افت های جزئی

افت های جزئی

افت هد لوله مساوی با تغییر مجموع فشار و نیروی ثقل است که در واقع تغییر ارتفاع تراز هیدرولیکی(HGL) است

در مکانیک سیالات ۱ دو نوع اتلاف انرژی برای لوله ها در نظر می گیریم: یکی از انها افت بر اثر تغییر قطر لوله ها و انواع اتصالات (Minor Loss) و دیگری افت بر اثر اصطکاک در لوله ها (Major loss) که مقدار آن نسبت به دیگری بیشتر است.

در این مبحث افت بر اثر تغییر قطر لوله ها و اتصالات را بررسی می کنیم و در خلال این بررسی سعی می کنیم تا حد زیادی با انواع شیرها و هدر رفتن انرژی در آن‌ها آشنا شویم، در پایان نیز به بررسی انواع مسائل خط لوله می پردازیم.

ابتدا در مورد افت بر اثر تغییر قطر لوله و وجود انواع اتصالات بحث می کنیم و پس از آن توضیحاتی راجع به افت بر اثراصطکاک می دهیم. عواملی چون تغییر قطر لوله ها و وجود انواع اتصالات (مانند زانو، انواع شیرها، وجود انحنا در لوله ها و ...) باعث تغییر شکل خطوط جریان و ایجاد گردابه ها (vortex) و در نتیجه هدر رفتن انرژی می شود. این نوع اتلاف با فرمول زیر قابل محاسبه می باشد: الگو:چپ‌چین h_f=(k v²)/2g الگو:پایان چپ‌چین k : ضریب اتلاف انرژی موضعی (ضریبی تجربی که از جداول مربوطه به دست می آید و بدون بعد است.)

v : سرعت جریان (معمولا سرعت ورودی را در نظر می گیریم)

K : نمادی از تلفات انرژی محسوب می شود، مثلا هنگامی که قطر لوله به صورت ناگهانی افزایش یابد به گونه‌ای که نسبت A₁/A₂ تقریبا برابر صفر شود (A₁<<A₂) آنگاه k را برابر یک در نظر می گیریم و این بدان معناست که کل انرژی جریان تلف شده است. (به انرزی حرارتی تبدیل شده است.)

برای یافتن k مقاطع مختلف می توان به جداول موجود در کتاب‌های مرجع درس مکانیک سیالات مراجعه کرد اما در ادامه سعی می کنیم به همین بهانه به انواع شیرهای موجود و ضریب اتلاف انرژی موضعی آنها بپردازیم.

شیرهایی که در اینجا بررسی می کنیم عبارتند از:

در سیستم لوله ای علاوه بر افت اصطکاکی از نوع مودی ،که برای طول لوله محاسبه می شود،افتهای دیگری تحت عنوان افتهای موضعی به دلایل زیر وجود دارد:

1.ورودی یا خروجی لوله:

سیال قبل از ورود یا خروج از لوله دارای سطح و فشار متفاوتی نسبت به ورودی و خروجی لوله بوده است و هنگام ورود یا از خروج از لوله باید دبی جریان تغییر کند پس افت جزیی را خواهیم داشت.در حقیقت ورودی یا خروجی لوله مانند مانعی دربرابر عبور جریان(دبی)خواهند بود

2.بزرگ یا کوچک شدن ناگهانی مقطع:

بزرگ یا کوچک شدن ناگهانی مقطع باعث افت یا افزایش سیال خواهد شد که خود افت جزئی یا خطایی را در بر خواهد داشت.مانند عبور از سیال از نازل یا برعکس آن که باعث افت یا افزایش فشار خواهد شد و تغییر ایجاد می کند.

3.اتصالات به کار رفته در سیستم ،مانند زانویی ،سه راهی و ... :

اتصالات در حقیقت و در واقع مانند مانعی ناگهانی دربرابر جریان عمل می کنند و مقداری از انرژی سیال را می گیرند که خود باعث خطا می شود

4.شیرها ،در حالت باز و نیمه باز:

شیرها هم مانند اتصالات ایجاد مانع می کنند و باعث تغییر در روند حرکت سیال خواهند شد و هرچقدر شیر بسته تر باشد فشار بیشتر افت می کند و قدرت بیشتری از بین خواهد رفت وخطا بیشتر خواهد بود.مثال بارز آن شیر فشار شکن است

5.اثر تغییر قطر لوله بر حداکثر فشار ایجاد شده در اثر بسته شدن یک شیر در زمان مشخص:

با افزایش قطر لوله ، هد سیستم کاهش می یابد و این روند کاهش به تدریج با افزایش قطر کم می شود یعنی در دبی ثابت حساسیت هد سیستم نسبت به قطر لوله با افزایش قطر لوله کم می شود.

6.تغییرات هد ماکزیمم ناشی از بسته شدن سریع شیر در مقابل تغییرات ضخامت لوله:

اگر لوله جدار نازک نباشد : در یک دبی ثابت حداکثر فشار ناشی از بسته شدن سریع یک شیر با افزایش ضخامت لوله ، افزایش می یابد.
اگر لوله جدار نازک باشد :در یک دبی ثابت حداکثر فشار ناشی از بسته شدن سریع یک شیر با افزایش ضخامت لوله ، همانند حالت اول افزایش می یابد.

7.بزرگ یا کوچک شدن تدریجی مقطع:

این عامل هم باعث افت تدریجی در لوله خواهد شد که در نهایت می تواند با کاهش مقطع فشار را کاهش و سرعت را افزایش دهد(نازل) و یا برعکس(دیفیوزر) این افتها ممکن است چندان هم کوچک نباشند ،مانند افت حاصل از یک شیر نیمه باز که میتواند حتی بیش از یک لوله ی طویل افت فشار ایجاد کند .از آنجا که الگوی جریان در اتصلات و شیر ها خیلی پیچیده است در مورد آنها نمی توان یک تئوری قوی ارائه کرد.افتهای مربوط به آنها را معمولا با آزمایش اندازه گیری کرده و با پارامترهای جریان ارتباط می دهند.داده ها،مخصوصا برای شیرها،به نحوه طراحی سازنده آن بستگی دارد.بنابراین مقادیر به صورت تخمینی در نظر گرفته می شوند. افت موضعی اندازه گیری شده معمولا به صورت نسبی از هد تلف شده ی وسیله مورد نظر،به سرعت سیستم لوله بیان می شود.

$h_m=k(\frac{v^2}{2g})$ الگو:پایان چپ‌چین

در مبحث افت اصطکاکی در اتصالات می توان مقدار ان را معادل مقداری از افت اصطکاکی موجود در لوله قرار داد و لازم است که طول معادل را بدست اورد: الگو:چپ‌چین

$\left\{\begin{array}{cc}& h_{f_1}=f\frac{L_1}{D_1}\frac{{V_1}^2}{2g}\\ & h_m=k\frac{{V_1}^2}{2g}=f\frac{L_{eq}}{D_1}\frac{{V_1}^2}{2g}\\ \end{array}\right\}\to L_{eq}=\frac{k{D}_1}{f}$

الگو:پایان چپ‌چین گفتنی است که تمام داده های ضریب بی بعد K تقریبا برای شرایط متلاطم است.

اتلاف کل برای یک سیستم لوله کشی، با قطر ثابت، چنین است:
الگو:چپ‌چین

$\mathrm{\Delta }{h}_{tot}=h_f+\sum _{}^{}{h}_m=\frac{v^2}{2g}(\frac{fL}{D}+\sum _{}^{}K)$

الگو:پایان چپ‌چین

..............................................................................................................................

افت های جزئی: زانویی در سمت چپ و سه راهی در سمت راست.

پرونده:Saeid.png پرونده:Untitled.jpg

..............................................................................................................................

پرونده:Keshtkar 1.jpg

انبساط ناگهانی: بدست آوردن K وقتی سیال از لوله ای با سطح مقطع $A_1$وارد محفظه ای با سطح مقطع$A_2$ می شود.

$\begin{array}{cc}& P_m=P_1\\ & \stackrel{conservationofmass}{\to }{\dot{m}}_{in}={\dot{m}}_{out}\to \rho v_1{A}_1=\rho v_2{A}_2\\ & {\left(\dot{m}v\right)}_{in}-{\left(\dot{m}v\right)}_{out}+\sum f_x=0\to \rho A_1{V_1}^2-\rho A_2{V_2}^2+P_m{A}_2-P_2{A}_2=0\\ & \to P_1-P_2=P_m-p_2=\rho (\frac{A_1}{A_2}{V_1}^2-{V_2}^2)=\rho \frac{A_{{}_1}}{A_2}{V_1}^2(1-\frac{A_1}{A_2})\\ & {(\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z)}_1-{(\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z)}_2=h_m\\ & \\ & \to h_m=\frac{P_1-P_2}{2g}+\frac{{v_1}^2-{v_2}^2}{2g}=\frac{{v_1}^2}{g}\times \frac{A_1}{A_2}(1-\frac{A_1}{A_2})+\frac{{v_1}^2}{2g}(1-{\left(\frac{A_1}{A_2}\right)}^2)=\frac{{v_1}^2}{2g}{(1-\frac{A_1}{A_2})}^2\\ & K={(1-\frac{A_1}{A_2})}^2\\ \end{array}$

• در محاسبه $h_m$ در عبارت بالا K را در سرعت قبل از اتصال ضرب می کنیم.

نکته کلی:

${(\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z)}_1-{(\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z)}_2=\sum _i{f}_i+\sum _j{h}_{m,j}=\sum _i(f_i\frac{l_i}{D_i}\times \frac{{v_i}^2}{2g})+\sum _j{k}_j\frac{{v_i}^2}{2g}$

افت بر اثر اصطکاک

این پدیده در اثر اصطکاک بین سیال و لوله ها اتفاق می افتد که منجر به افت فشار سیال می شود. برای محاسبه کاهش انرژی به علت وجود اصطکاک بین لایه های سیال و ذرات سیال با جداره از فرمول زیر استفاده می شود:

ّf پارامتر بدون بعد است وآن را ضریب اصطکاک دارسی می نامند.

        الگو:چپ‌چین

$\mathrm{\Delta }\mathrm{H}=f\frac{l}{d}\frac{v^2}{2g}$ الگو:پایان چپ‌چین

که در آن $f$ ضریب اصطکاک ، $l$ طول مسیر و $d$ قطر لوله است. $f$ ضریب اصطکاک است که بستگی به عدد رینولدز و جنس لوله دارد که مقدار آن را می توان از نمودار مودی به دست آورد. افت هد به تنش برشی جداره بستگی دارد.

روشی برای بررسي ميزان افت هد ناشي از اصطكاك در نشتي گاز و تاثير پارامتر هاي تاثيرگذار بر آن به روش( غير مخرب آكوستيك اميشن)

نشتي يكي از عيوب در خطوط انتقال و نگهداري نفت و گاز مي باشد. سيال عبوري از ديواره نشت دچار افت فشار شده كه بررسي ميزان افت فشار هد و تاثير آن بر ديواره نشت حائز اهميت است. يكي از روش ها براي نشت يابي و مطالعه نشتي، روش غير مخرب نشر فراصوتي (آكوستيك اميشن) مي باشد. سيال عبوري از ديواره نشت به ديواره ها تنش وارد كرده و كرنش متعاقب آن باعث ايجاد موج الاستيك در لوله يا مخزن حاوي نشت مي شود.

ّّ تا اینجا دو عامل کاهش افت معرفی شد اما واقعیت این است که دو عامل دیگر هم در کاهش انرژی یا افت هد در سیستم های لوله کشی انتقال سیالات و پمپ ها موثرند :

افت ناشی از نشتی درون ماشین

این تلفات انرژی در اثر نشتی های داخلی بوجود می آید، به این معنا که پس از اینکه فشار سیال بالا رفت بایستی از نشت آن به قسمت کم فشار جلوگیری کرد که در عمل بسته به نوع پمپ این کار به وسیله پیستون رینگ در پمپ های رفت و برگشتی و $wearing$ رینگ در پمپ های گریز از مرکز انجام می شود.

افت های مکانیکی

شامل اصطکاک یاتاقانها و آب بندها است که با انتخاب صحیح و استفاده اصولی از روغن و سیستم روغن کاری مناسب تا حد امکان کاهش می یابد.

---

مثال ۱

در شکل زیر اگر

$Q=.233f{t}^3.s^{-1},SG=.86,\mu =2\times {10}^{-4}lbf.s.f{t}^{-2},{\rho }_w=62.4lbm.f{t}^{-3}$ توان پمپ چقدر است؟

پرونده:Javadrezaei4.jpg

بین دو نقطه 1و 2 رابطه انرژی می نویسیم که در ان فشار دو نقطه مساوی و برابر فشار هواست .و سرعت ها در سطح اب ناچیز است و از ان صرف نظر می کنیم.

$\begin{array}{cc}& {(\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z)}_1={(\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z)}_2+\sum h_f+\sum h_m-\sum h_p\\ & (z_2-z_1)+f.\frac{L}{D}.\frac{v^2}{2g}+(k_i+k_b+k_v).\frac{v^2}{2g}=h_p\\ \end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین vرا بر اساس Q بدست می اوریم

و بوسیله ان Re را بدست می اوریم . الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}& v=\frac{Q}{A}=\frac{.233}{\frac{\pi }{4}{(\frac{2}{12})}^2}=10.23ft.s^{-1}\\ & \mathrm{Re}=\frac{\rho vD}{\mu }=\frac{(0.86\times \frac{62.4}{32.2})(10.23)(\frac{2}{12})}{2\times {10}^{-4}}=1.42\times {10}^4\\ \end{array}$ الگو:پایان چپ‌چین

حال $\frac{\epsilon }{D}$ را بدست اورده وا روی نمودار مودی fرا می خوانیم الگو:چپ‌چین

$\frac{\epsilon }{D}=\frac{0.002}{2}={10}^{-3}\stackrel{}{\to }f=0.081$

حال بوسیله معادله انرژی $h_p$ را به دست می آوریم

الگو:چپ‌چین

$h_p=10+(0.081.\frac{40}{\frac{2}{12}}+0.5+0.9+5)(\frac{{10.23}^2}{2(32.2)})=34.1ft$

$\stackrel{\cdot }{w}=h_p\gamma Q=(34.1)(0.86)(62.4)(32.2)(.233)=510ft.lb.s^{-1}=.99hp$

---

مثال ۲

آب ، در شرایط ρ=1.94 slug/ft3 ، v = 0.00001 ft2/s ، Q = 0.2 ft3/s و از طریق یک لوله به قطر 2 اینچ و طول 400 فوت ، همراه با چندین افت موضعی ، بین دو مخزن پمپ می شود. اگر نسبت زبری 01/0 باشد ، توان لازم برای پمپ را (hp) محاسبه کنید.

پرونده:Yaghoub.Safavi.2.png

حل:

معادله انرژی را بین مقاطع 1 و 2 یعنی سطوح آزاد دو مخزن را بنویسید. الگو:چپ‌چین

$(\frac{p}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+z{)}_1=(\frac{p}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+z{)}_2+h_f-h_p+\sum h_m$

که در آن $h_p$ افزایش هد حاصل از پمپ (هد پمپ) است.ولی چون $(P_1)=(P_2)$ و $(V_1)=(V_2)$ و همچنین $V_1=0$ خواهد بود ، پس برای هد پمپ داریم: الگو:چپ‌چین

$h_p=z_2-z_1+h_f+\sum h_m=120ft-20ft+\frac{V^2}{2g}(\frac{fL}{d}+\sum K)$

اکنون با دانستن دبی جریان خواهیم داشت: الگو:چپ‌چین

$V=\frac{Q}{A}=\frac{0.2f{t}^3/s}{\frac{\pi (\frac{2}{12}ft{)}^2}{4}}$

الگو:پایان چپ‌چین برای $\frac{ϵ}{d}$ از نمودار مودی : f=0.0216 با جایگزین کردن آن در معادله ، خواهیم داشت:

$h_p=100ft+\frac{(9.17\frac{ft}{s}{)}^2}{2(32.2\frac{ft}{s^2})}(\frac{0.0216(400)}{\frac{2}{12}}+12.2)=100ft+84ft=184ft$

الگو:پایان چپ‌چین پمپ باید به آب قدرت بدهد: الگو:چپ‌چین

$P=\rho gQ{h}_p=(1.94(32.2)\frac{lbf}{f{t}^3})(0.2\frac{f{t}^3}{s})(184ft)=2300\frac{(ft.lbf)}{s}$

ضریب تبدیل برابر است با $1h_p=550\frac{(ft.lbf)}{s}$ ، بنابراین : الگو:چپ‌چین

$P=\frac{2300}{550}=4.2hp$

الگو:پایان چپ‌چین اگر بازده پمپ حدود 70 تا 80% باشد ، توان آن حدود 6 اسب بخار خواهد بود.

---

انواع مسائل

مسئله های این بخش به سه دسته تقسیم میشود:

مسائل نوع اول

L و ε و V و Q معلوم باشند ←←← $\mathrm{\Delta }P=?,h_f=?$

$V,D\to {\mathrm{Re}}_D\stackrel{\frac{\epsilon }{D}}{\to }f\to \mathrm{\Delta }P,h_f$

مسائل نوع دوم

روش سعی و خطا

L و ε و D و Vو Q معلوم باشند←←← Vو Q مجهول هستند

$f\stackrel{fromenergyequatioandf,\mathrm{\Delta }P}{\to }v\to {\mathrm{Re}}_D\stackrel{\frac{\epsilon }{D}}{\to }f$حدس

در این قسمت یک حلقه ایجاد میکنیم و f بدست آمده را با مقدار اولیه مقایسه میکنیم،اگر اختلاف آنها از یک درصد کمتر باشد به v مطلوب دست یافته ایم وگرنه f جدید از حلقه بدست می آید،و همین روند را ادامه میدهیم تا به جواب مطلوب برسیم.

مسائل نوع سوم

طراحی به روش سعی و خطا

$h_f,\mathrm{\Delta }P,\epsilon ,L,Q$ معلوم هستند←←←←←←  ?=D

$D\stackrel{Qorv}{\to }{\mathrm{Re}}_D\to f\stackrel{\mathrm{\Delta }por{h}_f}{\to }D$ حدس

نمودار رینولدز

همواره در استفاده از نمودار $f-{\mathrm{Re}}_D$ توجه نمایید که می بایستی با استفاده از رینولدز، مقدار f را بدست آورد. یعنی:

${\mathrm{Re}}_D\Rightarrow f$

استفاده از این فرمول به صورت عکس ($f\Rightarrow {\mathrm{Re}}_D$)، به دلیل اختلاف زیاد در مقدار رینولدز به دست آمده، قابل قبول نمی‌باشد.

پرونده:Hr.55 5.jpg

مثال۳

لوله‌ای داریم به قطر D و طول L که روغن با چگالی ρ و لزجت μ در آن جریان دارد. افت فشار لوله را به دست آورید (دبی حجمی Q).

الگو:سخ الگو:چپ‌چین $V=\frac{Q}{A}$

${Re}_D=\frac{\rho VD}{\mu }$ الگو:پایان چپ‌چین

با فرض رینولدز قطر کمتر از ۲۳۰۰ جریان لایه‌ای و فرمول زیر صادق است: الگو:چپ‌چین $F=\frac{64}{{Re}_D}$الگو:سخ$\mathrm{\Delta }p=\rho h_{f}g$ الگو:پایان چپ‌چین

مثال۴

در شکل زیر سرعت کل را بدست آورید؟ (فاصله بین نقطه 1 و 2 برابر 2 متر است)

$\ker osene\iff [\frac{\mu =1.6\times {10}^{-3}}{S{G}_k=0.81}]$

پرونده:Keshtkar.jpg

چون در نقطه ی 2 ستون جیوه بیشتر پایین آمده ،پس جریان از 2 به 1 است.

الگو:چپ‌چین

$\frac{p_2-p_1}{\rho g}+(z_2-z_1)=f_1\frac{l{v}^2}{2Dg}\Rightarrow v_1=v_2$

الگو:پایان چپ‌چین از مانومتر داریم: الگو:چپ‌چین

$p_2-p_1={\gamma }_w[(S{G}_m-S{G}_k)\mathrm{\Delta }h+\mathrm{\Delta }zS{G}_k]$

الگو:پایان چپ‌چین از جایگذاری این رابطه در رابطه ی بالا داریم:

$\frac{{\gamma }_w[\mathrm{\Delta }zS{G}_k+\mathrm{\Delta }h(S{G}_m-S{G}_k)]}{{\gamma }_{w}S{G}_k}+\mathrm{\Delta }z=f_1\times \frac{2v^2}{0.02\times 2\times g}\Rightarrow f{v}^2=0.155$

الگو:پایان چپ‌چین ابتدا یک f حدس می زنیم : f=0.025

و از حلقه ی زیر به سرعت کل میرسیم:

$\begin{array}{cc}& f_1\to v_1=2.49\to \to {\mathrm{Re}}_D=\frac{\rho vD}{\mu }=2.12\times {10}^4\to \frac{\epsilon }{D}=0.025\to f_2=0.0305\\ & f_2\to v_2=2.25\to \to {\mathrm{Re}}_D=1.92\times {10}^4\to f_3=0.03\to v_3=2.27\\ \end{array}$ الگو:پایان چپ‌چین

پس سرعت کل برابر است با:2.27m/s

---

مثال۵

اگر داشته باشیم: الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}& D=\frac{1}{16}in\\ & L=10ft\\ & seabow:\{\rho =1.7slug/f{t}^2\mu =2\times {10}^{-3}lbf.s/f{t}^2\}\\ & Q=0.01gpm\\ & \\ & \\ \end{array}$ الگو:پایان چپ‌چین

تغییرات فشار را بیابید.

الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}& Q=0.01\times 0.00233=2.33\times {10}^{-4}f{t}^3/s\\ & V=\frac{Q}{A}=\frac{2.33}{\frac{\pi }{4}(\frac{1}{16}\times \frac{1}{12})}=1.05ft/s\\ & {\mathrm{Re}}_D=\frac{\rho VD}{\mu }=4.68f=\frac{64}{{\mathrm{Re}}_D}=13.67\\ & h_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}=450ft\\ & \mathrm{\Delta }P=h_f\times \rho g=28.6\times {10}^{3}lbf/f{t}^2=172psi\\ \end{array}$

---

مثال۸

$\begin{array}{cccc}\rho =1000\frac{kg}{m^3}& \mu =0.001& D=5cm& L=20m\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{ccc}{k}_1=0.5& k_2=1& k_3\end{array}=10$

الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین

$\frac{p_1}{\rho g}+\frac{v_1^2}{2g}+z_1=\frac{p_2}{\rho g}+\frac{v_2^2}{2g}+z_2+h_f$

الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین

$h_f=\sum _{i=1}^{n}f\frac{L_i}{D_i}.\frac{v_i^2}{2g}+\sum _{j=1}^n{k}_j.\frac{v_j^2}{2g}$

الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین

$h_f=f\frac{L}{D}.\frac{v^2}{2g}+(k_1+k_2+k_3)\frac{v^2}{2g}$

الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین

$\frac{v^2}{2g}(f.\frac{L}{D}+k_1+k_2+k_3)=z_1-z_2=10$

الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین

$v^2(4000f+12.5)=200$

الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین

$\mathrm{Re}=\frac{\rho vD}{\mu }=50000v$

$\begin{array}{ccc}f=0.03& v_2=1.2\frac{m}{s}& \mathrm{Re}=60000\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{ccc}f=0.0024& v_2=1.36\frac{m}{s}& \mathrm{Re}=68000\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{ccc}f=0.0235& v_2=1.88\frac{m}{s}& \mathrm{Re}=67600\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین

$\to \begin{array}{cc}f=0.0235& Q=1.88A\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین

مثال۹

$\begin{array}{cccc}\rho =1000\frac{kg}{m^3}& \mu =0.001& L=20m& H=10m\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cccc}\frac{\epsilon }{D}=0.001mm& k_1=0.5& k_2=1& k_3\end{array}=10$

الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین

$D=?$

الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین

$\frac{p_1}{\rho g}+\frac{v_1^2}{2g}+z_1=\frac{p_2}{\rho g}+\frac{v_2^2}{2g}+z_2+h_f$

الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین

$h_f=f\frac{L}{D}.\frac{v_{}^2}{2g}+(k_1+k_2+k_3)\frac{v_{}^2}{2g}$

الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین

$\frac{v^2}{2g}(f\frac{L}{D}+k_1+k_2+k_3)=z_1-z_2\stackrel{v=\frac{Q}{\frac{\pi D^2}{4}}}{\to }f.\frac{20}{D}+12.5=250000000D^5$

الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین

$\mathrm{Re}=\frac{\rho vD}{\mu }=\frac{260}{D}$

الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{ccc}D=0.017& \mathrm{Re}=15000& f=0.027\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین
الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{ccc}D=0.0205& \mathrm{Re}=13000& f=0.029\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین

$\to D=0.02$

الگو:پایان چپ‌چین

در اتصالات لوله‌ها در هر گره: الگو:چپ‌چین

$\sum _{}^{}{Q}_{out}=0$

مثال۱۱

در شکل زیر سرعت v2 را بیابید.

پرونده:Amir 22.jpg

این مسئله از نوع مسائل نوع دوم است بنابراین f را حدس میزنیم.

البته در اینجا f را لایه ای فرض میکنیم وبا این فرض حل میکنیم. الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}& z_1-(\frac{V^2}{2g}+z_2)=h_f+h_m=f\frac{L}{D}\frac{V_2^2}{2g}+\frac{k{V}_2^2}{2g}\\ & f=\frac{64}{{\mathrm{Re}}_D}=\frac{64\mu }{\rho V_{2}D}\\ & 1.2=({}^{64\mu }╱{}_{\rho V{}_{2}D}+k+1)\frac{V_2^2}{2g}=\left(\frac{k+1}{2g}\right)V_2^2+\frac{32\mu V_2}{\rho g{D}^2}\\ & \to V_2=\frac{-12.8\pm \sqrt{{12.8}^2+4\times 0.075\times 1.2}}{2\times 0.075}=0.066\\ & {\mathrm{Re}}_D=\frac{\rho VD}{\mu }=33<2300\to La\min ar\\ \end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین از انجا که حاصل کمتر از2300 شده بنابراین فرض لایه ای بودن جریان درست بوده است.

مثال۱۲

پرونده:Amir 11.jpg

در شکل زیر Q1 و Q2 را بیابید.

این مثال از نوع مسائل نوع دوم است. الگو:چپ‌چین

$Q=Q_1+Q_2\to \frac{\pi }{4}{D_1}^2{V}_1+\frac{\pi }{4}{D_2}^2{V}_2=Q_{total}\to 1$

الگو:پایان چپ‌چین اختلاف فشار نقاط 1 و 2 با اختلاف فشار دو سر لوله ی بالا و پایین برابر است.

$\begin{array}{cc}& \mathrm{\Delta }P=h{f}_1.\rho g=h{f}_2.\rho g\to h{f}_1=h{f}_2\to f_1\frac{L_1}{D_1}{V_1}^2=f_2\frac{L_2}{D_2}{V_2}^2\to 2\\ & \to V_1(0.196+0.903\sqrt{\frac{f_1}{f_2}})=4\to 3\\ & f_1=0.017\\ & f_2=0.0145\stackrel{3}{\to }{V}_1=3.41{}^m╱{}_s\stackrel{1}{\to }{V}_2=4.25{}^m╱{}_s\\ & \to {\mathrm{Re}}_1=1.7\times {10}^6\mathrm{\&}{\mathrm{Re}}_2=4.25\times {10}^6\to moody\to f_1=0.0172\mathrm{\&}{f}_2=0.0145\\ \end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین از ان جا که حدس اولیه جواب تقریبا خوبی داده حلقه را تکرار نمیکنیم.

$\begin{array}{cc}& \to V_1=3.41{}^m╱{}_s\mathrm{\&}{V}_2=4.25{}^m╱{}_s\\ & \to Q_1=0.668{}^{m^3}╱{}_s\mathrm{\&}{Q}_2=3.34{}^{m^3}╱{}_s\\ \end{array}$

مثال۱۳

پرونده:Javadrezaei5.jpg

در شکل زیر اگر $\mu ={10}^{-3}pa.s,\rho =10{}^{3}kg.m^{-3}$ سرعت متوسط جریان را به دست آورید؟

با استفاده از معادله انرژی داریم

${(\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z)}_1={(\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z)}_2+h_f(1)$

الگو:پایان چپ‌چین از طرفی می‌دانیم الگو:چپ‌چین

$h_f=f.\frac{L}{D}.\frac{v^2}{2g}(2)$

1 و 2 نتیجه می‌دهد الگو:چپ‌چین

$1,2\to \mathrm{\Delta }z=\frac{v^2}{2g}(1+\frac{fL}{D})=1.2$

فرض می‌کنیم جریان لایه‌ای است (بدلیل کوچک بودن ابعاد)

پس الگو:چپ‌چین

$f=\frac{64}{\mathrm{Re}}(3)$

$\mathrm{Re}=\frac{\rho vD}{\mu }(4)$

الگو:پایان چپ‌چین 1 و 2 و 3 و 4 نتیجه می‌دهد

$\begin{array}{cc}& \frac{v^2}{2g}(1+\frac{\frac{64\mu }{\rho vD}L}{D})=1.2\to 12.8v+0.05v^2=1.2\to \\ & v_1=.093,v_2=-256.1\\ \end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین جواب منفی غلط می‌باشد

پس الگو:چپ‌چین

$v=.093$

الگو:پایان چپ‌چین چون الگو:چپ‌چین

$\mathrm{Re}=\frac{\rho vD}{\mu }=5\times {10}^2⟨2300$

الگو:پایان چپ‌چین پس فرض لایه‌ای بودن درست می‌باشد و سرعت حاصل جواب مسئله است.

مثال۱۴

در شکل جریان دایمی و تراکم ناپذیر می باشد؛ توان پمپ را بیابید؟

بین نقاط 1 و 2 معادله انرژی می‌نویسیم.

و چون هر دو در سطح آزادند فشار هر دو برابر فشار اتمسفر است و سرعت هر دو نیز صفر است. الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}& {(\frac{P}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+Z)}_1+h_p={(\frac{P}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+Z)}_2+h_f+\sum h_m\\ & \left\{\begin{array}{cc}& P_1=P_2\\ & V_1=V_2\\ \end{array}\right\}\\ \end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین حال با ساده‌سازی روابط داریم. الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}& h_p=(Z_2-Z_1)+f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}+(K_i+K_V+K_b+K_f)\frac{V^2}{2g}\\ & V=\frac{Q}{A}=10.23\frac{ft}{s}\Rightarrow \mathrm{Re}=1.42*{10}^4\\ & \frac{\epsilon }{D}=0.001\\ \end{array}$

اکنون با استفاده از رینولدز و ضریب سختی از نمودار مودی F را می خوانیم.

F=0.031 الگو:چپ‌چین

$h_p=10(0.031*\frac{40}{\frac{2}{12}}+0.5+5+0.9+1)\frac{{10.23}^2}{2*32.2}=34.1$

حالا باh توان را محاسبه می‌کنیم.

الگو:چپ‌چین

$P=\rho g{h}_{p}Q=408ft\frac{lbf}{s}$

---

مثال۱۵

پرونده:R.m.png

دو مخزن به وسیله لوله‌هایی از جنس چدن چکش‌خوار به طول 20 ft به یکدیگر متصل هستند. ورودی و خروجی لبه نیز تیز است. با فرض آن که سیال آب 20 درجه سانتی‌گراد و مخزن 1، 50ft نسبت به مخزن 2 بالاتر باشد با افزودن افت‌های موضعی، دبی جریان را بر حسب فوت مکعب در ثانیه بیابید؟

حل

برای چدن چکش خوار داریم: $\epsilon =0.0018$

ورودی لبه تیز : $k_1=0.5$

در اثر انبساط ناگهانی : $k_2=(1-0.5^2)\to k_2=0.75$

خروجی لبه تیز : الگو:چپ‌چین

$k_3=1$

$\begin{array}{cc}& Q=V_a{A}_a=V_a(\frac{\pi }{4}{D}_a^2)=V_b{A}_b=V_b(\frac{\pi }{4}{D}_b^2)\to V_b=\frac{1}{4}{V}_a\\ & \mathrm{\Delta }Z=h_{f_a}+\mathrm{\Sigma }{h}_{m_a}+h_{f_b}+\mathrm{\Sigma }{h}_{m_b}=\frac{V_a^2}{2g}(f_a\frac{L_a}{D_a}+0.5+0.75)+\frac{V_b^2}{2g}(f_b\frac{L_b}{D_b}+1)\\ & \mathrm{\Delta }Z=50=\frac{V_a^2}{2(32.2)}(f_a\times 240+1.25+f_b\frac{120}{16}+\frac{1}{16})\\ \end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین مقدار

$f_a\cong f_b\cong 0.02$ را حدس میزنیم:

$\begin{array}{cc}& V_a\approx 23.0ft/s\\ & {\mathrm{Re}}_a\cong 178000\\ & f_a\approx 0.0238\\ \end{array}$

و همچنین : الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}& V_b\approx 5.76ft/s\\ & {\mathrm{Re}}_b\cong 88800\\ & f_b\approx 0.0221\\ \end{array}$

نهایتا داریم: الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}& f_a=0.0239\\ & f_b=0.0223\\ & V_a=21.4ft/s\\ & Q=21.4(\frac{\pi }{4})(\frac{1}{12}{)}^2=0.117f{t}^3/s\\ & \\ \end{array}$ الگو:پایان چپ‌چین