیریم و فرم انتگرالی قانون بقای جرم را می‌نویسیم و چون شرایط پایا است دبی خروجی را برابر با دبی ورودی قرار می‌دهیم:

الگو:چپ‌چین $\begin{array}{cc}& Q=\int vdA=\underset{0}{\overset{h}{\int }}{U}_0(2y/h-y{}^2/h^2)bdy=\frac{2}{3}{U}_{0}bh\\ & Q=1.25{}^{gal}╱{}_{\min }=0.002785{}^{f{t}^3}╱{}_s=\frac{2}{3}{U}_{0}bh=\frac{2}{3}{U}_0\times 1\times \frac{0.5}{12}\\ & \to U_0=0.1\frac{ft}{s}\\ \end{array}$