دورهمی طرح و حل مساله ریاضی/پهنا و پهنا ثابت

راوی: محمدامین شعبان‌نیا

راجع به این موضوع در دو جلسه صحبت شد: سه‌شنبه، ۱۰ مهر ۱۴۰۳ و یکشنبه، ۱۵ مهر ۱۴۰۳.

گزارشی از مطالب کلاس

بخش 1: تابع پهنا

محوریت اصلی این فصل در رابطه با تابع پهنا است؛ بنابراین ابتدا به تعریف آن می‌پردازیم (توجه کنید در اینجا تنها شکل‌های دوبعدی مدنظر است و برای ابعاد بالاتر نیز تعاریف و قضایای کاملا مشابه وجود دارد):

تعریف 1.1: برای هر شکل دوبعدی $A$ در صفخه مختصات دکارتی، به تابعی که به ازای زاویه $\theta \in [0,\pi )$، طول تصویر شکل را بر روی خط گذرا از مبدا با زاویه $\theta$ نسبت به محور $x$ نشان می‌هد، تابع پهنا می‌گویند و آن را با ${\pi }_A$ نشان می‌دهند.

مثال 1.2: همانظور که در شکل 1 مشاهده می‌کنید، ${\pi }_A(\theta =0.44)=\overline{CD}=4.3cm$

شکل 1

توجه: می‌توان در تعریف تابع پهنا، دامنه‌ی آن را به جای $[0,\pi )$، کل $ℝ$ قرار داد. فقط باید توجه کرد که در آن صورت تابع پهنا، متناوب با دوره تناوب $\pi$ خواهد‌ بود.

نکته (ویژگی تابع پهنا): می‌توان ثابت کرد که تابع پهنا پیوسته است. اما آیا هر تابع پیوسته نامنفی با دامنه $[0,\pi )$ می‌تواند تابع پهنای یک شکل باشد؟ خیر؛ می‌توان به نابرابری هایی رسید که تابع پهنا شدن را محدود می‌کند.

مثلا واضح است که اگر پهنای شکل در یک جهتی برابر $\ell$ باشد، می‌توان فهمید که یک پاره‌خط با طول حداقل $\ell$ می‌توان درون شکل یافت که طول تصویر آن (که همواره کمتر از طول تصویر شکل است) با چرخش خط تصویر، مثل تابع $cos(\theta )$ رفتار می‌کند و این یعنی مقدار تابع در زوایای اطراف شیب پاره‌خط نمی تواند از یک حدی با سرعت زیاد (بیشتر از $cos(\theta )$) کاهش یابد. به عبارت ساده‌تر اگر مقدار یک نقطه تابع را داشته‌ باشیم، یک کران پایین برای نقاط اطراف آن نیز بدست می‌آید و این اتفاق اجازه نمی‌دهد که هر تابع پیوسته دلخواهی، تابع پهنای یک شکل باشد.

بخش 2: میانگین پهنا

تعریف 2.1: هر شکل $A$ در صفحه، یک میانگین پهنا دارد که به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\overline{\pi }}_A=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\pi }_A(\theta )d\theta$

حال قرار است میانگین پهنای یک پاره‌خط را حساب کنیم.

لم 2.2: میانگین پهنای یک پاره‌خط به طول $l$ برابر $\frac{1}{\pi }\times 2l$ می‌باشد.

اثبات لم 2.2: برای پاره‌خط $AB$ به طول $l$ داریم:

${\overline{\pi }}_{AB}=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\pi }_{AB}(\theta )d\theta =\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}|l\cdot \cos (\theta )|d\theta =\frac{2l}{\pi }\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos (\theta )d\theta =\frac{2l}{\pi }.◻$

شکل 2

در ادامه به کمک میانگین پهنای پاره‌خط، میانگین پهنای چندضلعی‌های محدب را محاسبه می‌کنیم.

قضیه 2.3: میانگین پهنای هر چندضلعی محدب $𝒫$ برابر $\frac{P(𝒫)}{\pi }$ است.( که در آن، $P(𝒫)$ همان محیط $𝒫$ است.)

اثبات قضیه 2.3: برای اثبات قضیه به این نکته توجه کنید که تصویر $𝒫$ روی هر خط برابر نصف مجموع تصویر اضلاع $𝒫$ روی آن خط است. پس داریم:

${\overline{\pi }}_{𝒫}=\frac{1}{2}\sum _{s\in S}{\overline{\pi }}_s=\frac{1}{2}\sum _{s\in S}\frac{2l_s}{\pi }=\frac{P(𝒫)}{\pi }$

که $S$ مجموعه اضلاع $𝒫$ است و تساوی دوم از لم 2.2 بدست آمده است. $◻$

شکل 3

نتیجه 2.4: به صورت حدی میتوان هر خم بسته محدب را به صورت یک چندضلعی محدب در نظر گرفت؛ بنابراین میانگین پهنای هر شکل محدب $A$ در صفحه برابر $\frac{P(A)}{\pi }$ می‌باشد.

نتیجه 2.5: طبق اصل میانگین می‌توان گفت: هر شکل محدب با محیط $x$، یک پهنای به طول حداکثر $\frac{x}{\pi }$ و یک پهنای به طول حداقل $\frac{x}{\pi }$ دارد.

درروش دیگر، بدون انتگرال‌گیری نیز می‌توان به نتیجه 2.4 رسید. به صورت شهودی می‌دانیم که میانگین پهنای شکل دوبعدی باید ضریب ثابتی از محیطش باشد. پس کافی است مقدار این ثابت را بدست آوریم. از طرفی هم می‌دانیم تصویر یک شکل مثل دایره در هر زاویه‌ای یک مقدار ثابت (همان طول قطر آن) است. پس میانگین آن نیز باید برابر همان مقدار ثابت باشد. یعنی اگر قطر دایره برابر $2r$ باشد، محیط آن برابر $2\pi r$ خواهد بود اما طبق چیزی که گفتیم میانگین پهنای دایره برابر همان قطر آن است یعنی $2r$ که $\frac{1}{\pi }$ محیطش می‌شود و این یعنی آن مقدار ثابتی که دنبالش بودیم برابر $\frac{1}{\pi }$ است. با تکرار همین استدلال مشابه برای ابعاد بالاتر می‌توان به نتایج جالبتری دست یافت.

مثال 2.6: اگر برای حالت 3-بعدی، پهنا را همان مساحت تصویر شکل روی صفحات در نظر بگیریم، آنگاه کره در 3-بعد یک شکل با پهنای ثابت می‌شود. هر تصویر آن روی صفحه همان دایره گذرنده از مرکز آن می‌شود. پس اگر شعاع کره برابر $r$ باشد، مساحت هر تصویر آن (پهنای آن و درنتیجه میانگین پهنای آن) برابر $\pi r^2$ می‌شود. به علاوه، مساحت کل آن برابر $4\pi r^2$ است که 4 برابر میانگین پهنا شده پس در حالت 3-بعدی، میانگین پهنای هر شکل برابر $\frac{1}{4}$ مساحت آن است.

قضیه 2.7: اگر شکل (خم بسته) محدب $B$ درون شکل محدب $A$ قرار داشته باشد، محیط $B$ کمتر از محیط $A$ است.

اثبات قضیه 2.7: از آنجاکه $B$ درون $A$ قرار دارد، در هرجهت $\theta$ داریم: ${\pi }_B(\theta )\le {\pi }_A(\theta )$. پس میانگین پهنای $B$ نیز کمتر از میانگین پهنای $A$ است. اما با داشتن این نابرابری و نتیجه 2.4 داریم:

${\overline{\pi }}_B\le {\overline{\pi }}_A\Rightarrow \frac{P(B)}{\pi }\le \frac{P(A)}{\pi }\Rightarrow P(B)\le P(A).◻$

شکل 4

به دلیل ویژگی‌های قابل توجهی که شکل های با پهنای ثابت دارند، در ادامه به مبحث پهناثابت‌ ها می‌پردازیم.

بخش 3: پهناثابت ها

تعریف 3.1: به شکل‌هایی که (دوبعدی و محدب) طول تصویر (پهنای) آن‌ها در تمام جهات یکسان است، پهناثابت می‌گویند.

دایره تنها شکل پهناثابت نیست. بی‌نهایت شکل پهناثابت دیگر به روش‌های مختلف می‌توان ساخت. یکی از روش‌ها به این صورت است که ابتدا یک فرد-ضلعی منتظم در نظر بگیرید. سپس به مرکز یک راس و شعاع به اندازه‌ی بزرگترین قطر آن، یک کمان در سمت ضلع مقابل آن راس بزنید. (این کار را برای تمام رئوس تکرار کنید.) شکل حاصل بیرونی یک خم بسته محدب با پهنای ثابت $l$ خواهد بود که $l$ طول بزرگترین قطر فرد-ضلعی است. برای مشاهده روش‌های مختلف ساخت شکل پهناثابت، به مطالب تکمیلی مراجعه کنید.

شکل 5

گزاره نادرست: اگر $r<s$ آنگاه هر شکل پهناثابت با پهنای $r$ قابل گنجاندن درون یک شکل پهناثابت با پهنای $s$ است.

مثال نقض: شکل 6 یک پهناثابت به طول پهنای $l$ است ولی درون هیج دایره‌ای به قطر $l+ϵ$ (برای $ϵ$ به اندازه‌ی کافی کوچک) جای نمی‌گیرد. چراکه 3 نقطه با فاصله‌ی دوبه‌دو $l$ نسبت به هم دارد و در دایره چنین چیزی ممکن نیست.

شکل 6

توجه: در کلاس در این باره بحث شد که "آیا ضریب ثابت $c$ وجود دارد که هر شکل پهناثابت $l$ درون یک شکل بهناثابت $c\times l$ قابل گنجاندن باشد؟" سعی کردیم کوچکترین $c$ که این ویژگی را دارد پیدا کنیم منتها به نتیجه مهمی نرسیدیم. البته ثابت کردیم $c=2$ این ویژگی را دارد.

گزاره 3.2: هر شکل پهناثابت با پهنای $l$ درون یک دایره به قطر $2l$ قابل گنحاندن است.

اثبات گزاره 3.2: یک شکل $A$ با پهنای ثابت $l$ بگیرید و نقطه‌ی $P$ را روی این شکل در نظر بگیرید. از ادعای زیر برای اثبات گزاره استفاده می‌کنیم:

ادعا: فاصله‌ی $P$ از تمام نقاط دیگر شکل، کمتر یا مساوی $l$ است.
اثبات ادعا: اگر با فرض خلف یک نقطه‌ای مثل $Q$ باشد که فاصله‌اش از $P$ بیشتر از $l$ باشد، آنگاه تصویر شکل روی خط موازی پاره‌خط $PQ$، حداقل برابر طول $PQ$ است که بیشتر از $l$ بوده و تناقض است پس ادعا درست بوده.

حال کافی است به مرکز $P$، یک دایره به شعاع $l$ بزنیم. طبق ادعا، تمام نقاط شکل درون دایره می‌افتند پس حکم گزاره ثابت می‌شود .$◻$

گزاره 3.3: هر شکل محدب غیرپهناثابت $A$ با ماکزیمم پهنای $l$ را می‌توان به یک شکل پهناثابت با پهنای $l$ گسترش داد.

این گزاره درست است اما اثبات آن در کلاس گفته نشده. برای مشاهده روش اثبات می‌توانید به مطالب تکمیلی مراجعه کنید. شیوه‌ی دیگر بیان گزاره 3.3 می‌تواند اینگونه باشد که: "اگر $A$ یک شکل محدب ماکسیمال (یعنی هر نقطه ای اضافه شود، ماکزیمم پهنا افزایش یابد) با پهنای ماکزیمم $l$ باشد، آنگاه پهناثابت است.". برعکس این گزاره نیز درست است یعنی داریم:

گزاره 3.4: شکل پهناثابت $A$ قابل گسترش نیست.

اثبات گزاره 3.4: از قضایای هندسه می‌دانیم بین هر شکل محدب و یک نقطه بیرون شکل، یک خط جداکننده وجود دارد. پس اگر شکل $A$ قابل گسترش باشد، یک نقطه در بیرون آن مثل $P$ وجود دارد که با اضافه شدن آن به شکل، همچنان شکل پهناثابت بماند. اما اگر خط جداکننده $A$ و $P$ را در نظر بگیریم و این دو را روی خط عمود بر آن خط تصویر کنیم، تصویر $A$ یک پاره‌خط به طول پهنای $A$ است و تصویر $P$ نیز نقطه‌ای بیرون پاره‌خط است پس با اضافه کردن آن به $A$، پهنا قطعا بیشتر از قبل می‌شود که تناقض است و حکم گزاره اثبات می‌شود. $◻$

شکل 7

دیدگاه "شکل ماکسیمال" و ویژگی "پهناثابت بودن"، ذهن ما را به سمت لم زُرن می‌برد که بیان می‌کند:

لم 3.5 (زُرن): اگر یک مجموعه ناتهی با ترتیب جزئی داشته‌باشیم که هر زنجیر آن یک کران بالا داشته‌باشد، آنگاه این مجموعه حتما عضو ماکسیمال دارد.

مطالب تکمیلی

روش ساخت شکل پهناثابت:

چند‌ضلعی‌های منتظم با تعداد اضلاع فرد: هر چندضلعی منتظم با تعداد اضلاع فرد می‌تواند به یک منحنی با پهنای ثابت، به نام چند‌ضلعی رولو (Reuleaux Polygon)، تبدیل شود. در این روش، کمان‌های دایره‌ای با مرکز در رأس‌های چندضلعی و عبور از دو رأس دورترین نسبت به مرکز ترسیم می‌شوند. به عنوان مثال، این ساختار می‌تواند یک مثلث رولو را از یک مثلث متساوی‌الاضلاع تولید کند. همچنین، برخی چندضلعی‌های نامنتظم نیز می‌توانند پلیگون‌های رولو ایجاد کنند.

روش خطوط متقاطع (Crossed-Lines Method): این روش که توسط مارتین گاردنر توصیف شده است، از ترتیب‌دهی خطوط متقاطع در صفحه استفاده می‌کند:

مجموعه‌ای از خطوط در صفحه که هیچ دو خطی موازی نیستند، بر اساس شیب خطوط به صورت چرخه‌ای مرتب می‌شوند. سپس این خطوط با یک منحنی متشکل از دنباله‌ای از کمان‌های دایره‌ای به هم متصل می‌شوند. هر کمان، دو خط متوالی در ترتیب مرتب‌شده را به هم متصل می‌کند و مرکز آن در نقطه تلاقی دو خط قرار دارد. شعاع کمان اول باید به اندازه کافی بزرگ انتخاب شود تا اطمینان حاصل شود که تمام کمان‌های بعدی در طرف صحیح نقطه تلاقی بعدی خاتمه یابند. با این حال، تمام شعاع‌های بزرگ‌تر از یک مقدار حداقل، مناسب هستند.

اثبات گزاره 3.3:

بدون کاستن از کلیت فرض کنید ماکزیمم پهنای شکل ماکسیمال $A$ برابر 1 باشد. بالاتر ثابت کردیم که طول بزرگترین پاره‌خط درون شکل برابر 1 است. همجنین دو لم زیر را داریم:

لم 1: برای هر نقطه روی مرز $A$ مثل $P$، یک نقطه در شکل وجود دارد که فاصله اش از $P$، دقیقا برابر 1 باشد.

ایده اثبات لم1: با فرض خلف می‌توان در همسایگی نقطه $P$، نقطه به شکل اضافه کرد که با ماکسیمال بودن متناقض است.

لم 2: هر دو پاره‌خط به طول 1 در شکل، حتما متقاطع اند.

ایده اثبات لم 2: با فرض خلف، پاره‌خطی پیدا می‌شود که طول آن بیشتر از 1 است که به تناقض می‌رسیم.

حال تصویر شکل را در یک جهت دلخواه در نظر می‌گیریم. خطوط به موازات آن جهت را از بالا به پایین به شکل برخورد می‌دهیم. از لم 1 می‌دانیم نقاط برخورد خط با مرز شکل، هر کدام حداقل یک نقطه برایشان در شکل موجود است که فاصله 1 از آن‌ها دارند. حال طبق مقدار میانی و لم 2 می‌توان به راحتی دید که در مقطعی، برخورد خط با شکل در مرز باید یک پاره خط به طول 1 بسازد و چون جهت خط را دلخواه انتخاب کردیم، حکم گزاره ثابت می‌شود. $◻$

تابع پشتیبان و تابع پهنا:

در هندسه، تابع پشتیبان (Support Function) یک منحنی بسته و محدب، تابعی است که فاصلهٔ نزدیک‌ترین نقطهٔ منحنی تا مبدأ را در هر جهت مشخص می‌کند. این تابع به‌طور مستقیم با تابع پهنا مرتبط است، زیرا عرض منحنی در هر جهت برابر با مجموع مقادیر تابع پشتیبان در آن جهت و جهت مقابل آن می‌باشد.

تعریف تابع پشتیبان: فرض کنید منحنی محدب بسته‌ای در صفحه داشته باشیم که مبدأ مختصات درون آن قرار دارد. تابع پشتیبان $h(\theta )$ برای زاویهٔ $\theta$ به‌صورت زیر تعریف می‌شود: (که $𝒞$ همان منحنی است.)

$h(\theta )=max\{x\cos (\theta )+y\sin (\theta )\mid (x,y)\in 𝒞\}$

این مقدار نشان‌دهندهٔ فاصلهٔ دورترین نقطهٔ منحنی در جهت زاویهٔ $\theta$ از مبدأ است.

ارتباط با تابع عرض:

عرض یک منحنی در جهت زاویهٔ $\theta$ برابر است با فاصلهٔ بین دو خط پشتیبان موازی که منحنی را در آن جهت محصور می‌کنند. این عرض را می‌توان به‌صورت زیر با استفاده از تابع پشتیبان محاسبه کرد:

$\pi (\theta )=h(\theta )+h(\theta +\pi )$

که در این رابطه، $h(\theta )$ فاصلهٔ نقطهٔ پشتیبان در جهت $\theta$ و $h(\theta +\pi )$ فاصلهٔ نقطهٔ پشتیبان در جهت مقابل است.

مطالعه بیش‌تر

۱) ضفحه ویکی درباره‌ی "خم های باپهنای ثابت": به طور مفصل به این منحنی‌ها، روش ساخت و ویژگی‌های آنها می‌پردازد.

۲) اسلاید‌های ارائه در رابطه با "پهناثابت‌ها و ساخت آنها"

۳)صفحه ویکی درباره‌ی "تابع پشتیبان": درباره تعریف و ویژگی‌های این تابع برای خم‌ها بحث می‌کند.

۴) مقاله "پهناثابت‌ها و سایه آنها" در رابطه با شکل های پهناثابت و تابع پهنای آنها و نتایجی که می‌توان از طریق تابع پهنا برای شکل محاسبه کرد، صحبت می‌کند.