تبادل تابش خالص بین سطوح

الگو:ادغام با محاسبه تشعشع:

سطوح جسم سیاه:

دو صفحه که در مقابل یکدیگرند را در نظر بگیرید.یکی در دمای ${\mathrm{T}}_{\mathrm{1}}$ و دیگری در دمای ${\mathrm{T}}_{\mathrm{2}}$.

${\mathrm{q}}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}$= ${\mathrm{F}}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}{\mathrm{E}}_{\mathrm{b}}({\mathrm{T}}_{\mathrm{1}}){\mathrm{A}}_{\mathrm{1}}-{\mathrm{F}}_{\mathrm{2}\mathrm{1}}{\mathrm{E}}_{\mathrm{2}}({\mathrm{T}}_{\mathrm{2}}){\mathrm{A}}_{\mathrm{2}}$

$={\mathrm{F}}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{1}}[{\mathrm{E}}_{\mathrm{b}}({\mathrm{T}}_{\mathrm{1}})\mathrm{-}{\mathrm{E}}_{\mathrm{b}}({\mathrm{T}}_{\mathrm{2}})]$

$={\mathrm{F}}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{1}}\delta ({\mathrm{T}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}\mathrm{-}{\mathrm{T}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}})$

${\mathrm{q}}_{\mathrm{2}\mathrm{1}}-=$

مثال1: یک جسم سیاه داریم که با محیط اطراف تشعشع می کند.خالص خروجی از سطح چقدر است؟

حل: عدد 2 را به محیط اطراف نسبت می دهیم.

${\mathrm{F}}_{\mathrm{1}\mathrm{1}}=0$

${\mathrm{F}}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}=1$

${\mathrm{q}}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{A}}_{\mathrm{1}}\delta ({\mathrm{T}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}\mathrm{-}{\mathrm{T}}_{\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{r}}^{\mathrm{4}})$

مثال2: یک استوانه که سطح جانبی آن عایق است در نظر بگیرید.ارتفاع استوانه 2متر و قطر آن 1 متر است.شار ورودی از کف استوانه چقدر باشد تا دمای سطح جانبی 1000 کلوین بماند.سطح بالای استوانه به محیط باز است و دمای محیط اطراف 300 کلوین است.

حل:

سطح پایین را 1 و سطح اطراف را 2 مینامیم. بالای استوانه را فرض می کنیم با یک جسم سیاه که همدمای محیط است پوشیده شده است و این سطح را 3 می نامیم.

$A:{\mathrm{q}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}{\mathrm{q}}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}\mathrm{+}{\mathrm{q}}_{\mathrm{1}\mathrm{3}}$

$B:{\mathrm{q}}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}={\mathrm{F}}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{1}}\delta ({\mathrm{T}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}\mathrm{-}{\mathrm{T}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}})$

$C:{\mathrm{q}}_{\mathrm{1}\mathrm{3}}={\mathrm{F}}_{\mathrm{1}\mathrm{3}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{1}}\delta ({\mathrm{T}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}\mathrm{-}{\mathrm{T}}_{\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{r}}^{\mathrm{4}})$

$D:{\mathrm{q}}_{\mathrm{2}}={\mathrm{q}}_{\mathrm{2}\mathrm{1}}+{\mathrm{q}}_{\mathrm{2}\mathrm{3}}=0$

$E:{\mathrm{q}}_{\mathrm{2}\mathrm{1}}\mathrm{=}\mathrm{-}{\mathrm{q}}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}={\mathrm{F}}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{1}}\delta ({\mathrm{T}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}\mathrm{-}{\mathrm{T}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}})$

$F:{\mathrm{q}}_{\mathrm{2}\mathrm{3}}={\mathrm{F}}_{\mathrm{2}\mathrm{3}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{2}}\delta ({\mathrm{T}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}\mathrm{-}{\mathrm{T}}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{4}})$

${\mathrm{q}}_{\mathrm{3}}\mathrm{=}{\mathrm{q}}_{\mathrm{3}\mathrm{1}}\mathrm{+}{\mathrm{q}}_{\mathrm{3}\mathrm{2}}=-{\mathrm{q}}_{\mathrm{1}}$

از معادله F داریم:

$pi\mathrm{D}\mathrm{L}\mathrm{\times }0.118\times 5.67\times {\mathrm{1}\mathrm{0}}^{\mathrm{-}\mathrm{8}}({\mathrm{1}\mathrm{0}\mathrm{0}\mathrm{0}}^{\mathrm{4}}-{\mathrm{3}\mathrm{0}\mathrm{0}}^{\mathrm{4}})=41700W$

از معادله E داریم:

${\mathrm{T}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}={\mathrm{T}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{4}}-\frac{{\mathrm{q}}_{\mathrm{2}\mathrm{1}}}{\pi \frac{{\mathrm{D}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\mathrm{0}\mathrm{.}\mathrm{9}\mathrm{4}\mathrm{4}\mathrm{*}\mathrm{5}\mathrm{.}\mathrm{6}\mathrm{7}\mathrm{*}{\mathrm{1}\mathrm{0}}^{\mathrm{-}\mathrm{8}}}$

با حل معادله داریم:

${\mathrm{T}}_{\mathrm{1}}=1188K$

از معادله D داریم:

${\mathrm{q}}_{\mathrm{2}\mathrm{1}}=-{\mathrm{q}}_{\mathrm{2}\mathrm{3}}=-41700W$

از معادله C داریم:

$\pi \frac{{\mathrm{D}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\mathrm{0}\mathrm{.}\mathrm{0}\mathrm{5}\mathrm{6}\mathrm{*}\mathrm{5}\mathrm{.}\mathrm{6}\mathrm{7}\mathrm{*}{\mathrm{1}\mathrm{0}}^{\mathrm{-}\mathrm{8}}({\mathrm{1}\mathrm{1}\mathrm{8}\mathrm{8}}^{\mathrm{4}}-{\mathrm{3}\mathrm{0}\mathrm{0}}^{\mathrm{4}})=4950W$

پس

${\mathrm{q}}_{\mathrm{1}}=41800w+4950w=46650w$

حل EESمسئله

دمای K در مثال بالا چقدر حرارت بدهيم تا دمای کف به1000K برسد؟دمای جداره جانبی در اين حالت چقدر است؟ دمای سطوح ثابت و سطوح جسم سياه هستند.اثرات جابجايی اجباری را لحاظ کنيد.

E_b1=sigma#*(1000)^4

E_b3=sigma#*(300)^4 E_b2=sigma#*T_2^4 R_12=1.53 R_13=7.49 R_32=1.53 R_23=1.53 R_31=7.49 h=12[W/m^2*K] A=3.14[m^2] T_3=300[K] q_1=((E_b1-E_b2)/R_12)+((E_b1-E_b3)/R_13)

((E_b2-E_b1)/R_12)+((E_b2-E_b3)/R_23)+h*A*(T_2-T_3)=0

q_3=((E_b3-E_b1)/R_31)+((E_b3-E_b2)/R_32)

جواب:A=3.14 [m^2]

E_b1=56696 E_b2=16163 E_b3=459.2 h=12 [W/m^2*K] q_1=34001 q_3=-17772 R_12=1.53 R_13=7.49 R_23=1.53 R_31=7.49 R_32=1.53 T_2=730.7 T_3=300 [K]

مثال2:

سیالی با دمای ورودی 300کلوین وارد لوله داخلی یک مبدل تشعشعی میشود.با توجه به اطلاعات داده شده دمای خروجی سیال را بیابید.

دبی جرمی سیال1kg/s

${\mathrm{C}}_{\mathrm{p}}=4005$

h=100w/squre meter

${\mathrm{T}}_{\mathrm{2}}=cte$

${\mathrm{D}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}\mathrm{5}\mathrm{c}\mathrm{m}$

${\mathrm{D}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{0}\mathrm{c}\mathrm{m}$

طول=1m

$?={\mathrm{T}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}$

حل:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{F}}_{\mathrm{2}\mathrm{1}}=\pi {\mathrm{D}}_{\mathrm{2}}\mathrm{L}\times {\mathrm{F}}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}({\mathrm{F}}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{)}$

${\mathrm{q}}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}=\frac{{\mathrm{E}}_{\mathrm{b}\mathrm{1}}\mathrm{-}{\mathrm{E}}_{\mathrm{b}\mathrm{2}}}{{\mathrm{R}}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}}$

${\mathrm{R}}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\pi {\mathrm{D}}_{\mathrm{2}}\mathrm{L}}$

${\mathrm{q}}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}\mathrm{=}\pi {\mathrm{D}}_{\mathrm{2}}\mathrm{L}({\mathrm{E}}_{\mathrm{b}\mathrm{1}}\mathrm{-}{\mathrm{E}}_{\mathrm{b}\mathrm{2}})$

${\mathrm{q}}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}\mathrm{=}h{\mathrm{A}}_{\mathrm{2}}\mathrm{\Delta }{\mathrm{T}}_{\mathrm{l}\mathrm{n}}$

$\mathrm{\Delta }{\mathrm{T}}_{\mathrm{l}\mathrm{n}}=\frac{\left({\mathrm{T}}_{\mathrm{2}}\mathrm{-}{\mathrm{T}}_{\mathrm{i}}\right)\mathrm{-}\mathrm{(}{\mathrm{T}}_{\mathrm{2}}\mathrm{-}{\mathrm{T}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}\mathrm{)}}{\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{{\mathrm{T}}_{\mathrm{2}}\mathrm{-}{\mathrm{T}}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{T}}_{\mathrm{2}}\mathrm{-}{\mathrm{T}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}}}$

${\mathrm{q}}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}\mathrm{=}\pi {\mathrm{D}}_{\mathrm{2}}\mathrm{L}({\mathrm{E}}_{\mathrm{b}\mathrm{1}}\mathrm{-}{\mathrm{E}}_{\mathrm{b}\mathrm{2}})=\dot{\mathrm{m}}{\mathrm{c}}_{\mathrm{p}}({\mathrm{T}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}\mathrm{-}{\mathrm{T}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}})$

${\mathrm{E}}_{\mathrm{b}\mathrm{1}}\mathrm{=}{\mathrm{T}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}\delta =5.67\times {\mathrm{1}\mathrm{0}}^{\mathrm{-}\mathrm{8}}\times {\mathrm{1}\mathrm{0}\mathrm{0}\mathrm{0}}^{\mathrm{4}}=5.67({\mathrm{1}\mathrm{0}}^{\mathrm{4}})$

$\pi {\mathrm{D}}_{\mathrm{2}}\mathrm{L}\mathrm{(}5.67({\mathrm{1}\mathrm{0}}^{\mathrm{4}})-{\mathrm{E}}_{\mathrm{b}\mathrm{2}})=1\times 4000({\mathrm{T}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}\mathrm{-}\mathrm{3}\mathrm{0}\mathrm{0})$

$\pi {\mathrm{D}}_{\mathrm{2}}\mathrm{L}\mathrm{(}5.67({\mathrm{1}\mathrm{0}}^{\mathrm{4}})-{\mathrm{E}}_{\mathrm{b}\mathrm{2}})=h\pi {\mathrm{D}}_{\mathrm{2}}\mathrm{L}\frac{\left({\mathrm{T}}_{\mathrm{2}}\mathrm{-}{\mathrm{T}}_{\mathrm{i}}\right)\mathrm{-}\mathrm{(}{\mathrm{T}}_{\mathrm{2}}\mathrm{-}{\mathrm{T}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}\mathrm{)}}{\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{{\mathrm{T}}_{\mathrm{2}}\mathrm{-}{\mathrm{T}}_{\mathrm{i}}}{{\mathrm{T}}_{\mathrm{2}}\mathrm{-}{\mathrm{T}}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}}}$

حال بایستی با سعی و خطا ${\mathrm{T}}_{out}$ و ${\mathrm{T}}_2$ را بدست آورد.

حلEES:

در یک لامپ 100 واتی با ضریب صدور0.2 و با فرض جابجایی آزاد دمای سطح لامپ را بیابید؟

T=300[K];D=.1[m];P=101[kpa];v=Mio/Den;a=.6;q=100[W];A_1=.03[m^2];E=.2; Tf=(Ts+T)/2 B=1/Tf; Ra=((9.8*B*(Ts-T)*(D^3)*pr)/(v^2));

Nu=2+((.589*(Ra^(1/4)))/(1+(.469/Pr)^(9/16))^(4/9))

h=(Nu*k)/D

((a*q)/(A_1))=(E*(5.67)*(10^(-8)))*((Ts^4)-(T^4))+h*(Ts-T)

Pr = PRANDTL(Air,T=Tf) Mio= VISCOSITY(Air,T=Tf) Den = DENSITY(Air,T=Tf,P=P) K = CONDUCTIVITY(Air,T=Tf)

جواب به صورت زیر است: a=0.6 [m^2] A_1=0.03 [m^2] B=0.002536 D=0.1 [m] Den=0.8924 E=0.2 h=7.661 k=0.03244 Mio=0.00002269 Nu=23.62 P=101 [kpa] pr=0.7071 q=100 [W] Ra=5.129E+06 T=300 [K] Tf=394.3 Ts=488.6 v=0.00002542

منبع: جزوه دکتر فاتحی دانشگاه خلیج فارس