بقای تکانه ی خطی

بقای تکانه ی خطی

اندازه حرکت خطی یا تکانه خطی یک ذره به وسیله بردار P نشان داده می‌شود که مقدار آن با حاصل‌ضرب جرم ذره (m)، در سرعت آن (V) برابر است. چون سرعت ذره یک کمیت برداری بوده و جرم آن یک کمیت اسکالر است، لذا اندازه حرکت خطی یک کمیت برداری خواهد بود. آهنگ تغییرات اندازه حرکت خطی با نیروی وارد بر ذره برابر است. بنابراین اگر بر جسمی هیچ نیرویی وارد نشود و یا نیروهای وارد بر ذره به گونه‌ای باشند که برآیند آنها صفر باشد، در این صورت آهنگ تغییرات اندازه حرکت خطی نسبت به زمان صفر خواهد بود، لذا اندازه حرکت خطی مقداری ثابت خواهد بود. در این حالت اصطلاحا گفته می‌شود که اندازه حرکت خطی بقا دارد، یا پایسته است (conservation of linear momentum).

اهمیت قوانین بقا

اهمیت نظری و علمی پایستگی یا قوانین بقا در فیزیک بسیار زیاد است، چون این اصول همگانی و ساده هستند. این اصول را می‌توان به این صورت خلاصه کرد که: هنگام تغییر هر دستگاه، یکی از جنبه‌های آن بدون تغییر می‌ماند. اگر ناظرهای مختلفی که هر کدام در چارچوب مرجع خود قرار دارند، یک دستگاه در حال حرکت را مشاهده کنند، همه اتفاق نظر خواهند داشت که قوانین بقا در مورد آنها صادق است. به عنوان مثال، در مورد پاستگی تکانه خطی، ناظرهای واقع در چارچوب‌های مختلف، مقادیر متفاوتی به تکانه خطی نسبت می‌دهند، اما همه آنها با این فرض که برآیند نیروهای وارد بر دستگاه صفر است، قبول دارند که هنگام حرکت ذرات تشکیل دهنده دستگاه، مقدار تکانه خطی اندازه‌گیری شده در دستگاه خودشان بدون تغییر باقی می‌ماند.

گسترده عمل قانون بقای اندازه حرکت خطی

قانون بقای اندازه حرکت خطی حتی در فیزیک اتمی و هسته‌ای نیز صادق است. هرچند در آن محدوده ، مکانیک نیوتنی معتبر نیست، لذا قانون بقای تکانه خطی باید اساسی‌تراز قوانین نیوتن باشد و لذا برای بدست آوردن آن باید فرض‌هایی قویتر از آنچه لازم است، باید به عنوان مبنای کار مورد توجه قرار گیرد. این امر حتی در چارچوب مکانیک کلاسیک نیز صادق است.

کاربرد قانون پایستگی تکانه خطی

یکی از بارزترین کابردهای قانون پایستگی تکانه خطی در بررسی حرکت پرتابی با فرض صفر بودن نیروی مقاومت هواست. به عنوان مثال، گلوله‌ای را در نظر بگیرید که یک مسیر سهموی را در فضا می‌پیماید. در حین حرکت، گلوله ناگهان منفجر می‌شود. اگر بخواهیم این نوع حرکت را بدون استفاده از قانون بقای تکانه حل کنیم، بسیار مشکل خواهد بود.

کاربرد دیگر قانون بقای تکانه خطی در تشریح مسائل برخورد است. هنگامی که دو ذره با یکدیگر برخورد می‌کنند، چون برآیند نیروهای وارد بر سیستم صفر است، لذا اندازه حرکت خطی بقا خواهد داشت. البته قانون بقای اندازه حرکت خطی کاربردهای دیگری نیز دارد که در اینجا به خاطر طولانی نبودن مطلب از ذکر آنها خودداری شد.

بقای (تکانه)اندازه حرکت خطی:

برای ذره ای به جرم m که با سرعت v حرکت می کند، تکانه خطی عبارت است از:

p=mv

قانون دوم نیوتون یعنی F=ma برای این ذره به صورت

F=dp/dt

خواهد بود. مفهوم dp/dt به معنای تغییرات اندازه حرکت در زمان است. اگر هیچ تغییری در اندازه حرکت سیستم در زمان وجود نداشته باشد و یا مجموع نیروهای خارجی وارد بر سیستم، صفر باشد، خواهیم داشت:

قانون بقای اندازه حرکت خطی

این همان بقای اندازه حرکت خطی است.

وقتی دو یا چند جسم (با یا بدون حضور نیروهای خارجی) طوری به هم نزدیک شوند که با هم اندرکنش داشته باشند (حتی اگر کاملا در تماس با هم نباشند) می گوییم برخوردی بین آن ها صورت گرفته است.

این برخوردها دو نوعند:

کشسان (الاستیک) و نا کشسان (غیر الاستیک)

در برخوردهای کشسان که دو جسم بعد از برخورد به طور جداگانه به راه خود ادامه می دهند؛ هم تکانه خطی بقا دارد و هم انرژی جنبشی اما در برخوردهای نا کشسان که دو جسم بعد از برخورد به هم می چسبند، فقط تکانه خطی بقا دارد.

قانون بقای اندازه حرکت خطی

کاربرد: یکی از بارزترین کاربردهای قانون پایستگی تکانه خطی در بررسی حرکت پرتابی با فرض صفر بودن نیروی مقاومت هوا است. به عنوان مثال، گلوله‌ای را در نظر بگیرید که یک مسیر سهموی را در فضا می‌پیماید. در حین حرکت، گلوله ناگهان منفجر می‌شود. اگر بخواهیم این نوع حرکت را بدون استفاده از قانون بقای تکانه حل کنیم، بسیار مشکل خواهد بود.

کاربرد دیگر قانون بقای تکانه خطی در تشریح مسائل برخورد است. هنگامی که دو ذره با یکدیگر برخورد می‌کنند، چون برآیند نیروهای وارد بر سیستم صفر است، لذا اندازه حرکت خطی بقا خواهد داشت. البته قانون بقای اندازه حرکت خطی کاربردهای دیگری نیز دارد که در اینجا به خاطر طولانی بودن مطلب از ذکر آنها خودداری شده است.

الگو:چپ‌چین $\overrightarrow{B}=m.\overrightarrow{V}\Rightarrow \overrightarrow{b}=\overrightarrow{dB}/dm=\overrightarrow{V}$

الگو:چپ‌چین $\frac{\partial \underset{c.v}{\int }\rho \overrightarrow{v}dV}{\partial t}=\underset{c.s}{\int }\rho \overrightarrow{v}(\overrightarrow{v}.\overrightarrow{d}A)+\sum (\overrightarrow{F}{)}_{ext}$
الگو:پایان چپ‌چین

ترم سرعت در این فرمول دو مفهوم را القا می‌کند. V اول سرعت سیال نسبت به دستگاه مختصات است، چون در مفهوم تکانه خطی ظاهر شده، اما v دوم سرعت سیال نسبت به C.V(حجم کنترل) می‌باشد ، چون در مفهوم بقای جرم آمده است .
نکته۱ : دقت شود که این معادله برداری است و در هر جهت ، با توجه به داده های مسئله ، معادله مربوط را نوشت .
نکته۲ : در حل سوالات دقت کنید که آیا دستگاه مختصات خود را لخت فرض کرده‌اید یا نالخت !
نکته۳ : اگر C.V و دستگاه هر دو ساکن بودند یا سرعت ثابت داشتند هر دو ترم دارای سرعت یکسان خواهند بود .
نکته۴ : بخش های مشتق نسبت به زمان در جریانهای steady برابر صفرند !
برای حل مسایل این قسمت ابتدا باید حجم کنترل و دستگاه مختصات را مشخص کرد.
این فرمول نسبتا پیچیده را ، اینگونه ساده می‌کنیم  :
الگو:چپ‌چین

$\frac{\partial {(m\overrightarrow{v})}_{C.V}}{\partial t}={\sum (\dot{m}\overrightarrow{v})}_{in}-{\sum (\dot{m}\overrightarrow{v})}_{out}+\sum _{}^{}{\overrightarrow{F}}_{ext}$

الگو:پایان چپ‌چین نکته۵: به شرط آنکه روی سطح ورودی و خروجی تغییرات سرعت نسبت به مکان را نداشته باشیم، می‌توانیم ترمهای درون پرانتز را از پرانتزشان خارج کنیم ، در غیر این صورت باید روی سطح C.V انتگرال بگیریم.
نکته۶: در اینجا ΣF مجموع نيروهاي خارجي مؤثر بر حجم معيار مي باشد.این معادله با فرض p=cte و µ=cte به نام معادله ی ناویر-استوکس شناخته می‌شود.

توجه : اگر حجم کنترل با سرعت ثابت روی خط راست حرکت کند در معادله اندازه حرکت به جای V از Vrel استفاده میکنیم: Vrel = V - Vc.v

نکته۷ : نیروهای سطحی ناشی از فشار همواره به سمت داخل حجم کنترل اثر میکنند.

نکته۸ : فرمول بالا درواقع بیان کننده رابطه زیر است:

('نرخ تولید')+('نرخ خروجی')-('نرخ ورودی') =c.v('نرخ تغییرات')

توجه شود که نرخ تولید در اینجا همان نیرو است

---

مثال ۱

سیالی با سرعت متوسط ثابت v₀ به یک کانال به عمق b و عرض H وارد می شود و بصورت سهمی با معادله داده شده خارج می شود، نیروی مورد نیاز برای آنکه بتوان کانال را سر جای خود ثابت نگه داشت، چقدر است ؟

الگو:چپ‌چین وسط‌ الگو:پایان چپ‌چین

الگو:چپ‌چین $u(y)=4u_{max}(\frac{y}{H})(1-\frac{y}{H})$
الگو:پایان چپ‌چین
برای محاسبه ی نیروی مورد نیاز کاراترین راه حل، نوشتن قانون بقای تکانه خطی می باشد. از آنجا که در راستای قائم سرعتی نداریم بنابراین قانون بقا را در جهت افق می نویسیم.
جریان دایمی و تراکم‌ناپذیر است.
با توجه به دایمی بودن شرایط نرخ تکانه خطی حجم کنترل یعنی مقدار $\frac{\partial (m\overrightarrow{v}{)}_{c.v}}{\partial t}$ برابر صفر خواهد بود:

بنابراین خواهیم داشت:

بقای تکانه خطی در جهت x

الگو:چپ‌چین

$0={(\dot{m}\overrightarrow{v})}_{in}-{(\dot{m}\overrightarrow{v})}_{out}+\sum _{}^{}{\overrightarrow{F}}_{ext}$

$\dot{m}\times {\overrightarrow{v}}_{in}=\underset{A_{in}}{\int }\rho \overrightarrow{v}(\overrightarrow{v}.\overrightarrow{d}A)=\rho v_0^{2}bH={\dot{m}}_{in}{v}_0$
$\dot{m}\times {\overrightarrow{v}}_{out}=\underset{A_{out}}{\int }\rho \overrightarrow{v}(\overrightarrow{v}.\overrightarrow{d}A)=16\rho u_{max}^{2}bH=\underset{}{\int }(\frac{y}{H}{)}^2(1-\frac{y}{H}{)}^2(\frac{dy}{H})$
$=\frac{6}{5}\rho v_0^{2}bH=\frac{6}{5}{\dot{m}}_{out}{v}_0=\beta {\dot{m}}_{out}{v}_0$
$\sum (\overrightarrow{F}{)}_{ext}=-F+(p_2-p_1)bH$
$F=\frac{-1}{5}\dot{m}\times {\overrightarrow{v}}_0+(p_2-p_1)bH$
الگو:پایان چپ‌چین

بتا ضریب تصحیح تکانه خطی است.که در اینجا برابر با $\frac{6}{5}$ می باشد.

مثال ۲

با صرف نظر کردن از وزن سیال و اصطکاک (فرض غیر لزج بودن جریان)، نیروهای عمودی و افقی مورد نیاز برای نگه داشتن ارابه در مقابل سیال خارج شده از نازل، را بدست آورید ؟
EX 2 takane khati3929

حجم کنترل را به صورت نشان داده شده در شکل در نظر می‌گیریم.

بقای جرم :

قانون های پایستگی یا بقا نتیجه قانون دوم نیوتون هستند؛ یعنی:

حاصل ضرب جرم در شتاب، ثابت است و دلیل بر تغییر حرکت و بر هم کنش اجسام است . این حاصل ضرب، نیرو نامیده می شود. با بقای انرژی قبلا آشنا شده اید؛ این قانون می گوید:

اگر هیچ نیروی خارجی (خارج از سیستم مورد نظر) به سیستم وارد نشود، مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل مقدار ثابتی خواهد بود.

اما اگر نیروی اصطکاک در این سیستم وجود داشته باشد، انرژی بقا نخواهد داشت و مجموع انرژی پتاسیل و جنبشی، مقدار ثابتی نخواهد بود. با توجه به شرایط دائمی نرخ تغییرات جرم حجم کنترل نسبت به زمان برابر با صفر می‌باشد. خواهیم داشت:

الگو:چپ‌چین $\frac{\partial m_{c.v}}{\partial t}={\dot{m}}_{in}-{\dot{m}}_{out}$ الگو:پایان چپ‌چین

الگو:چپ‌چین ${\dot{m}}_{in}={\dot{m}}_{out}\Rightarrow (\rho vA{)}_{in}=(\rho vA{)}_{out}$
الگو:پایان چپ‌چین

الگو:چپ‌چین $V_{in}=V_{out}$ الگو:پایان چپ‌چین

بقای تکانه خطی :

برای ذره ای به جرم m که با سرعت v حرکت می کند، تکانه خطی عبارت است از:

p=mv

قانون دوم نیوتون یعنی F=ma برای این ذره به صورت

F=dp/dt

خواهد بود. مفهوم dp/dt به معنای تغییرات اندازه حرکت در زمان است.اگر هیچ تغییری در اندازه حرکت سیستم در زمان وجود نداشته باشد و یا مجموع نیروهای خارجی وارد بر سیستم، صفر باشد، خواهیم داشت:

قانون بقای اندازه حرکت خطی

این همان بقای اندازه حرکت خطی است.

الف ) در جهت x :
از آنجا که ارابه ثابت می‌باشد دستگاه مختصات را نیز به طور ثابت در نظر می‌گیریم. با توجه به شرایط دائمی نرخ تغییرات تکانه خطی نسبت به زمان برابر صفر می‌باشد. بنابراین خواهیم داشت:
الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}& \frac{\partial {(m\overrightarrow{v})}_{C.V}}{\partial t}={(\dot{m}\overrightarrow{v})}_{in}-{(\dot{m}\overrightarrow{v})}_{out}+\sum _{}^{}{\overrightarrow{F}}_{ext}\\ & 0={(\dot{m}\overrightarrow{v})}_{in}-{(\dot{m}\overrightarrow{v})}_{out}+F_{A_x}\\ & \to F_{A_x}={(\dot{m}\overrightarrow{v_x})}_{out}-{(\dot{m}\overrightarrow{v_x})}_{in}\\ & \{\begin{array}{cc}& {(\dot{m}{\overrightarrow{v}}_x)}_{out}=\int \rho v_x{\overrightarrow{V}}_{rel}.\overrightarrow{dA}=\rho v_1^{2}ACos\theta \\ & {(\dot{m}{\overrightarrow{v}}_x)}_{in}=\int \rho v_x{\overrightarrow{V}}_{rel}.\overrightarrow{dA}=\rho v_1^{2}A\\ \end{array}\\ & \to F_{A_x}=\rho v_1^{2}A(Cos\theta -1)\\ \end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین ب ) در جهت z :
درجهت z نیز همانند قبل عمل می‌کنیم و در انتها خواهیم داشت:

الگو:چپ‌چین $F_{A_z}=N={\dot{m}}_{in}{v}_{2}sin(B)$
الگو:پایان چپ‌چین

---

مثال ۳

مثال ۳ (الف)

در مثال ۲، مقدار نیروی افقی مورد نیاز برای اینکه ارابه با سرعتی ثابت حرکت کند چقدر است ؟
برای حل این مساله دو روش وجود دارد :
روش اول : C.V و دستگاه هر دو با سرعت ثابت به همراه ارابه در حرکت باشند.
نکته : چون C.V سرعت ثابت دارد ، قادر خواهیم بود دستگاه را روی ارابه قرار دهیم و همچنان لخت فرض کنیم!

بافرض شرایط steady:
بقای جرم: الگو:چپ‌چین

$\frac{\partial (m_{C.V})}{\partial t}={\dot{m}}_{in}-{\dot{m}}_{out}=0$

الگو:پایان چپ‌چین

الگو:چپ‌چین $(\dot{m}{)}_{in}=(\dot{m}{)}_{out}$
الگو:پایان چپ‌چین

الگو:چپ‌چین $(\dot{m}{)}_{in}=\rho A(V_1-u)$
الگو:پایان چپ‌چین

الگو:چپ‌چین $(\dot{m}{)}_{out}=\rho A{V}_{out-rel.}$
الگو:پایان چپ‌چین

الگو:چپ‌چین $V_{out-rel}=V_{out-absu.}-u$
الگو:پایان چپ‌چین

الگو:چپ‌چین ${\overrightarrow{V}}_{out-absu.}={\overrightarrow{V}}_{out-rel}+\overrightarrow{u}$
الگو:پایان چپ‌چین

الگو:چپ‌چین $=V_{out-rel.}(cos(B)\overrightarrow{i}+sin(B)\overrightarrow{j})+u\overrightarrow{i}$
الگو:پایان چپ‌چین

الگو:چپ‌چین $V_{out-rel}=V_1$
الگو:پایان چپ‌چین

بقای تکانه خطی در جهت x :

$0={(\dot{m}\overrightarrow{v})}_{in}-{(\dot{m}\overrightarrow{v})}_{out}+\sum _{}^{}{\overrightarrow{F}}_{ext}$ الگو:پایان چپ‌چین الگو:چپ‌چین $\begin{array}{cc}& {(\dot{m}{V}_x)}_{in}=\dot{m}(V_1-u)\\ & {(\dot{m}{V}_x)}_{out}=\dot{m}{V}_{out-absu}Cos(B)\\ \end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین الگو:چپ‌چین $F=\rho A(1-cos(B))(V_1-u{)}^2$
الگو:پایان چپ‌چین

روش دوم : C.V. با سرعت ثابت حرکت می کند و دستگاه ساکن است:

توجه داشته باشید بقای جرم ربطی به دستگاه مختصات ندارد.

بقای تکانه خطی در جهت x:
الگو:چپ‌چین

$0={(\dot{m}{\overrightarrow{v}}_x)}_{in}-{(\dot{m}\overrightarrow{v})}_{out}+\sum _{}^{}{\overrightarrow{F}}_{ext}$

${(\dot{m}{V}_x)}_{in}=\dot{m}{V}_1$

${(\dot{m}{V}_x)}_{out}=\dot{m}((V_{out-absu}+u)Cos(B))$

الگو:پایان چپ‌چین $F=\rho A(1-cos(B))(V_1-u{)}^2$


نکته: اگر حجم کنترل را ساکن فرض کنیم $\frac{\partial m_{c.v}}{\partial t}$ مخالف صفر است و معادلات پیچیده تر می‌شوند اما جواب نهایی یکی است.

---

مثال ۳ (ب). سرعت ارابه چه قدر باشد، تا توان ماکزیمم شود؟

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{P}=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{V}=-Fu\to P=-\rho A_{j}u{(v_j-u)}^2(1-\cos \theta )\\ & \frac{dP}{du}=-\rho A_j{(v_j-u)}^2(1-\cos \theta )+2\rho A_{j}u(v_j-u)(1-\cos \theta )\\ & \stackrel{v_j\ne u}{\to }(v_j-u)=2u\to v_j=3u\to u=\frac{v_j}{3}\\ \end{array}$

---

مثال ۴

در مثال۲ ، مقدار شتاب ارابه را ، در حالت حرکت آزادانه بدست آورید ؟
حل از روش دو مسئله قبلی :
نکته : اگر بخواهیم از روش مثال ۳ قبل حل کنیم ، باید دقت داشت که دستگاه باید نالخت فرض شود !

پرونده:EX 4 takane khati.png

الگو:چپ‌چین $(\dot{m}{)}_{in}=(\dot{m}{)}_{out}=\rho A(V_1-u)$
الگو:پایان چپ‌چین

الگو:چپ‌چین $V_{out-rel}=V_{in}-u$
الگو:پایان چپ‌چین

"اگر دستگاه ساکن در نظر گرفته شود"

بقای تکانه خطی در جهت x:
الگو:چپ‌چین

$\frac{\partial }{\partial t}(m\overrightarrow{v}{)}_{c.v}$
$=(\dot{m}{\overrightarrow{V}}_{in})-(\dot{m}{\overrightarrow{V}}_{out-absu.})+\sum (\overrightarrow{F}{)}_{ext}$
الگو:پایان چپ‌چین

$\frac{\partial m{v}_{c.v}}{\partial t}+m_{c.v}\frac{\partial V_{c.v}}{\partial t}=m_{c.v}{a}_{c.v}$

${\frac{\partial m}{\partial t}}_{c.v}=0$

$V_{c.v}=u$

$\frac{\partial V_{c.v}}{\partial t}=a$

$Runfreely:\sum (\overrightarrow{F}{)}_{ext}=0$

$V_{out-absu.}=V_{out-rel.}cos(B)+u$

$a=\frac{\rho A(V_1-u{)}^2(1-cos(B))}{m_{c.v}}$
الگو:پایان چپ‌چین نکته: اگر دستگاه مختصات را متحرک در نظر بگیریم در سمت راست معادله تکانه یک شتاب ma- ظاهر می‌شود.

---

مثال ۵

باتوجه به شکل زیر ارابه ای در حال حرکت است . سیال از بالا با نرخ p سقوط کرده و وارد آن می شود. اگر بخواهیم ارابه با سرعت ثابت U حرکت کند چه نیرویی (F) باید به آن وارد شود؟ از اصطکاک صرف نظر کنید .

حجم کنترل : ارابه و جرم داخل آن

فرض : دستگاه ثابت باشد. جرم متغیر است بنابراین در سرعت ثابت تکانه ثابت نیست.(برای سرعت ثابت باید تکانه زیاد شود چون جرم در حال افزایش است و افزایش تکانه نیاز به نیرو دارد.)

بقای جرم : الگو:چپ‌چین $\frac{\partial m_{c.v}}{\partial t}={\dot{m}}_{in}-{\dot{m}}_{out}$ الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین الگو:پایان چپ‌چین

چون هیج جریانی از حجم کنترل خارج نمی‌شود الگو:چپ‌چین $\Rightarrow {\dot{m}}_{out}=o$

${\dot{m}}_{in}=pA$

$\Rightarrow \frac{\partial m_{c.v}}{\partial t}=pA$

بقای تکانه خطی در راستای افقی

الگو:چپ‌چین $\frac{\partial }{\partial t}(m{\overrightarrow{v}}_x{)}_{c.v}=(\dot{m}{\overrightarrow{v}}_x{)}_{in}-(\dot{m}{\overrightarrow{v}}_x{)}_{out}+\sum ({\overrightarrow{F}}_x{)}_{ext}$ الگو:پایان چپ‌چین

$F=\frac{\partial }{\partial t}(m{\overrightarrow{v}}_x{)}_{c.v}=\frac{\partial m_{c.v}}{\partial t}V+\frac{\partial V_{c.v}}{\partial t}M$

$\Rightarrow F=pAU$ الگو:پایان چپ‌چین

نکته: اگر دستگاه را متحرک در نظر بگیریم سمت راست معادله تکانه خطی در راستای x فقط مجموع نیروهای f وجود دارد و سمت چپ آن pAU می‌شود. چون تغییرات جرم داریم جریان دایمی نیست اما $\frac{\partial m_{c.v}}{\partial t}=0$ چون از دید ناظری که با ارابه حرکت میکند جرم درحال افزایش است اما سرعت آن صفر است.

---

مثال ۶

مطابق شکل زیر سیال در لوله U شکل بدون اصطکاک بالا برده و رها می‌شود. از ساق افقی لوله صرف نظر کنید و با ترکیب تحلیل های حجم کنترل برای شاخه‌های چپ و راست معادله دیفرانسیلی برای ستون مایع بدست آورید.

مطابق شکل زیر برای هر شاخه یک حجم کنترل در حال حرکت در نظر می‌گیریم. با استفاده از معادله ی بقای جرم سرعت (v) در هر دو شاخه برابر به دست می آید. اگر فشار در شاخه افقی P1 باشد با صرفنظر از تنش برشی رابطهٔ بقای اندازه حرکت در راستای عمودی برای هر شاخه را می‌نویسیم:

شاخه سمت چپ :

الگو:چپ‌چین $\sum F_{down}-\int a_{rel}dm=(p_a-p_1)A+\rho gA{h}_L-m_L\frac{dV}{dt}=0$ الگو:پایان چپ‌چین

شاخه سمت راست :

الگو:چپ‌چین $\sum F_{up}-\int a_{rel}dm=(p_1-p_a)A+\rho gA{h}_r-m_r\frac{dV}{dt}=0$ الگو:پایان چپ‌چین دو رابطه را با هم جمع می‌کنیم :

الگو:چپ‌چین $\rho gA(h_L-h_r)=\rho gA(2z)=(m_L+m_r)\frac{dV}{dt}=\rho A(h_L+h_r)\frac{dV}{dt}=\rho AL\frac{dV}{dt}$ الگو:پایان چپ‌چین

از طرفی داریم :

الگو:چپ‌چین $V=\frac{-dz}{dt}$

$\Rightarrow \frac{d^{2}z}{d{t}^2}+\frac{2g}{L}z=0$ الگو:پایان چپ‌چین جواب معادله دیفرانسیلی به صورت زیر یک هارمونیک ساده است :

الگو:چپ‌چین $z=C\cos [t\sqrt{\frac{2g}{L}}]+D\sin [t\sqrt{\frac{2g}{L}}]$ الگو:پایان چپ‌چین

---

مثال ۷

آب $20{}^{\circ }c$ از طریق یک لوله به قطر $6cm$ با دبی$300{}^{gal}╱{}_{\min }$ مطابق شکل زیر به سمت پایین جاری است. سپس جریان آب منحرف می‌شود و به صورت افقی و از درون یک قطعه کانال شعاعی $90{}^{\circ }$ که ضخامت آن $1cm$ می‌باشد به بیرون هدایت می‌شود.

اگر جریان شعاعی خروجی یکنواخت و پایدار باشد مقدار نیروهای $(F_x,F_y,F_z)$ لازم برای مقاومت سیستم در مقابل تغییرات اندازه حرکت‌های خطی را حساب کنید.

پرونده:Sayy.jpg

ابتدا با استفاده از دبی جرمی مقادیر سرعت ورودی و خروجی را بدست می اوریم و سپس در هر راستا قانون بقای تکانه خطی را می‌نویسیم تا مقدار نیرو در هر راستا بدست آید. الگو:چپ‌چین $\begin{array}{cc}& Q=300{}^{gal}╱{}_{\min }=0.01893{}^{m^3}╱{}_s\\ & \stackrel{.}{m}=\rho Q=18.93{}^{kg}╱{}_s\\ & v_{tu}=\frac{Q}{A}=\frac{0.01893}{(\frac{\pi }{4}\times 0.06^2)}=-6.69{}^m╱{}_s\\ & A_{out}=\frac{\pi }{2}R\times 0.01=0.002356m^2\\ & v_{out}=\frac{Q}{A_{out}}\to v_{out}=\frac{0.01893}{0.002356}{}^m╱{}_s\\ & \sum F_x=F_x=\int v_{out}d\stackrel{.}{m}{}_{out}=\underset{-45^{{}^{\circ }}}{\overset{45^{{}^{\circ }}}{\int }}-v_{out}\sin \theta \rho v_{out}hRd\theta =0\\ & \sum F_y=F_y=\int v_{out}d\stackrel{.}{m}{}_{out}-\stackrel{.}{m}{v}_{in}=\underset{-45^{{}^{\circ }}}{\overset{45^{{}^{\circ }}}{\int }}-v_{out}\cos \theta \rho v_{out}hRd\theta -0=-v_{out}\rho v_{out}hR\sqrt{2}\\ & =-8.03\times 998\times 8.03\times 0.01\times 0.15\times \sqrt{2}=-136.51\cong -137N\\ & \sum F_z=\stackrel{.}{m}{w}_o-\stackrel{.}{m}{w}_i=18.9\times (0-(-6.69))=126.44N\\ & F=\sqrt{(-137{)}^2+126.44^2}=186.43N\\ \end{array}$