نگاهی به ریاضیات پیشرفته/نظریه مجموعه‌ها

نظریه مجموعه‌ها شاخه‌ای از منطق ریاضی است که به مطالعه مجموعه‌ها می‌پردازد. مجموعه‌ها، گردایه‌ای از اشیاء هستند. هر چند هر نوعی از اشیاء می‌توانند یک مجموعه را تشکیل دهند، اما نظریه مجموعه‌ها اغلب در مورد اشیاء مرتبط با ریاضی به کار می‌رود. زبان نظریه مجموعه‌ها را می‌توان در تعریف تقریباً همه‌ی اشیاء ریاضی به کار برد.

مطالعه جدید بر روی نظریه مجموعه‌ها توسط گئورگ کانتور و ریچارد ددکیند در دهه ۷۰ قرن ۱۸ میلادی آغاز شد. پس از کشف تناقض‌های نظریه طبیعی مجموعه‌ها، دستگاه‌های اصل موضوعی بی‌شماری در اوایل سده ۲۰ مطرح شدند که معروف‌ترین آن‌ها اصل موضوعه زرملو-فرانکل و اصل موضوعه انتخاب هستند. نظریه مجموعه‌ها عموماً به عنوان سیستم بنیادین ریاضیات در شکل نظریه مجموعه‌های زرملو-فرانکل همراه با اصل موضوعه انتخاب به کار می‌رود. گذشته از نقش بنیادین آن، نظریه مجموعه‌ها در جایگاه خود یکی از شاخه‌های ریاضی با جامعه پژوهش فعالی محسوب می‌شود. پژوهش‌های معاصر در نظریه مجموعه‌ها موضوع‌های متنوعی را شامل می‌شود که از ساختار خط اعداد حقیقی تا مطالعه سازگاری اعداد بزرگ متغیر است.

اجتماع

اجتماع در ریاضی به معنای این است که دو زیر مجموعه را تمامی عضوهاو عناصر آن دو زیرمجموعه (مثلAوB)را نشان می‌دهد. اجتماع با نماد$\cup$نشان داده می شود.

اصول اجتماع

مجموعه های A و S داریم. اگر S مجموعه ای از مجموعه های نظری (S یک رده در مجموعه ها باشد) مجموعه ای به اسم مجموعه C بدست می آید که مجموعه و عناصر و اعضای Sزیر مجموعه آن باشد. اگر$A\in S$باشد پس مجموعه A اینگونه$A\subseteq C$ است. اجتماع همه اعضای S که آن را با $\bigcup S$ یا $\bigcup _{A\in S}A$ نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می می‌شود: $\bigcup S:=\bigcup _{A\in S}A:=\{x\in C:\mathrm{\exists }A\in S,x\in A\}$

اجتماع دو مجموعه:$A\cup B$

خواص اجتماع

اجتماع دارای اصولی است

مجموعه$A\cup B\cup C$بامجموعه$A\cup (B\cup C)$برابر است

اگر دومجموعه همسان اجتماع پیدا کنند برابر با خود آنها می شود.

$A\cup A=A$

اگر مجموعه تهی و یک مجموعهAاجتماع پیدا کنند برابر با مجموعهAاست

$A\cup \varphi =\varphi \cup A=A$

اگر مجموعهA,B,Cداشته باشیم،اشتراک اجتماع آنها را بدست آوریم به این حالت می نویسیم

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

یا

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

اشتراک

اشتراک در ریاضی به معنای این است که زیر مجموعه ای مشترک دو مجموعه باشد. اجتماع را با نماد $\cap$ نشان می‌دهند.

اشتراک دو مجموعه:$A\cap B$

اصول اشتراک

اگر S مجموعه‌ای ناتهی از مجموعه‌ها باشد و

$X\in S$

عضو دلخواهی از S، اشتراک همه اعضای S که آن‌را با

$\bigcap S$

یا

$\bigcap _{A\in S}A$

نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$\bigcap S:=\bigcap _{A\in S}A:=\{y\in X:\mathrm{\forall }A\in S,y\in A\}$

منابع

1. ویکی پدیای فارسی
2. ویکی پدیای انگلیسی