ویکی‌جزوه/دانشکده:فنی و مهندسی/انتقال حرارت/مقدمه‌ای بر رسانش

مقدمه

همانگونه که می‌دانیم رسانش عبارت است از انتقال گرمای ناشی از شیب دما در یک محیط که به وسیله‌ی فعالیت اتم‌ها و مولکول‌های آن محیط صورت می‌گیرد.

در انتقال گرمای رسانشی، رسانش گرما حالتی از جابجایی انرژی، درون یا بین بدنهٔ اجسام است که براثر شیب دما رخ می‌دهد. رسانش به معنای انتقال انرژی جنبشی ذرات است. رسانش در همهٔ شکل‌های مادهٔ پاسخ‌پذیر صورت می‌گیرد، یعنی در جامدها، مایع‌ها، گازها و پلاسماها. گرما خودبه‌خود تمایل دارد از جسمی با دمای بیشتر به جسمی با دمای کمتر شارش یابد. در نبود شارهای محرک، تغییرات دما در طول زمان به تعادل گرمایی میل می‌کند.

در رسانش، بر خلاف همرفت و تابش گرمایی، گرما از درون خود جسم شارش می‌یابد. در جامدات، انتقال انرژی بر پایهٔ مدل الکترون آزاد و رسانش بر اثر ترکیب لرزش‌های مولکول‌های ساختار بلوری یا فوتون* صورت می‌پذیرد. در گازها و مایعات، رسانش نتیجهٔ برخورد و پخش مولکولی مولکول‌هایِ در حال حرکت تصادفی است. فوتون‌ها عموما با هم برخورد ندارند و جابجایی گرما بر اثر تابش الکترومغناطیسی به عنوان نوعی از رسانش گرمایی محسوب نمی‌شود. در جامدات جدا کردن و تشخیص انتقال به وسیلهٔ فوتون‌ها از انتقال به وسیلهٔ مادهٔ پاسخ‌پذیر ساده نیست، اما در مایع‌ها درک این تفاوت ساده‌تر است و در گازها معمولا در نظر گرفته می‌شود.

در علوم مهندسی، جابجایی گرما شامل فرآیندهای تابش گرمایی، همرفت و گاهی جابجایی جرم می‌شود و اغلب بیش از یکی از این فرآیندها در حال رخ‌ دادن است.

(*فوتون: فوتون به عنوان یک ذره ی بنیادی بدون بار، بدون جرم و پایدار می باشد که به عنوان واحد کوانتومی نور و یا هر نوع تابش الکترومغناطیسی محسوب می شود.)

معادله آهنگ رسانش

قانون فوریه (Fourier law)

قانون فوریه یک قانون پدیده شناسی است؛ یعنی از پدیده‌های مشاهده شده (تجربی) و نه از اصول اولیه به دست می‌آید.

قانون فوریه بیان ریاضی آهنگ رسانش می‌باشد. برای استفاده از این قانون در تعیین شار گرما باید تغییرات دما در محیط (توزیع دما) معلوم باشد.الگو:سخیک میله را با جنس معلوم و سطح مقطع ثابت که اطراف آن عایق است در نظر بگیرید؛ با این شرط که دو انتهای آن در دماهای (T1 و T2) قرار دارند (T1 > T2). این اختلاف دما باعث انتقال گرمای رسانشی در جهت مثبت (x) می‌شود. حال می‌توان آهنگ انتقال گرمای (qx) را اندازه گرفت وارتباط آن‌ها را با (T، ∆x∆ و A) بررسی کرد. با بررسی‌های انجام گرفته، شار حرارتی هدایت در یک محیط، با گرادیان دما و سطح تبادل حرارتی رابطهٔ مستقیم دارد. پس به رابطه زیر می‌رسیم:

پرونده:Hararat.jpg

الگو:چپ‌چین (شکل: رسانش گرما در حالت پایا) الگو:پایان چپ‌چین

الگو:چپ‌چین $q_x\equiv -A_c\frac{\mathrm{\Delta }T}{\mathrm{\Delta }x}$ الگو:پایان چپ‌چین

رابطهٔ بالا برای میله‌های با جنس‌های متفاوت برقرار است، لذا درمی یابیم که با اضافه کردن یک ضریب می‌توان این تناسب را به تساوی تبدیل کرد:

$q_x=-k{A}_c\frac{\mathrm{\Delta }T}{\mathrm{\Delta }x}$

که در آن (K) رسانندگی گرمایی(W/m.k)، یک خاصیت مهم ماده است. این رابطه در یک نقطه به صورت حدی وقتی "X → ۰∆" می‌رود به شکل زیر است:

الگو:چپ‌چین $q_x=-kA\frac{dT}{dx}$ الگو:پایان چپ‌چین

و برای شار گرما در حالت کلی و در جهت x به صورت زیر می‌باشد:

پرونده:111.jpg

الگو:چپ‌چین $q=\underset{A}{\int }{q}^{″}dA$ الگو:پایان چپ‌چین الگو:چپ‌چین $q^{\prime }{\text{'}}_x=-k\frac{dT}{dx}$ الگو:پایان چپ‌چین

علامت منفی نشان دهندهٔ انتقال گرما در جهت کاهش دما است.

قانون فوریه به فرم بالا یک کمیت برداری است و راستای آن عمود بر سطح مقطع (Ac) می‌باشد. باید توجه داشت که انتقال گرما در راستای عمود بر سطوح هم دما باشد، لذا در رابطه بالا سطح (A) یک سطح هم دما می‌باشد.

برای المان زیر در راستای x قانون فوریه را می‌نویسیم.الگو:سخ الگو:سخ الگو:چپ‌چین

پرونده:Yaghoub Safavi CV.jpegالگو:سخ (شکل: حجم کنترل دیفرانسیلی برای تحلیل قانون فوریه)

$q_x=kdydz\frac{T_x-T_{x+dx}}{dx},$ الگو:سخ الگو:سخ الگو:پایان چپ‌چین نرخ انتقال حرارت بر واحد سطح: $q\prime \prime$الگو:سخ با این تعریف می‌توانیم برای همه جهات (x و y و z) نرخ انتقال حرارت را بنویسیم: الگو:چپ‌چین الگو:سخ $q\prime {\prime }_x=-k\frac{\partial T}{\partial x}$ الگو:سخ الگو:سخ

$q\prime {\prime }_y=-k\frac{\partial T}{\partial y}$ الگو:سخ الگو:سخ $q\prime {\prime }_z=-k\frac{\partial T}{\partial z}$ الگو:سخالگو:سخ الگو:پایان چپ‌چین پس می‌توان نرخ انتقال حرارت بر واحد سطح را به صورت برداری زیر نوشت: الگو:چپ‌چین الگو:سخ $\overrightarrow{q\prime \prime }=q\prime {\prime }_x\overrightarrow{i}+q\prime {\prime }_y\overrightarrow{j}+q\prime {\prime }_z\overrightarrow{k};$ الگو:سخ

$\overrightarrow{q^{″}}=-k\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)\overrightarrow{i}-k\left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)\overrightarrow{j}-k\left(\frac{\partial T}{\partial z}\right)\overrightarrow{k}$ الگو:سخ

$\overrightarrow{q^{″}}=-k\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}T$

الگو:سخ الگو:پایان چپ‌چین از معادلهٔ بالا دیده می‌شود که بردار شار گرما در راستای عمود بر سطوح تک دماست. الگو:چپ‌چین الگو:سخ الگو:سخ

الگو:سخ الگو:پایان چپ‌چین

مولفه‌های بردار شار گرما در راستای عمود بر سطوح هم دما است و بیان کننده شار گرما در راستای هر محور می‌باشد. نکته‌ای که دراین معادله قابل توجه است یکسان بودن (k) در هر سه راستا است که مبین همسانگرد بودن جسم است یعنی اینکه انتقال گرما در آن مستقل از راستای مختصه است.

قانون فوریه برای تمامی مواد (جامد، مایع، گاز) به کار می‌رود.

برای درک بهتر رابطهٔ رسانش، در زیر، نمونهٔ حل شده‌ای آورده شده است:

مثال ۱

شرایط پایا برای رسانش یک بعدی را در دیوار مسطحی با رسانندگی گرمایی (K=50(W/m.k و ضخامت (l=0.25(m؛ و بدون تولید گرمای داخلی، در نظر بگیرید. شار گرما و شیب دما را در صورتی که $T_1=50{}^{\circ }C$ و $T_2=-20{}^{\circ }C$ بیابید.

راه حل:

شار گرما: الگو:چپ‌چین

$q^{\prime }{\text{'}}_x=-k\frac{\mathrm{\Delta }T}{\mathrm{\Delta }x}$

${\text{q}}_x=-\frac{\{\left(50\right)\times \left[(-20-50)\right]\}}{0.25}=14000$

الگو:پایان چپ‌چین شیب دما:

$\frac{\mathrm{\Delta }\text{T}}{\mathrm{\Delta }\text{X}}\text{=}\frac{\text{-20-50}}{\text{0}\text{.25}}\text{= - }\text{280}$ الگو:پایان چپ‌چین

معادله پخش گرما

در تحلیل رسانش، موضوع مهم تعیین میدان دما در هر محیط از روی شرایط مرزی آن است. یعنی می خواهیم توزیع دما که نحوه ی تغییر دما را بر حسب مکان در محیط نشان می دهد، بدانیم. اگر این توزیع معلوم باشد، شار گرمای رسانشی در هر نقطه داخل محیط یا هر نقطه از سطح آن را از قانون فوریه می توان محاسبه کرد. سایر کمیت های مهم نیز قابل ارزیابی اند.

در جامدات می توان از توزیع دما استفاده کرد و با تعیین تنش های گرمایی، انبساط ها و انحراف ها از بی عیبی ساختاری اطمینان حاصل کرد. از توزیع دما برای بهینه سازی ضخامت عایق یا برای تعیین سازگاری پوشش ها یا چسبان ها با مواد نیز می توان استفاده کرد.

معادله پخش گرما در مختصات کارتزین

محیط همگنی را در نظر بگیرید که در آن هیچ حرکت کپه‌ای (ادوکسیون) وجود ندارد و توزیع دمای $T(x,y,z)$ در مختصات کارتزین بیان شده است. با استفاده از پایستاری انرژی و حجم کنترل دیفرانسیلی زیر شروع می کنیم:

پرونده:Smrt69 - 1.jpg

$:q\prime \prime \prime$ نرخ حرارت حجمی

$:c$ ثابت گرمای ویژه

$:\rho$ چگالی

معادله بقای انرژی: الگو:چپ‌چین

$\frac{\partial E_{c.v}}{\partial t}={\dot{E}}_{in}-{\dot{E}}_{out}+{\dot{E}}_{gen}$
$\frac{\partial E_{c.v}}{\partial t}=\rho dvc\frac{\partial T}{\partial t};$

${\dot{E}}_{in}=q\prime {\prime }_x\mid {}_{x}dydz+q\prime {\prime }_y\mid {}_{y}dxdz+q\prime {\prime }_z\mid {}_{z}dxdy;$

${\dot{E}}_{out}=q\prime {\prime }_x\mid {}_{x+dx}dydz+q\prime {\prime }_y\mid {}_{y+dy}dxdz+q\prime {\prime }_z\mid {}_{z+dz}dxdy;$

${\dot{E}}_{gen}=q\prime \prime {\prime }_{gen}dxdydz;$
الگو:پایان چپ‌چین با قرار دادن چهار رابطه ی اخیر در معادله ی انرژی، و با تقسیم کردن طرفین بر dx و dy و dz معادله به صورت زیر در خواهد آمد:

$\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=-[\frac{q\prime {\prime }_x\mid {}_{x+dx}-q\prime {\prime }_x\mid {}_x}{dx}+\frac{q\prime {\prime }_y\mid {}_{y+dy}-q\prime {\prime }_y\mid {}_y}{dy}+\frac{q\prime {\prime }_z\mid {}_{z+dz}-q\prime {\prime }_z\mid {}_z}{dz}]+q\prime \prime {\prime }_{gen};$

می توانیم به جای عبارات داخل کروشه، معادل آن ها که مشتق شارش است را قرار دهیم؛ پس معادله به شکل زیر در خواهد آمد:

$\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=-[\frac{\partial q\prime {\prime }_x}{\partial x}+\frac{\partial q\prime {\prime }_y}{\partial y}+\frac{\partial q\prime {\prime }_z}{\partial z}]+q\prime \prime {\prime }_{gen};$
الگو:پایان چپ‌چین

و یا می توانیم آن را به شکل ساده تر زیر بنویسیم:

$\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}.\overrightarrow{q\prime \prime }+q\prime \prime {\prime }_{gen};$

با جایگذاری "q از قانون فوریه داریم:

$\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}.(k\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}T)+q\prime \prime {\prime }_{gen};$

دما را با دو فرض می توانیم از درون پرانتز بیرون آوریم:

۱) جنس ماده تغییر نکند.

۲) k با دما تغییر نکند.

با استفاده از این دو فرض معادله به صورت زیر در خواهد آمد:

$\rho c\frac{\partial T}{\partial t}=k{\mathrm{\nabla }}^{2}T+q\prime \prime {\prime }_{gen};$

$\frac{k}{\rho c}=\alpha \to thermaldiffusioncofficient$*

$\alpha (\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial z^2})+\frac{q\prime \prime {\prime }_{gen}}{\rho c}=\frac{\partial T}{\partial t}$ الگو:سخ

نتیجه ی مهم رابطه ی بالا این است که در شرایط پایا، یک بعدی و بدون تولید انرژی، شار گرما در جهت انتقال ثابت است. الگو:چپ‌چین

$\frac{d{q^{″}}_x}{dx}=0$ الگو:پایان چپ‌چین

...................................

*پخشندگی گرمایی: تفسیر فیزیکی $\alpha$ این است که معیاری برای سنجش انتقال گرما ($\mathrm{K}$) نسبت به ذخیره ی انرژی ($\rho c_P$) است.)

...................................

مثال ها:

مثال ۲) یک دیوار تخت و یکنواخت با $\mathrm{K}$ ثابت داریم. توزیع دما را در شرایط دائمی و نرخ انتقال حرارت بر واحد سطح را بیابید. الگو:چپ‌چین

الگو:پایان چپ‌چین الگو:چپ‌چین پرونده:232swewe.jpg الگو:پایان چپ‌چین الگو:چپ‌چین $\frac{d^{2}T}{d{x}^2}=-\frac{{q^{″}}_{gen}}{k}=0$

مشتق دوم صفر است لذا معادله خطی می باشد.

$\frac{dT}{dx}=c_1\Rightarrow T=c_{1}x+c_2$

حال با بررسی شرایط مرزی، ثابت ها را بدست می آوریم:

 الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}& x=0\to T=T_1\Rightarrow c_2=T\\ & x=L\to T=T_2\Rightarrow T_2=c_{1}L+c_2\\ & \Rightarrow c_1=\frac{T_2-T_1}{L}\\ & \Rightarrow T=\frac{T_2-T_1}{L}x+T_1\\ \end{array}$

$q{\text{'}}^{\prime }=-k\frac{dT}{dx}=k\frac{T_1-T_2}{L}$

الگو:پایان چپ‌چین

مثال 3) مثال قبل را با فرض اینکه در $x=0$ ؛ $q{\text{'}}^{\prime }=c$ باشد بررسی کنید.

$\begin{array}{cc}& T(x)=\frac{T_2-T_1}{L}x+T_1\\ & q^{″}=k\frac{T_1-T_2}{L}=c\Rightarrow T_2=T_1-\frac{cL}{k}\\ \end{array}$

مثال 4) مثال 2 را با فرض اینکه در x=L شرط ${q^{″}}_{}=h(T_2-T_{\mathrm{\infty }})$ برقرار باشد بررسی نمایید.

$\begin{array}{cc}& T(x)=\frac{T_2-T_1}{L}x+T_1\\ & q^{″}=k\frac{T_1-T_2}{L}=h(T_2-T_{\mathrm{\infty }})\to T_1-T_2=\frac{hL}{k}(T_2-T_{\mathrm{\infty }})\\ & \Rightarrow T_2=\frac{T_1-\frac{hL}{k}{T}_{\mathrm{\infty }}}{1+\frac{hL}{k}}\\ \end{array}$

مثال 5) در مثال 2 فرض کنید که در دیوار تولید گرما با نرخ ثابت ${q^{‴}}_{gen}$ وجود دارد.

$\begin{array}{cc}& \frac{d^{2}T}{d{x}^2}=-\frac{{q^{″}}_{gen}}{k}=c_1\\ & \frac{dT}{dx}=c_{1}x+c_2\\ & dxT=\frac{1}{2}{c}_1{x}^2+c_{2}x+c_3\\ & x=0\to T=T_1\Rightarrow c_3=T_1\\ & x=L\to T=T_2\Rightarrow T_2=\frac{c_1{L}^2}{2}+c_{2}L+T_1\Rightarrow c_2=\frac{T_2-T_1-\frac{c_1{L}^2}{2}}{L}\\ & \Rightarrow T(x)=\frac{c_1{x}^2}{2}+\frac{T_2-T_1-\frac{c_1{L}^2}{2}}{L}x+T_1\\ \end{array}$

مثال 6)معادله ی شار گرما، با نرخ تولید ثابت، را در دیوار زیر بدست آورید.

$\begin{array}{cc}& \frac{d^{2}T}{d{x}^2}=-\frac{{q^{‴}}_{gen}}{K}=cte\\ & \frac{dT}{dx}=-\frac{{q^{‴}}_{gen}}{K}x+c_1\\ & T=-\frac{{q^{‴}}_{gen}}{2K}{x}^2+c_{1}x+c_2\\ & T(x=0)=0\to c_2=0\\ & T(x=L)=0\to 0=-\frac{{q^{‴}}_{gen}}{2K}{L}^2+c_{1}L\to c_1=\frac{{q^{‴}}_{gen}L}{2K}\\ & \to T\left(x\right)=-\frac{{q^{‴}}_{gen}}{2K}{x}^2+\frac{{q^{‴}}_{gen}L}{2K}x=\frac{x}{L}(1-\frac{x}{L})\left(\frac{{q^{‴}}_{gen}L}{2K}\right)\\ & q^{‴}=-K\frac{dT}{dx}\to q^{″}=-K(-\frac{{q^{‴}}_{gen}}{K}x+\frac{{q^{‴}}_{gen}L}{2K})\\ & x=0\to q^{″}=-\frac{{q^{‴}}_{gen}L}{2}\\ & x=L\to q^{″}=-K(-\frac{{q^{‴}}_{gen}L}{2K})=-K(-\frac{{q^{‴}}_{gen}L}{2K})=\frac{{q^{‴}}_{gen}L}{2}\\ \end{array}$

روش دوم) الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}& \frac{\partial E_{c.v}}{\partial t}={\dot{E}}_{in}-{\dot{E}}_{out}+{\dot{E}}_{gen}\\ & {\dot{E}}_{gen}={q^{‴}}_{gen}{A}_{c}L\\ & {\dot{E}}_{out}=2q^{″}{A}_c\to {\dot{E}}_{out}={\dot{E}}_{gen}\to {q^{‴}}_{gen}{A}_{c}L=2q^{″}{A}_c\to q^{″}=\frac{{q^{‴}}_{gen}L}{2}\\ \end{array}$ الگو:پایان چپ‌چین

مثال 7)

دمای سطح را برای دیوار تخت با فرض رسانش یک بعدی، با داده های مشخص شده به دست آورید (سطح در معرض تشعشع است).

$\begin{array}{cc}& T_{\mathrm{\infty }}=22{}^{\circ }c\\ & h=30\frac{W}{m^2.K}\\ & \epsilon =0.7\\ & T_{surr}=29{}^{\circ }c\\ & L=1cm\\ & A_0=150c{m}^2\\ & q_0=1500W\\ & K=2.3\frac{W}{m.K}\\ & T_2=?\\ & \\ & \frac{d^{2}T}{d{x}^2}=0\\ & -K\frac{dT}{dx}|{}_{x=0}=\frac{q_0}{A_c}={10}^5\frac{W}{m^2}\\ & -K\frac{dT}{dx}|{}_{x=L}=h(T_2-T_{\mathrm{\infty }})+\epsilon \sigma (T_2^4-T_{surr}^4)\\ & {10}^5=30(T_2-295)+(0.7)(5.67){10}^{-8}(T_2^4-{302}^4)\to T_2=1168.8K\\ & \\ \end{array}$

معادله پخش گرما برای مختصات استوانه‌ای

از اصل پایستاری انرژی استفاده می کنیم و یک حجم کنترل دیفرانسیلی در مختصات استوانه‌ای تعریف می کنیم؛ مانند شکل زیر. سپس فرآیند های انتقال انرژی مربوط به آن را مشخص می‌کنیم و معادلات مربوط به آن را وارد می‌کنیم.

پرونده:Smrt69 - 2.jpg

آهنگ گرمای رسانشی عمود بر هر یک از سطوح کنترل در جهت $r$ و $\varphi$ و $z$ را با $q_r$ و$q_{\varphi }$ و $q_z$ نشان می‌دهیم.

و الگو:چپ‌چین

$q^{{\text{'}}^{\prime }}=-k\mathrm{\nabla }T=-k(i\frac{\partial T}{\partial r}+j\frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial \varphi }+k\frac{\partial T}{\partial z})$

$q_r^{{\text{'}}^{\prime }}=-k\frac{\partial T}{\partial r}$

$q_{\varphi }^{{\text{'}}^{\prime }}=-k\frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial \varphi }$

$q_z^{{\text{'}}^{\prime }}=-k\frac{\partial T}{\partial z}$

با استفاده از معادله ی بقای انرژی:

$\frac{\partial E_{c.v}}{\partial t}=\rho dVc\frac{\partial T}{\partial t}={\stackrel{.}{E}}_{in}-{\stackrel{.}{E}}_{out}+{\stackrel{.}{E}}_{gen}$ الگو:پایان چپ‌چین

و الگو:چپ‌چین

${\stackrel{.}{E}}_{in}=q_r^{{\text{'}}^{\prime }}rd\varphi dz+q_{\varphi }^{{\text{'}}^{\prime }}drdz+q_z^{{\text{'}}^{\prime }}rd\varphi dr$

${\stackrel{.}{E}}_{out}=q_r^{{\text{'}}^{\prime }}rd\varphi dz+\frac{\partial q_r}{\partial r}dr+q_{\varphi }^{{\text{'}}^{\prime }}drdz+\frac{1}{r}\frac{\partial q_{\varphi }}{\partial \varphi }rd\varphi +q_z^{{\text{'}}^{\prime }}rd\varphi dr+\frac{\partial q_z}{\partial z}dz$

${\stackrel{.}{E}}_{gen}=\stackrel{.}{q}.dr.r.d\varphi .dz$ الگو:پایان چپ‌چین

و معادلات بالا را در معادله ی بقای انرژی قرار می دهیم: الگو:چپ‌چین

$-\frac{\partial q_r}{\partial r}dr-\frac{1}{r}\frac{\partial q_{\varphi }}{\partial \varphi }rd\varphi -\frac{\partial q_z}{\partial z}dz+\stackrel{.}{q}.dr.r.d\varphi dz=\rho c\frac{\partial T}{\partial t}dr.r.d\varphi dz$ الگو:پایان چپ‌چین

با جایگذاری آهنگ گرمای رسانشی که از قانون فوریه به دست می آید در رابطه ی بالا :

$-\frac{\partial }{\partial r}(-k\frac{\partial T}{\partial r}r.d\varphi dz)dr-\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \varphi }(-k\frac{\partial T}{r\partial \varphi }drdz)rd\varphi -\frac{\partial }{\partial z}(-k\frac{\partial T}{\partial z}dr.r.d\varphi )dz+\stackrel{.}{q}.dr.r.d\varphi dz=\rho c\frac{\partial T}{\partial t}dr.r.d\varphi dz$ الگو:پایان چپ‌چین

و تقسیم طرفین بر حجم دیفرانسیلی: الگو:چپ‌چین

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(kr\frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial \varphi }\left(k\frac{\partial T}{\partial \varphi }\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(k\frac{\partial T}{\partial z}\right)+\stackrel{.}{q}=\rho c\frac{\partial T}{\partial t}$

معادله ی پخش گرما در مختصات استوانه ای به دست می آید.

معادله پخش گرما در مختصات قطبی

$\frac{{\partial }^{2}T}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}T}{\partial {\theta }^2}+\frac{\dot{q}}{k}=\frac{\rho c}{k}\frac{\partial T}{\partial t}$ الگو:پایان چپ‌چین

پرونده:F5yhfghg.jpg

بررسی معادله پخش گرما در مختصات کارتزین تحت شرایط یک بعدی و پایا:

در حالت دائمی

$\frac{\partial T}{\partial t}=0$ الگو:پایان چپ‌چین

و در حالت یک بعدی ( در راستای X )

$\begin{array}{cc}& \frac{\partial }{\partial z}=0\\ & \frac{\partial }{\partial y}=0\\ \end{array}$ الگو:پایان چپ‌چین

که معادله ی پخش گرما برای حالت دائمی یک بعدی بصورت زیر خواهد بود:

$\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{\dot{q}}{k}=0$

برای حالت های مختلفی که می توان برای این معادله در شرایط گوناگون فرض کرد، معادله به شکل زیر در می آید:

1- اگر $q{\text{'}}^{\prime },k$ ثابت باشند؛ الگو:چپ‌چین

$\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}=-\frac{\dot{q}}{k}$

$\frac{\partial T}{\partial x}=\frac{-\dot{q}x}{k}+c_1$

$T=\frac{-\dot{q}}{2k}{x}^2+c_{1}x+c_2$ الگو:پایان چپ‌چین

2- اگر$q{\text{'}}^{\prime }=0$ باشد؛ الگو:چپ‌چین

$k\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}=0$

$\frac{\partial T}{\partial x}=c$

$T=c_{1}x+c_2$ الگو:پایان چپ‌چین

که مقدار ثابت های فرمول بالا با توجه به شرایط مرزی به دست می آید.

شرایط مرزی و شرایط اولیه

برای تعیین توزیع دما در یک ماده، بایستی معادله گرمای مربوطه را حل کرد. اما چنین حلی به شرایط فیزیکی موجود در مرزهای ماده و در صورت وابستگی به زمان، به شرایط موجود در زمان اولیه بستگی دارد. در حالت کلی برای حل مسائل انتقال حرارت نیاز به شرایط مرزی داریم. سه نوع شرط مرزی را می توان بیان نمود.

سه نوع شرط مرزی که معمولاً در انتقال گرما وجود دارد، در جدول 2-1 کتاب این کروپرا خلاصه شده‌اند.

شرط مرزی اول:

مربوط به حالتی است که در آن سطح در دمای ثابت $T_S$ نگه داشته می شود. این شرط معمولاً شرط «دیریشله» یا شرط مرزی نوع اول نامیده می شود. برای مثال، هنگامی که در روی سطح جوشش صورت گیرد:

در جوشش، انتقال حرارت در مایع از طریق جابجایی صورت می گیرد؛ بنابراین بر طبق قانون سرمایش نیوتن داریم:

$q_{conv}=hA(T_s-T_{\mathrm{\infty }})$

که در این شرایط دمای سطح ثابت می باشد؛ بنابراین این معادله را بر اساس شار حرارتی می توان نوشت.

شرط مرزی دوم:

مربوط به حالتی است که شار گرمای ثابت ${q^{″}}_s$ در سطح وجود دارد. این شرط معمولاً شرط "نیومن" یا شرط مرزی نوع اول نامیده می شود. مانند وقتی که یک گرم‌کن الکتریکی (بخاری برقی) به سطحی متصل است و یا قرار دادن یک اتوی گرم بر روی یک سطح.

شرط مرزی سوم:

مربوط به حالتی است که انتقال حرارت جابجایی روی سطح وجود داشته باشد و معادله ی آن، از موازنه ی انرژی سطحی به دست می‌آید که در آن شار جابجایی با شار حرارتی برابر است.

---

مثال 8

توزیع دما را برای دو صفحه ی موازی که به فاصله ی L ازهم قرار دارند به دست آورده و شار را روی دیواره ها بیابید. الگو:چپ‌چین پرونده:121weqw.png الگو:پایان چپ‌چین الگو:چپ‌چین

$\frac{d^{2}T}{d{x}^2}=-\frac{\stackrel{\cdot }{q}}{k}=C\begin{array}{ccc}& \Rightarrow & \{\begin{array}{c}T\left(x\right)=-\frac{1}{2}\frac{\stackrel{\cdot }{q}}{k}{x}^2+c_{1}x+c_2\\ \begin{array}{cc},& \end{array}T(x=0)=0\\ \begin{array}{cc},& \end{array}T(x=L)=0\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{cc}& \Rightarrow T\left(x\right)=-\frac{1}{2}\frac{\stackrel{\cdot }{q}}{k}{x}^2+\frac{1}{2}\frac{\stackrel{\cdot }{q}}{k}Lx=L^2\frac{\stackrel{\cdot }{q}}{2k}\left(\frac{x}{L}\right)(1-\frac{x}{L})\\ & q^{{\text{'}}^{\prime }}=-k\frac{dT}{dx}=\stackrel{}{\stackrel{\cdot }{q}(x-\frac{L}{2})}\\ & q^{{\text{'}}^{\prime }}(x=0)=-k\frac{dT}{dx}(x=0)=-\frac{1}{2}\stackrel{\cdot }{q}L\\ & q^{{\text{'}}^{\prime }}(x=L)=-K\frac{dT}{dx}(x=L)=\frac{1}{2}\stackrel{\cdot }{q}L\\ \end{array}$

اکنون می خواهیم شار روی دیواره ها را با توجه به تقارن مساله از روش دیگری به دست آوریم. برای این کار کل دو صفحه را حجم کنترل می گیریم و معادله ی انرژی را برای آن می نویسیم: الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}& \frac{\partial E_{c.v}}{\partial t}=\stackrel{.}{E_{in}}-\stackrel{.}{E_{out}}+\stackrel{.}{E_{gen}}\\ & \frac{\partial E_{c.v}}{\partial t}=0\\ & \stackrel{.}{E_{in}}=0\begin{array}{ccc}\begin{array}{cccc},& \stackrel{.}{E_{gen}}=\stackrel{.}{q}{A}_{c}L& ,& \stackrel{.}{E_{out}}=2q^{{\text{'}}^{\prime }}{A}_c\end{array}& \Rightarrow & \end{array}\\ & -2q^{{\text{'}}^{\prime }}{A}_c+\stackrel{.}{q}{A}_{c}L=0\begin{array}{ccc}& \Rightarrow & q^{{\text{'}}^{\prime }}\end{array}=\frac{1}{2}L\stackrel{.}{q}\\ \end{array}$

همچنین می توان نشان داد که مطابق شکل زیر، ماکزیمم دما در بین دو صفحه ( در فاصله ی L/2 ) است؛ که مقدار آن به صورت زیر محاسبه می شود:

الگو:چپ‌چین پرونده:Qwe23234f.png الگو:پایان چپ‌چین

$\begin{array}{cc}& \frac{dT}{dx}=0\begin{array}{ccc}& \Rightarrow & \begin{array}{ccc}\frac{\stackrel{.}{q}}{2k}(-2x+L)=0& \Rightarrow & x=\frac{L}{2}\end{array}\end{array}\\ & T_{\max }=T(x=\frac{L}{2})=\frac{\stackrel{.}{q{L}^2}}{8K}\\ \end{array}$ الگو:پایان چپ‌چین