ویکی‌جزوه/دانشکده:فنی و مهندسی/مکانیک سیالات/جریان در لوله‌ها

جریان در لوله

انواع جریانات در لوله عبارتند: از جریان داخلی و جریان خارجی. الگو:سخ جریان داخلی جریانی است که توسط جداره محصور شده باشد و اثرات لزجت رشد کرده و در تمام جریان مشاهده گردد. الگو:سخ وقتی که جریان یکنواختی از یک سیال وارد یک لوله میشود سرعت سیال تغییراتی خواهد داشت؛ برای بررسی تغییرات ابتدا باید قسمت های مختلف جریان سیال پس از ورود به لوله را بشناسیم. الگو:سخ ناحیه در حال توسعه(developing flow):

در این بخش از لوله که به فاصله Le از ابتدای لوله بوده و دارای دو ناحیه (viscous) و (inviscid) است. در ناحیه ویسکوز تنش وارد میشود در حالی که در هسته مخروطی غیر ویسکوز تنش وارد نمی‌شود. همچنین در این ناحیه سرعت سیال وابسته بهx,r است، فاصله Le وابسته به عدد رینولدز و قطر لوله است. الگو:سخ ناحیه توسعه یافته (developed flow): بعد از عبور از ناحیه در حال توسعه به ناحیه‌ای می‌رسیم که سرعت در راستای x تغییرات نداشته و سرعت در لوله تنها وابسته به r است.تمام بررسی ها مربوط به این ناحیه می‌شود (با فرض جریان توسعه یافته)الگو:سخ در اینجا ما با فرض عبور جریان بین دو صفحه ی موازی این جریان را تحلیل کرده و در آخر ضریب اصطکاک را برای این حالت به دست می آوریم در حالت کلی یک ناحیه ورودی وجود دارد که در آن جریان بالا دست نسبتا لزجی وجود دارد که همگرا می‌شود و وارد لوله می گردد. به فاصله‌ای که در طی آن سرعت کاملا توسعه یافته می‌شود طول ورودی هیدرودینامیکی می‌گویند.الگو:سخ لایه‌های مرزی لزج به طرف پایین دست جریان رشد کرده و جریان محوری در جداره ها را به تاخیر می اندازند و در نتیجه جریان هسته ی مرزی را شتاب می‌دهند، در فاصله ی محوری از ورودی لایه ی مرزی به هم رسیده و هسته غیر لزج ناپدید می شود. لوله از این پس کاملا لزج و چسبنده است و جریان محوری از این پس دیگر نسبت به X تغییر نمی کند و جریان را توسعه یافته (تکامل یافته) می نامیم.

عدد رینولدز

عدد رینولدز تنها پارامتری است که بر طول ورودی اثر می گذارد.الگو:سخ جریان در لایه مرزی سریعتر رشد می کند و طول ورودی نسبتا کوتاهتری دارد. الگو:سخ درناحیه تکامل، لایه‌های مرزی به هم می پیوندند؛ این عمل در جریان آرام، آرامتر و در جریان آشفته، سریع تر اتفاق می افتد پس نتیجه می گیریم همیشه قسمتی از طول لوله مربوط به ناحیه ورودی است اما به دلیل کوچک بودن این طول آن را در نظر نمی گیریم.الگو:سخ وضعيتي كه خطوط جريان مستقيم و موازي بوده پروفيل سرعت در تمام لوله يكسان باشد، جريان آرام كاملا توسعه يافته ناميده مي شود. در اين حالت اثر لزجت در تمام مقطع منتشر شده است.

در ابتداي لوله چنين وضعيتي برقرار نمي شود يعني در ابتدا جريان تقريبا يكنواخت است و با جلو رفتن در لوله اثرات لزجت بيشتر در جريان توسعه مي يابد. در یک تونل باد بلند هسته ویسکوز جریان مانع برقراری تشابه بین آزمایش مدل و شرایط واقعی می شود. به همین دلیل از این تونل ها برای آزمایش مدل هواپیماها استفاده نمی شود.

فاصله L از دهانه لوله تا محلي كه جريان آرام كاملا توسعه يافته برقرار مي شود با رابطه تجربي زير مي تواند تعيين شود: الگو:سخ الگو:چپ‌چین $\frac{L_e}{d}=0.058{\mathrm{Re}}_d$الگو:سخالگو:سخ الگو:پایان چپ‌چین

عدد رینولدز تاثیر زیادی بر ساختار جریان‌های گردابی دارد. در اعداد رینولدز پایین تجزیه ورتکس‌های لبه حمله به طور قابل ملاحظه‌ای به تاخیر می‌افتد و ورتکس‌ها بیشتر به سمت مرکز صفحه بال شکل می‌گیرند. در زوایای حمله کوچک، ورتکس دوم بطور موثری ورتکس اولیه را به دو تمرکز حالت گردابی می‌شکافد و باعث ایجاد یک سازه گردابی دوگانه می‌شود. در اعداد رینولدز بالاتر (در حدود ۳^۱۰×۴) جریان به یک حالت مماسی می‌رسد. افزایش بیشتر عدد رینولدز فقط موجب تغییرات کوچکی در موقعیت هسته ورتکس و تجزیه آن می‌شود که حتی در بعضی مسایل می‌توان از آن صرف نظر کرد. تجزیه ورتکس ضعیف در زوایای حمله کم، با افزایش زاویه حمله با یک تجزیه مخروطی جایگزین می‌شود.

جریان گردابی حول بالهای دلتای پهن اخیرا" به موضوع جالب توجهی در آیرودینامیک تبدیل شده است. چنین بالهایی در طراحی وسایل نقلیه هوایی بدون سرنشین و وسایل نقلیه هوایی در ابعاد میکرو مورد استفاده قرار می‌گیرد. اگرچه مکان شناسی جریان روی بالهای باریکتر بسیار مورد مطالعه قرار گرفته و به خوبی شناخته شده است جریان روی بالهای با زاویه عقب رفتگی کم، به ندرت مورد بررسی قرار گرفته است. در گذشته سعی می‌شد با بهره‌گیری از بحث در مورد مولفهٔ کوریولیس شتاب این سری مسایل توجیه شود ولی امروزه با به وجود آمدن این مباحث می‌توان تحلیل دقیق تری انجام داد. تحقیقات اولیه در این زمینه گزارش می‌کند که برای زوایای عقب رفتگی °۵۵ و °۴۵ هسته ورتکس بسیار ناپایدار بوده و تشخیص تجزیه ورتکس مشکل است. برای با ل با زاویه عقب رفتگی°۵۰ تجزیه ورتکس تنها در منطقه‌ای نزدیک به نوک بال دیده می‌شود و برای بال با زاویه عقب رفتگی°۴۵ محل تجزیه ورتکس اگرچه بسیار نزدیک به نوک با ل است، قابل تشخیص نیست.

شواهد نشان می‌دهد که در اعداد رینولدز بالا، حتی در زوایای حمله کوچک تجزیه ورتکس در نزدیکی نوک بال اتفاق می‌افتد. با وجود اینکه انتظار می‌رود تفاوت‌های اساسی با تجزیه ورتکس‌های بالهای باریک وجود داشته باشد، نتایج نشان دهنده جریانی بسیار ناپایدار روی بال است. با افزایش زاویه حمله، تجزیه ورتکس به لبه بال می‌رسد و لایه‌های برشی جدا شده شکل غالب جریان را تشکیل می‌دهند. اطلاعات بسیار اندکی از ساختار و خصوصیات پدیده جریان ناپایدار حول بال‌های دلتای پهن در دست است. بیشتر دانش موجود درباره جریانهای گردابی به ورتکس بالهای باریک مربوط می‌شود.

انواع مسائل خط لوله

1- (v یا Q) و D و Re و ε/D داریم را و f را حساب کرده و بعد hf یا p∆ را بدست می‌آوریم.

2- D و hf و p∆ را داریم و v یا Q را بدست می‌آوریم.

f را حدس می‌زنیم و v را بدست می‌آوریم، Re را نیز حساب کرده و از طریق نمودار f را بدست می‌آوریم و با f ابتدایی مطابقت می‌دهیم.

3- hf یا p∆ و v یا Q را داریم و D را بدست می‌آوریم.

D را حدس می‌زنیم و Re را محاسبه کرده و از طریق نمودار f را بدست آورده و D را بدست می‌آوریم و با D ابتدایی مطابقت می‌دهیم.

انجام این پروسه‌های سعی و خطا , (trial & errors) نیاز به کمی مهارت و دقت دارد.اگر در این موضوع مهارت لازم را داشته باشید، با تعداد دفعات کمتری به جواب خواهید رسید.

نکته۱: دقت شود در مقاطع غیر دایروی منظور از D قطر هیدرلیک است که از رابطه ی$\frac{4A}{P}$ به دست می آید. در این رابطه A مساحت و P محیط است.

نکته ۲: اگر واحد های داده شده در سوال انگلیسی باشند برای محاسبه ی عدد رینولدز صورت ز مخرج را در g (که برابر $\frac{ft}{s^2}$ ۳۲.۲ است) ضرب می کنیم این کار را جهت بی بعد سازی عدد رینولدز انجام می دهیم.

جریان ویسکوز در لوله ها

الگو:سخ با فرض جریان توسعه یافته المانی از سیال با عمق b را انتخاب کرده و بقای تکانه خطی در راستای x را بررسی میکنیم در نهایت بعد از انتگرال گیری با اعمال شرایط مرزی مطابق با فرض جریان توسعه یافته ثابت های انتگرال گیری را بدست می‌آوریم.

طبق رابطه تکانه خطی در راستای x: الگو:سخ

الگو:چپ‌چین ${(\dot{m}{V}_x)}_{in}-{(\dot{m}{V}_x)}_{out}+\sum f_x=0$الگو:سخ

$\dot{m}=\rho b\int u(y)dy$الگو:سخ

${(\dot{m}{V}_x)}_{in}={(\dot{m}{V}_x)}_{out}=\rho b\int u^2(y)dy\to \sum F_x=0$

$\sum f_x=(P_x-P_{x+dx})bdy+({\tau }_{y+dy}-{\tau }_y)bdx=0$الگو:سخ

$-\frac{dP}{dx}+\frac{d\tau }{dy}=0$الگو:سخالگو:سخالگو:سخ

الگو:پایان چپ‌چین طبق رابطه تنش برشی و لزجت سیال:الگو:سخ

$\tau =\mu \frac{du}{dy}$الگو:سخ

$\frac{d^{2}u}{{dy}^2}=\frac{1}{\mu }\frac{dP}{dx}=-G$الگو:سخ

الگو:پایان چپ‌چین با دو بار انتگرال گیری پی در پی داریم:الگو:سخ الگو:چپ‌چین

$u(y)=-\frac{G}{2}{y}^2+c_{1}y+c_2$

الگو:پایان چپ‌چین با جایگذاری شرایط مرزی در رابطه فوق:الگو:سخ الگو:چپ‌چین

$\begin{array}{cc}& y=0\to u=0\to c_2=0\\ & y=h\to u=0\to c_1=\frac{G}{2}h& u(y)=\frac{G}{2}y(h-y)\\ & y=\frac{h}{2}\to u=u_{\max }\to u_{\max }=u(\frac{h}{2})=G\frac{h^2}{8}\\ \end{array}$

$\to G=\frac{8u_{\max }}{h^2}$

$\to u(y)=4u_{\max }(\frac{y}{h})(1-\frac{y}{h})$

$\to u_{\max }=\frac{-1}{8\mu }\frac{dp}{dx}{h}^2=\frac{p_1-p_2}{8\mu L}{h}^2$

الگو:پایان چپ‌چینالگو:سخ با جایگذاری سرعت ماکزیمم از رابطه قبلی سرعت متوسط در کانال بدست خواهد آمد:الگو:سخ الگو:چپ‌چین

$\stackrel{\mathrm{\_}}{u}=\frac{1}{h}\underset{0}{\overset{h}{\int }}u(y)dy=\frac{2}{3}{u}_{\max }=\frac{p_1-p_2}{12\mu L}{h}^2$

چون که از ابتدا عمق را واحد فرض کرده بودیم در اینجا b را برای همگنی ابعادی در روابط قرار می دهیم:الگو:سخ الگو:چپ‌چین

$Q=\stackrel{\mathrm{\_}}{u}A=\frac{-G{H}^{3}b}{12\mu }$

$\frac{dp}{dx}=\frac{-12\mu }{H^2}\stackrel{\mathrm{\_}}{u}$

$\mathrm{\Delta }p=-\mathrm{\Delta }x\frac{dp}{dx}$

$\to \mathrm{\Delta }p=\frac{12\mu \stackrel{\mathrm{\_}}{u}L}{H^2}=f\frac{L}{D_H}\times \frac{1}{2}\rho u^2$

$D_h=\frac{4A}{p}$

الگو:پایان چپ‌چین برای سطح مقطع مستطیلی داریم:

الگو:چپ‌چین $D_H=\frac{4bH}{2(b+H)}=2H$

$f=\frac{12L\mu \stackrel{\mathrm{\_}}{u}}{H^2\frac{L}{2A}\frac{1}{2}\rho {\stackrel{\mathrm{\_}}{u}}^{-2}}=\frac{48\mu \times 2}{\rho u\times 2H}=\frac{96\mu }{\rho u{D}_H}=\frac{96}{{Re}_{(D_H)}}$

حال با فرض عبور جریان در یک لوله، این جریان را تحلیل کرده و در آخر ضریب اصطکاک را برای این حالت به دست می آوریم:الگو:سخ

پرونده:11f11.JPEG

پرونده:22f22.JPG

پرونده:33f33.JPG

---

مثال ۱

با توجه به مشخصات سرنگ داده شده مقدار نیروی F را بیابید؟ الگو:چپ‌چین

$\mu ={10}^{-3}kg/ms$ و$\rho =1000kg/m^3$ الگو:پایان چپ‌چین الگو:سخ پرونده:Sorang - Copy.png با نوشتن رابطه تعادل برای پیستون سرنگ:الگو:سخ فشار وارده از داخل بر سطح با نیروی خارجی F مقابله می‌کند.الگو:سخ الگو:چپ‌چین $F=(P_i-P_0)\frac{\pi D^2}{4}$ الگو:پایان چپ‌چینالگو:سخ

همچنین اختلاف فشار بین نقاط 1 و 0 برابر است با:الگو:سخ الگو:چپ‌چین $\begin{array}{cc}& P_i-P_0=\mathrm{\Delta }{P}_1+\mathrm{\Delta }{P}_2\\ \end{array}$ الگو:پایان چپ‌چینالگو:سخ

معادله ی بقای انرژی را بین نقاط 1 و 0 می نویسیم:الگو:سخ الگو:چپ‌چین

$\mathrm{\Delta }{P}_1=P_1-P_0=\rho g{h}_f$ الگو:پایان چپ‌چینالگو:سخ

از طرفی هد اتلافی برابر می شود با:الگو:سخ الگو:چپ‌چین $h_f=f\left(\frac{L}{D}\right)\left(\frac{{\overline{u}}^2}{2g}\right)$ الگو:پایان چپ‌چینالگو:سخ نکته:توجه کنید که اتلاف هم در خود سرنگ و هم در طول سوزن وجود دارد اما مقدار اتلاف در طول خود سرنگ با توجه به فرمول هد اتلافی و عطف به مقادیر DوV نسبت به هد اتلافی در طول سوزن بسیارناچیز است.

و چون جریان لایه ای است:الگو:سخ الگو:چپ‌چین $f=\frac{64}{R_{ed}}$ الگو:پایان چپ‌چینالگو:سخ

عدد رینولدز نیز برابر است با:الگو:سخ الگو:چپ‌چین $R_{ed}=\frac{\rho ud}{\mu }$ الگو:پایان چپ‌چینالگو:سخ

سرعت را میتوانیم از بقای جرم بدست آوریم (یعنی چون دبی جریان بین نقاط 1 و 2 برابر است وجریان تراکم ناپذیر است) داریم:الگو:سخ الگو:چپ‌چین $Q_2=Q_1\to A_{2}U=A_1\overline{u}\to \overline{u}=U{\left(\frac{D}{d}\right)}^2\to \overline{u}=2\times {10}^{-3}\times {10}^2=0.2m/s$الگو:سخ الگو:پایان چپ‌چینالگو:سخ

عدد رینولدز برای این سوال برابر می شود با:الگو:سخ الگو:چپ‌چین

$R_{ed}=\frac{\rho ud}{\mu }=\frac{{10}^3\times 0.2\times 0.5\times {10}^{-3}}{{10}^{-3}}=100$الگو:سخ الگو:پایان چپ‌چین حال عدد رینولدز بدست آمده را با مقدار بحرانی آن مقایسه میکنیم تا صحت لایه ای بودن جریان اثبات شود:الگو:سخ الگو:چپ‌چین

$R_{ed}⟨2300\to La\min ar$الگو:سخ الگو:پایان چپ‌چین

و چون جریان لایه ای است می توان از فرمول زیر استفاده کرد و اگر جریان آشفته بود باید از طریق نمودار مودی و یا فرمول لگاریتمی مربوط به سرعت و اصطکاک استفاده کرد.الگو:سخ الگو:چپ‌چین $f=64/R_{ed}=\frac{64}{100}=0.64$ الگو:پایان چپ‌چینالگو:سخ

طولی که بعد ازآن جریان به صورت توسعه یافته می‌شود را بدست می آوریم ولی چون از طول کل خیلی کمتر است از آن صرف نظر می کنیم.الگو:سخ الگو:چپ‌چین

$\frac{L_e}{d}=0.05{\mathrm{R}}_e=0.05\times 100=5\to L_e=5\times 0.5mm=2.5mm$ الگو:پایان چپ‌چینالگو:سخ

با توجه به روابط موجود اختلاف فشار را بدست می آوریم:الگو:سخ الگو:چپ‌چین $\mathrm{\Delta }{P}_1=f(\frac{L}{d})(\frac{\rho {\overline{u}}^2}{2})=0.64\times \frac{20}{0.5}\times \frac{1}{2}\times {10}^3\times {(0.2)}^2=512pa$

در اینجا بین نقاط 1 و2 رابطه بقای انرژی را مینویسیم:الگو:سخ الگو:چپ‌چین

${(\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z)}_2-{(\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z)}_1=h_{f_2}$ الگو:پایان چپ‌چینالگو:سخ

از U و h به دلیل کوچکی صرفه نظر میکنیم و رابطه بدین صورت میشود:

الگو:چپ‌چین $\begin{array}{cc}& P_2-P_1=\frac{1}{2}\rho ({\overline{u}}^2-U^2)+\rho g{h}_{f_2}\\ & h_{f_2}=f\left(\frac{L^{\prime }}{D}\right)\left(\frac{\rho U^2}{2}\right)\\ & P_2-P_1=\frac{\rho {\overline{u}}^2}{2}=1/2\times {10}^3\times {(0.2)}^2=20pa\\ \end{array}$ الگو:پایان چپ‌چین

بدست می‌آوریم: الگو:چپ‌چین

$\left\{\begin{array}{cc}& P_i-P_0=\mathrm{\Delta }{P}_1+\mathrm{\Delta }{P}_2\\ & \mathrm{\Delta }{P}_1=\rho g{h}_f=512pa\\ & \mathrm{\Delta }P=\frac{\rho {\overline{u}}^2}{2}=20pa\\ \end{array}\right\}\to P_i-P_0=532pa$ الگو:پایان چپ‌چین

و با توجه به رابطه تعادل که در ابتدا نوشتیم F برابر می شود با:الگو:سخ الگو:چپ‌چین

$F=(P_i-P_0)\frac{\pi D^2}{4}=532\left(\frac{\pi \times 5^2\times {10}^{-6}}{4}\right)=0.0104N$ الگو:پایان چپ‌چین

---

مثال ۲

آب، در شرایط ρ=1.94 slug/ft3، v = 0.00001 ft2/s ، Q = 0.2 ft3/s از طریق یک لوله به قطر 2 اینچ و طول 400 فوت، همراه با جندین افت موضعی، بین دو مخزن پمپ می‌شود. اگر نسبت زبری 0.01 باشد، توان لازم برای پمپ را بر حسب (hp) محاسبه کنید.

پرونده:Yaghoub.Safavi.2.png

حل: معادله انرژی را بین مقاطع 1 و 2 یعنی سطوح آزاد دو مخزن بنویسید. الگو:چپ‌چین

$(\frac{p}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+z{)}_1=(\frac{p}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+z{)}_2+h_f-h_p+\sum h_m$

الگو:پایان چپ‌چین که در آن $h_p$ افزایش هد حاصل از پمپ (هد پمپ) است. ولی چون $(P_1)=(P_2)$ و $(V_1)=(V_2)$ و همچنین $V_1=0$ خواهد بود، پس برای هد پمپ داریم: الگو:چپ‌چین

$h_p=z_2-z_1+h_f+\sum h_m=120ft-20ft+\frac{V^2}{2g}(\frac{fL}{d}+\sum K)$

الگو:پایان چپ‌چین اکنون با دانستن دبی جریان خواهیم داشت: الگو:چپ‌چین

$V=\frac{Q}{A}=\frac{0.2f{t}^3/s}{\frac{\pi (\frac{2}{12}ft{)}^2}{4}}$

الگو:پایان چپ‌چین برای $\frac{ϵ}{d}$ از نمودار مودی داریم: f=۰٫۰۲۱۶ که با جایگزین کردن آن در معادله، خواهیم داشت:

هد پمپ الگو:چپ‌چین $h_p=100ft+\frac{(9.17\frac{ft}{s}{)}^2}{2(32.2\frac{ft}{s^2})}(\frac{0.0216(400)}{\frac{2}{12}}+12.2)=100ft+84ft=184ft$

الگو:پایان چپ‌چین پمپ باید به آب قدرت بدهد: الگو:چپ‌چین

$P=\rho gQ{h}_p=(1.94(32.2)\frac{lbf}{f{t}^3})(0.2\frac{f{t}^3}{s})(184ft)=2300\frac{(ft.lbf)}{s}$

الگو:پایان چپ‌چین ضریب تبدیل برابر است با $1h_p=500\frac{(ft.lbf)}{s}$، بنابراین: الگو:چپ‌چین

$P=\frac{2300}{550}=4.2hp$

الگو:پایان چپ‌چین اگر بازده پمپ حدود ۷۰ تا ۸۰٪ باشد، توان آن حدود ۶ اسب بخار خواهد بود.

---

مثال ۳

$ℒ=1m$

$\mu ={10}^{-3}kg/ms$

$\rho =1000kg/m^3$

$\mathscr{H}=20cm$

$𝒟=0.5mm$

$𝒬=?$

الگو:چپ‌چین $\begin{array}{cc}& {(\frac{p}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+Z)}_1-h_f={(\frac{p}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+Z)}_2\\ & h_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}=-\frac{V^2}{2g}+\mathrm{\Delta }Z\\ \end{array}$

$\to \frac{V^2}{2g}(f\frac{L}{D}+1)=\mathrm{\Delta }Z=1.2m$

$R_{ed}=\frac{\rho VD}{\mu }$ الگو:پایان چپ‌چینالگو:سخ

فرض می کنیم مقدار f=0.99. از رابطه بالا نتیجه می شود: الگو:چپ‌چین $V=\sqrt{\frac{1.2\times 20}{(f\frac{L}{D}+1)}}=0.11\frac{m}{s}\Rightarrow \mathrm{Re}=55$

f= 0.99 v2= 0.11 m/s Re= 55

f= 1.2 v2= 0.1 m/s Re= 50

f= 1.3 v2= 0.09 m/s Re= 45 f=1.3

v= 0.09 m/s Q= v.A= 0.00000002 الگو:پایان چپ‌چین

---

مثال ۴

با توجه به اطلاعات داده شده در شکل زیر سرعت را در لوله بدست آورید:

پرونده:Mehran.png

$\mu =1.9*{10}^{-3}pa.s$

${S.G.}_K=0.81$

و $\epsilon =0.046mm$

${S.G.}_{Hg}=13.6$

$\frac{\epsilon }{D}=0.0023$

?=v

حل:

$(\frac{p}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z{)}_1=(\frac{p}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z{)}_2+h_f$

$\to h_f=\frac{p_1-p_2}{(\rho g{)}_k}+(Z_1-Z_2)=\mathrm{\Delta }h(\frac{{S.G.}_{Hg}}{{S.G.}_K}-1)$ الگو:پایان چپ‌چین

اختلاف فشار را بین نقاط 1 و 2 می نویسیم

$p_1+H(\rho g{)}_k-\mathrm{\Delta }h(\rho g{)}_{Hg}-(H-\mathrm{\Delta }h)(\rho g{)}_k-\mathrm{\Delta }Z(\rho g{)}_k=p_2\to p_2-p_1=\mathrm{\Delta }h(\rho g{)}_{Hg}-\mathrm{\Delta }h(\rho g{)}_k+\mathrm{\Delta }Z(\rho g{)}_k$

$h_f=0.32m=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}\to \Rightarrow f{V}^2=0.155m^2/s^2$

مقدار f را0.025 انتخاب می کنیم: الگو:چپ‌چین

$f=0.025\to V=2.49m/s\to Re=2.12*10^4\to f=0.029$

$V=2.26m/s\to Re=1.94*10^4\to f=0.03\to v=2.27m/s$ الگو:پایان چپ‌چین

مثال ۵

ρ=1000 kg/m3 μ= 0.001 pa.s

L= 20 m D= 5 cm

H= 10 m ε /D = 0.001

k1= 0.5 k2= 1 k3=10

P1/ ρg + v1^2/2g + z1 = P2/ ρg + v2^2/2g + z2 + hf

hf = f .L/D (v2^2/2g) + ∑ k.v^2/2g

v^2/2g (f .L/D +k1 + k2 + k3) = z1 + z2= 10

v^2 (f×4000 + 12.5) = 200

Re= ρ.v.D/ μ = 50000×v

f= 0.03 v2= 1.2 m/s Re= 60000

f= 0.0024 v2= 1.36 m/s Re= 68000

f= 0.0235 v2= 1.88 m/s Re= 67600

f=0.0235 Q= 1.88×A

---

مثال ۶

D=? ρ=1000 kg/m3

μ= 0.001 pa.s L= 20 m

H= 10 m ε /D = 0.001 mm

k1= 0.5 k2= 1 k3=10

P1/ ρg + v1^2/2g + z1 = P2/ ρg + v2^2/2g + z2 + hf

hf = f .L/D (v2^2/2g) + ∑ k.v^2/2g

v^2/2g (f .L/D +k1 + k2 + k3 + 1) = z1 + z2

v2 = Q/4πD^2

f×20/D + 12.5 = 250000000×D^5

Re= ρ.v.D/ μ = 260/D

D= 0.017 Re= 15000 f= 0.027

D= 0.0205 Re= 13000 f= 0.029

D=0.02

در اتصالات لوله‌ها در هر گره: Qout = 0∑

---

مثال ۷

$\mu ={10}^{-3}kg/ms$ و $\rho =1000kg/m^3$

$L_1=1000m$ و $D_1=0.5m$ و ${\epsilon }_1=0.26mm$

$L_2=1500m$ و $D_2=1m$ و ${\epsilon }_2=0.1mm$

$Q_t=4m^3/s$

$Q_1=?$ و $Q_2=?$

حل:

الگو:چپ‌چین $Q_t=Q_1+Q_2\to A_1{v}_1+A_2{v}_2=4$

$h_{f1}=h_{f2}$ الگو:پایان چپ‌چین

$f_1\frac{L_1}{D_1}\frac{{V_1}^2}{2g}=f_2\frac{L_2}{D_2}\frac{{V_2}^2}{2g}$

$\frac{V_2}{V_1}=\sqrt{\frac{f_1{L}_1{D}_2}{f_2{L}_2{D}_1}}$

الگو:چپ‌چین

$\frac{V_2}{V_1}=1.15\sqrt{\frac{f_1}{f_2}}$

$f_1=0.017$ و $f_2=0.0145$ اکنون مقادیرV را بدست آورده و مقادیر Re را نیز محاسبه کرده و از نمودار مودی مقادیر f را بدست می‌آوریم و با f ابتدایی مطابقت می‌دهیم.

مثال ۸

در سیستم نشان داده شده، سرعت آب °20 سانتیگراد را بیابید.

$\begin{array}{cc}& \mu ={10}^{-3}pas\\ & \rho ={10}^3\frac{kg}{m^3}\\ \end{array}$

الگو:سخ

حل:الگو:سخ رابطه انرژی را برای نقاط ۱ و ۲ با درنظر گرفتن هد اتلافی مینویسیم:الگو:سخ

فشار در نقاط 1 و 2 یکسان و برابر با فشار اتمسفر می باشد.الگو:سخ

الگو:چپ‌چین $\begin{array}{cc}& {(\frac{p}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+Z)}_1-h_f={(\frac{p}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+Z)}_2\\ & h_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}=-\frac{V^2}{2g}+\mathrm{\Delta }Z\\ \end{array}$

$\to \frac{V^2}{2g}(f\frac{L}{D}+1)=\mathrm{\Delta }Z=1.2m$

فرض میکنیم جریان لایه ای است و سرعت را بدست می آوریم:الگو:سخ الگو:چپ‌چین $\begin{array}{cc}& as:lam\to f=\frac{64}{R_{ed}}\mathrm{\&}{R}_{ed}=\frac{\rho VD}{\mu }\to h_f=\frac{32\mu LV}{\rho g{D}^2}\\ & (\frac{32\mu LV}{\rho g{D}^2}+\frac{V^2}{2g})=1.2m\\ & 12.8V+0.05V^2=1.2\\ & \to V=\frac{-12.8\pm \sqrt{{12.8}^2+(4\times 0.05\times 1.2)}}{2\times 0.05}=\pm 0.094\frac{m}{s}\\ & \to V=0.094\frac{m}{s}\\ \end{array}$ الگو:پایان چپ‌چینالگو:سخ

حال عدد رینولدز را می‌یابیم که بررسی کنیم فرضمان درست است یا خیر:الگو:سخ الگو:چپ‌چین

$R_{ed}=\frac{\rho VD}{\mu }=5\times {10}^2\times 0.094=47<2300\to la\min ar$ الگو:پایان چپ‌چینالگو:سخ

بنابراین فرض ما درست بوده و سرعتی که یافتیم جواب مساله است.الگو:سخ

جريان آشفته

در اغلب حالات عملي (مثلا جريان آب در شبكه هاي آبرساني)، عدد رينولدز معمولا بالا بوده و جريان آشفته است. در جريان آشفته بدليل اثر آشفتگي تنشهاي ديگري نيز علاوه بر تنشهاي لزج معمولي وجود دارند كه تنشهاي ظاهري ناميده مي شوند.الگو:سخ کار انجام شده به دلیل نیروی فشاری است که باعث می شود سیال در مجرای مورد نظر جریان یابد.الگو:سخ کاری در تنشهای برشی جداره ها انجام نمی شود زیرا سرعت در دیواره ها صفراست و کار فشاری به واسطه از میان رفتن لزجت درون جریان اسـت. برای جریان آرام نوسانات غیر تصادفی وجود ندارند و همچنین برای جریان آشفته به تغییر های نوسانی کاری نداریم زیرا بسیار پیچیده اند اما میانگین این تغییرات مد نظر است.الگو:سخ در اعداد رينولدز بیشتر از 2300 جريان اشفته برقرار میشود.الگو:سخ

در جريان آشفته تغييرات فشار در طول لوله به كميتهاي زير وابسته است (لوله افقي فرض مي شود)

۱) قطر لوله D

۲) طول لوله L

۳) لزجت $\mu$

۴) متوسط سرعتهاي متوسط زماني در يك مقطع v

۵) جرم مخصوص $\rho$

۶) زبري لوله $\epsilon$

بنابراين: الگو:چپ‌چین

$\mathrm{\Delta }P=f(v,L,D,\rho ,\mu ,\epsilon )$ الگو:پایان چپ‌چین

با استفاده از آناليز ابعادی مي توان گروههای بي بعد زير را بدست آورد: الگو:چپ‌چین $\begin{array}{cc}& \frac{\mathrm{\Delta }P}{\rho v^2}=f(\frac{\rho vD}{\mu },\frac{L}{D},\frac{\epsilon }{D})=\frac{L}{D}f({\mathrm{Re}}_D,\frac{\epsilon }{D})\\ & h_f=\frac{\mathrm{\Delta }P}{\gamma }=f({\mathrm{Re}}_D,\frac{\epsilon }{D}).\frac{L}{D}.\frac{v^2}{2g}\\ \end{array}$

كه در آن f ضريب اصطكاك ناميده مي شود.

ارتباط بین f، ${\mathrm{Re}}_D$ بر مبناي آزمايشات تجربي بدست آمده است كه هر دو جريان آرام و آشفته را شامل مي شود. در جريان آرام $f=\frac{64}{{\mathrm{Re}}_D}$

در جريان آشفته و وضعيت بينابين ضريب f و مبنای زبری نسبی $\frac{\epsilon }{D}$ و عدد رينولدز ${\mathrm{Re}}_D$ از دياگرام مودي بدست مي آيد.

اين منحني بر اساس آزمايش و اعمال زبريهاي مختلف با چسباندن دانه هاي شن با اندازه هاي گوناگون و به فواصل متفاوت بر روي ديواره لوله بدست آمده است ؛

قسمت خطي نمودار تطابق بسيار خوبي با رابطه تئوري $f=\frac{64}{{\mathrm{Re}}_D}$ دارد.

در اعداد بالاي رينولدز ضريب اصطكاك مستقل از عدد رينولدز بوده و منحني به خطي افقي تبديل مي شود.

دياگرام مودي

پرونده:Hr.55 5.jpg

دیاگرام مودی، دیاگرامی لگاریتمی است و شیب در نمودار لگاریتمی مطابق زیر است:

$\log y=m\log x+c;m=inclane$

شیب قسمت لایه ای برابر است با:

$\begin{array}{cc}& f=\frac{64}{R_e}\to \log f=\log \frac{64}{R_e}=\log 64-\log R_e\\ & \log f=-\log R_e+\log 64\\ & \to m=-1\\ \end{array}$

فرمول صریح دیگری نیز به وسیله "هالند" ارایه شده است:

$\frac{1}{\sqrt{f}}=-1.8\log [\frac{6.9}{{\mathrm{Re}}_d}+{\left(\frac{\frac{\epsilon }{d}}{3.7}\right)}^{1.11}]$

---

در این قسمت با سه دسته از مسائل سروکار داریم:

دسته اول که در آن ها کمیت های (سرعت V یا دبیQ)و (قطر D)و (زبری لوله ε) معلوم هستند و ما به دنبال به دست آوردن (اختلاف فشار ΔP یااتلاف اصطکاکی hf) هستیم. برای حل با استفاده از روابط مربوطه مجهول ها را بدست می آوریم و نیازی به سعی و خطا نیست.

در دسته دوم کمیت های (اختلاف فشار ΔP یااتلاف اصطکاکی hf)و (قطر D)و (زبری لوله ε) را داریم و می خواهیم (سرعت V یا دبیQ) را به دست آوریم. برای حل به شیوه زیر عمل میکنیم:

۱) یک ضریب اصطکاک (f) حدس میزنیم

۲) با استفاده از hf و رابطه مربوطه سرعت را به دست می آوریم.

۳) سرعت بدست آمده را در فرمول Re قرار داده و Re را بدست می آوریم.

۴) یک f (ضریب اصطکاک) را از روی نمودار مودی با توجه به Re محاسبه شده در مرحله قبل میخوانیم.(به این صورت یک حلقه طی میشود)

۵) f خوانده شده را با f ای که در ابتدا حدس زدیم مقایسه میکنیم. تا 10 درصد خطا در تفاوت مقدار دو f مجازیم که مسئله را تمام کنیم اما در غیر این صورت باید حلقه را با این f جدید دوباره تکرار کنیم.

در دسته سوم نیز (سرعت V یا دبیQ)و (زبری لوله ε) و (اختلاف فشار ΔP یااتلاف اصطکاکی hf) معلومند و کمیت (قطر D) مجهول است که به اصطلاح یک مسئله طراحی نامیده میشود. برای حل به شیوه زیر عمل میکنیم:

۱) یک ضریب اصطکاک (f) حدس میزنیم

۲) با استفاده از hf و V و رابطه مربوطه D را به دست می آوریم.

۳) قطر (D) بدست آمده را در فرمول Re قرار داده و Re را بدست می آوریم.

۴) یک f (ضریب اصطکاک) را از روی نمودار مودی با توجه به Re محاسبه شده در مرحله قبل میخوانیم.(به این صورت یک حلقه طی میشود)

۵) f خوانده شده را با f ای که در ابتدا حدس زدیم مقایسه میکنیم. تا 10درصد خطا در تفاوت مقدار دو f مجازیم که مسئله را تمام کنیم اما در غیر این صورت باید حلقه را با این f جدید دوباره تکرار کنیم.

---

مثال ۱

پیستون نشان داده شده، تحت نیروی F در سیلندر حرکت می کند.با توجه به مشخصات داده شده نیروی F را بیابید.

پرونده:111987.JPG

الگو:چپ‌چین $\begin{array}{cc}& find:F\\ & {(\frac{p}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z)}_1-{(\frac{p}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z)}_2=h_{loss}\\ \end{array}$ الگو:پایان چپ‌چین

با فرض جریان آرام:

الگو:چپ‌چین $f=\frac{64}{Re}=\frac{64\mu }{\rho vD}$ الگو:پایان چپ‌چین>

با صرف نظر از اصطکاک در اتصالات:

الگو:چپ‌چین $\begin{array}{cc}>& h_m=0\\ & h_{loss}=h_m+h_f=h_f\\ & h_f=f\frac{l}{D}\frac{v^2}{2g}\to h_{f1}+h_{f2}=\frac{32{\mu }_1{l}_1{v}_1}{\rho g{D^2}_1}+\frac{32{\mu }_2{l}_2{v}_2}{\rho g{D^2}_2}\\ & f_1=0\to h_{f1}=0\to h_f=h_{f2}=\frac{32{\mu }_2{l}_2{v}_2}{\rho g{D^2}_2}=\frac{32\times {10}^{-2}\times 2\times {10}^{-2}\times 2.5}{1000\times 10\times {10}^{-6}}=1.6\\ & Q_{in}=Q_{out}\to A_1{v}_1=A_2{v}_2\to v_2=2.5m{s}^{-1}\\ & \frac{p_1}{\rho g}+\frac{{v_1}^2}{2g}-\frac{{v_2}^2}{2g}=1.6\to p_1=1.9\times {10}^{4}pa\\ & F=p_1{A}_1=\frac{\pi }{4}{({10}^{-2})}^2\times 1.9\times {10}^4=1.4\\ & \stackrel{.}{w}=F.v=1.4\times 2.5\times {10}^{-2}\\ \end{array}$ الگو:پایان چپ‌چین

---

مثال ۲

در سیستم نشان داده شده،آب °20 از مخزن پایینی به مخزن بالایی پمپ می شود. توان پمپ را بیابید.

(V2 با استفاده از تساوی هد ورودی و خروجی به لوله برابر با 1.56m/s می باشد)

پرونده:333987.JPG

الگو:چپ‌چین $\begin{array}{cc}>& find:\stackrel{.}{w_{pump}}\\ & {(\frac{p}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z)}_1-{(\frac{p}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z)}_2=h_{loss}-h_p\\ & \stackrel{.}{w_{pump}}=\rho g{h}_{p}Q\to h_p=h_{loss}+7\\ \end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین صرف نظر از اصطکاک در اتصالات:

الگو:چپ‌چین $\begin{array}{cc}>& h_{loss}=h_{f1}+h_{f2}=\frac{32{\mu }_1{l}_1{v}_1}{\rho g{D^2}_1}+\frac{32{\mu }_2{l}_2{v}_2}{\rho g{D^2}_2}\\ & h_{f1}=\frac{7}{5\times {10}^{-2}}{f}_1\frac{16}{2\times 10}\\ & {\mathrm{Re}}_{D1}=\frac{\rho vD}{\mu }=\frac{1000\times {10}^{-2}\times 4\times 5}{{10}^{-3}}=2\times {10}^5>2300\\ & \frac{\epsilon }{D}=0.01\stackrel{curve}{\to }{f}_1=0.04\to h_{f1}=4.48m\\ & h_{f2}=\frac{17}{8\times {10}^{-2}}f2\frac{{(1.4)}^2}{2\times 10}\\ & {\mathrm{Re}}_{D2}=\frac{\rho vD}{\mu }=\frac{1000\times {10}^{-2}\times 1.4\times 8}{{10}^{-3}}=12.5\times {10}^4>2300\\ & \stackrel{.}{w_{pump}}=\rho g{h}_{p}Q=1000\times 10\times 18\times 25\times {10}^{-4}\times 4\times \frac{\pi }{4}=1414.7w\\ \end{array}$

---

مثال ۳

با توجه به شکل (فشار اتمسفر برابر با صد کیلو پاسکال) فشار در نقاط ۳ و ۴ را بیابید.الگو:سخ

پرونده:Ali - Copy.pngالگو:سخ

الگو:چپ‌چین $\begin{array}{cc}& \rho =1000kg/m^3\\ & \epsilon =2mm\\ & \upsilon ={10}^{-6}\frac{m^2}{s}\\ & Q=.63\frac{m^3}{s}\\ \end{array}$

حل) سرعت در نقطه 3 را یافته و بین 1 و 3 معادله بقای انرژی می نویسیم.

الگو:چپ‌چین $Q=VA\to V=\frac{Q}{A}=\frac{.63}{\frac{\pi }{4}\times {\left(1\right)}^{{}^2}}=.8\frac{m}{s}$

${(\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z)}_1={(\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z)}_3+h_f$

الگو:پایان چپ‌چین ابتدا آشفته یا آرام بودن جریان را بررسی می‌کنیم بعد مقدار f موجود در رابطه هد اتلافی را از نمودار مربوطه که در توضیحات جریان آشفته در بالا رسم شده است می‌یابیم.

الگو:چپ‌چین $\begin{array}{cc}& R_{ed}=\frac{\rho VD}{\mu }=\frac{VD}{\nu }=\frac{.8\times 1}{{10}^{-6}}=8\times {10}^5⟩2300\to Turbulet\\ & \frac{\epsilon }{D}=2\times {10}^{-3}\to f=.024m\\ & h_f=f\times \frac{L}{D}\times \frac{V^2}{2g}\to .024\times \frac{{10}^4}{1}\times \frac{{.8}^2}{2\times 10}\simeq 7.6m\\ \end{array}$ الگو:پایان چپ‌چین

$\begin{array}{cc}& \frac{p_3-p_0}{\rho g}=-h_f-\frac{V^2}{2g}+z_0=(-7.6-.032+10)=2.3\\ & \to p_3=1.23\times {10}^{5}pa\\ & {(\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z)}_4={(\frac{P}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z)}_6+h_{\begin{array}{c}f\end{array}}\\ & \to p_4=(20+7.6-.032)\times {10}^4+{10}^5=3.76\times {10}^5\\ \end{array}$

---

مثال ۴

جریان آب باآهنگ Q در لوله ی متصل به مخزن با سطح ثابت داریم. ورودی چهار گوش است. با فرض جریان smooth و ضریب افت جزیی k=0.5، عمق آب در مخزن را بیابید (L=100M).

پرونده:ALI992.png

$\begin{array}{cc}& Q=0.01\frac{m^3}{s}\\ & D=75mm\\ & L=100m\\ & {\rho }_{water}=999\frac{kg}{m^3}\\ & \mu ={10}^{{}^{-3}}\frac{kg}{m.s}\\ \end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین بین نقطه ۱ و ۲ رابطه بقای انرژی می نویسیم:

الگو:چپ‌چین $\begin{array}{cc}& {(\frac{p}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+Z)}_1-{(\frac{p}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+Z)}_2=h_{l_{{}_T}}=h_{{}_l}+h_{{}_{l_m}}\\ & h_{{}_l}=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}\mathrm{\&}{h}_{{}_{l_m}}=k\frac{V^2}{2g}\\ \end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین در این مثال داریم :$\begin{array}{cc}& p_1=p_2=p_{atm}\\ & z_1=d\\ & z_2=0\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}& d-\frac{V^2}{2g}=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}+k\frac{V^2}{2g}\\ & \to (f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}+k\frac{V^2}{2g}+\frac{V^2}{2g})=\frac{V^2}{2g}(f\frac{L}{D}+k+1)\\ & d=\frac{8Q^2}{{\pi }^2{D}^{4}g}(f\frac{L}{D}+k+1)\\ & R_e=\frac{\rho VD}{\mu }=\frac{4\rho Q}{\pi \mu D}\\ & =\frac{4}{\pi }\times 999\frac{kg}{m^3}\times 0.01\frac{m^3}{s}\times \frac{m.s}{1\times {10}^{-3}kg}\times \frac{1}{0.075m}=1.7\times {10}^5\\ \end{array}$

از نمودار داریم $f=0.017$ وبرای $k=0.5$ خواهیم داشت:

$d=\frac{8}{{\pi }^2}\times {(0.01)}^2\frac{m^6}{s^2}\times \frac{1}{{(0.075)}^4{m}^4}\times \frac{s^2}{9.81m}[(0.017)\frac{100m}{0.075m}+0.5+1]=6.31m$

---

مثال ۵

در شکل زیر که حاوی نفت خام می باشد توان مصرفی پمپ را بدست آورید (بازده پمپ ۸۰% در نظر بگیرید). پرونده:Untitled (2a).PNG

$\begin{array}{cc}& given:S{G}_{oil}:0.86\\ & \mu =2\times {10}^{-4}\frac{lbfs}{f{t}^2}\\ & \epsilon =0.002\\ & Q=100gpm=0.223\frac{f{t}^3}{s}\\ & k_i=0.5\\ & k_b=o.9\\ & k_v=5\\ & find:p\\ \end{array}$

حل: ابتدا با استفاده از خط جریان بین 1 و 2 معادله زیر را می نویسیم:

$\begin{array}{cc}& {(\frac{p}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z)}_1={(\frac{p}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z)}_2+\sum _{}^{}{h}_f+\sum _{}^{}{h}_m-h_p\\ & \to z_2-z_1+f\frac{l}{d}\times \frac{v}{2g}+(k_i+k_b+k_v)\frac{v^2}{2g}=h_{p_{}}\\ & \to z_2-z_1+\frac{v^2}{2g}(\frac{fl}{d}+k_i+k_b+k_v)=h_p\\ \end{array}$

حال مقدار v را نیز بدست می آوریم:

$Q=v.A\to v=\frac{Q}{A}=10.23\frac{ft}{s}$

سپس با بدست آوردن عدد رینولدز و و با استفاده از نمودار مقدار f را بدست می آوریم:

$\begin{array}{cc}& \mathrm{Re}=\frac{\rho vl}{\mu }=\frac{0.86\times 62.4\times 10.23}{12\times g_c\times 2\times {10}^{-4}}=1.42\times {10}^4\\ & \frac{\epsilon }{D}=\frac{0.002}{2}\stackrel{curve}{\to }f=0.033\to h_p=10+\frac{{10.23}^2}{2\times 32.2}(0.033\frac{40\times 12}{2}+0.5+5+0.9)=33.27ft\\ \end{array}$

پرونده:Hr.55 5.jpg

حال می دانیم:

$\begin{array}{cc}& \stackrel{.}{w_p}=h_p\times \gamma \times \stackrel{.}{Q}\\ & \stackrel{}{\to }p=\frac{\stackrel{.}{w}}{\eta }=\frac{h_p\times \gamma \times \stackrel{.}{Q}}{\eta }=578.7\frac{ftlbf}{s}\\ \end{array}$

---

قطر هیدرولیکی در مقاطع

برای مقاطع غیر دایره ای ازقطر هیدرولیک به جای قطر مجرا استفاده می شود: $D_h=\frac{4A}{p}$

A: سطع مقطع

P :محیط

1) مقطع دایره ای

$D_h=4\frac{\frac{\pi *D^2}{4}}{\pi *D}=D$

2)مقطع به صورت حلقه دایره ای به قطر های $D_1$(قطر بزرگ) و$D_2$(قطر کوچک)

$D_h=4\frac{\pi {D_1}^2-\pi {D_2}^2}{\pi D_1+\pi D_2}=D_1-D_2$

3)مفطع مستطیلی به ابعاد aوb

$D_h=\frac{4ab}{2(a+b)}=\frac{2ab}{(a+b)}$

---

مثال ۱

قطر هیدرولیکی را برای سطح مقطع زیر حساب کنید.

$D_h=\frac{4A_c}{P}$

پرونده:Morabba.jpg

$D_h=\frac{4a^2}{4a}=a$

---

مثال ۲

برای کانال (جریان بین دو صفحه تخت)f را در جریان لایه ای توسعه یافته بیابید.(عمق داخل صفحه b است)

$D_h=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{4bH}{2(b+H)}=2H\to h_f=\frac{12\mu LV}{\rho g{H}^2}=f\frac{L{v}^2}{2g{D}_h}\to f=\frac{48\mu }{\rho VH}=\frac{2(48)}{\frac{\rho V(2H)}{\mu }}=\frac{96}{{\mathrm{Re}}_{D_h}}$

نتیجه مهم: می توان نتیجه گرفت که برای جریان لایه ای $f=\frac{96}{{\mathrm{Re}}_{D_h}}$ برای مقطع کانال است و برای مقطع دایره ای $f=\frac{64}{{\mathrm{Re}}_{D_h}}$ است. پس نمی توان این دو را به جای هم استفاده کرد؛ ولی اگر جریان آشفته بود میشد.

---

سایر مثال ها جریان در کانال با مقطع غیر دایروی

مثال ۱

در مخزن شکل زیر آب از بالا به سمت پایین آمده و از لوله کف مخزن خارج می شود.با توجه به داده های مشخص شده در شکل دبی حجمی را بیابید.

پرونده:Safavi.png

خط جریانی بین دو نقطه صفر و یک در نظر می گیریم. معادله 1

$(\frac{p}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+z{)}_0=(\frac{p}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+z{)}_1$

معادله ۲

$(V{)}_1=(\frac{Q}{bH})$

از معادله ۱ و ۲ نتیجه می‌شود:

$(P{)}_1-(P{)}_0=\rho g((z_0-z_1)-\frac{Q^2}{g(bh{)}^2})$

همچنین می‌دانیم:

$(P{)}_1-(P{)}_0=\frac{12Q\mu L}{b{H}^3}$

درنتیجه:

$\rho g(10-\frac{Q^2}{g(bH{)}^2})=\frac{12Q\mu L}{b{H}^3}$

با حل معادله درجه دوم بالا داریم:

غ ق ق $Q_2=-0.14$

ق ق $Q_1=+0.13$

مثال ۲

با توجه به اطلاعات داده شده در مسئله نیرویی را که تیر یک سر درگیر تحمل می کند بدست آورید.

پرونده:AliBaziari.png

$\begin{array}{cc}& Q=0.393\frac{m^3}{s}\\ & \rho =900\frac{kg}{m^3}\\ & \mu =5\times {10}^{-3}Pa.s\\ & Q=V.A\Rightarrow V=\frac{Q}{A}=\frac{0.393\frac{m^3}{s}}{\pi .(\frac{{0.5}^2}{4})m^2}=2\frac{m}{s}\\ & {(\frac{P}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+Z)}_1-{(\frac{P}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+Z)}_2=h_{loss}\\ & \frac{P_1-P_2}{\rho g}=h_{loss}=F\frac{L}{D}.\frac{V^2}{2g}\Rightarrow F=0.036\\ & \mathrm{Re}=\frac{\rho VD}{\mu }=\frac{900\times 0.5\times 2}{5\times {10}^{-3}}=180\times {10}^3\stackrel{Moody}{\to }\epsilon =4.2mm\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}& \frac{\partial \left(mv\right)}{\partial t}={\left(mv\right)}_{in}-{\left(mv\right)}_{out}+\sum F\\ & \sum F=0\Rightarrow \mathrm{\Delta }P\times A={\tau }_w\times A_s\Rightarrow \mathrm{\Delta }P\times \pi \frac{D^2}{4}={\tau }_w\times \pi DL\\ & {\tau }_w=\frac{4\times 12820\times 0.5}{100\times {10}^{-3}\times 4}=16Mpa\Rightarrow F_{net}=2517N\\ \end{array}$

$\begin{array}{c}\\ & \mathrm{\Delta }p=h_{loss}\rho g\Rightarrow h_{loss}=F\frac{L}{D}.\frac{V^2}{2g}\stackrel{Moody}{\to }F=0.016\Rightarrow \mathrm{\Delta }p=5.8kPa\\ \end{array}$

---

مثال ۳

با توجه به اطلاعات داده شده مقدار توان پمپ را بدست آورید.

پرونده:Arman-zohrabi.jpg

$\begin{array}{cc}& \rho ={10}^3\frac{kg}{m^3}\\ & \mu ={10}^{-3}pa.s\\ & Q=0.63\frac{m^3}{s}\\ & \epsilon =0.002m\\ \end{array}$

حل:

$Q_1=Q_2\Rightarrow 0.63=V_2\frac{\pi }{4}\Rightarrow V_2=0.802\frac{m}{s}$

معادله انرژی بین 1 و 2

$\begin{array}{cc}& {(\frac{P}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+z)}_1-{(\frac{P}{\rho g}+\frac{V^2}{\rho g}+z)}_2=0\Rightarrow {(0+0+z)}_1-{(\frac{P_2}{\rho g}+\frac{0.322}{g}+0)}_2=0\\ & \Rightarrow P_2=97778Pa\\ & \\ \end{array}$

افت در لوله (1) بین 2و3

$\begin{array}{cc}& {\mathrm{Re}}_D=\frac{\rho V_{2}D}{\mu }=\frac{{10}^3(0.802)(1)}{{10}^{-3}}=802000⟩2300\\ & \frac{\epsilon }{D}=0.002\\ & \Rightarrow f=0.024\\ & h_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}=0.0079m\\ \end{array}$

معادله ی انرژی بین 2و3

$\begin{array}{cc}& {(\frac{P}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+z)}_2-{(\frac{P}{\rho g}+\frac{V^2}{\rho g}+z)}_3=h_f\Rightarrow 97778-P_3=(0.0079)({10}^3)(9.81)\\ & \Rightarrow P_3=97855.5Pa\\ & \\ \end{array}$

برنولی بین 5و6

$\begin{array}{cc}& {(\frac{P}{\rho }+\frac{V^2}{2}+gz)}_5={(\frac{P}{\rho }+\frac{V^2}{2}+gz)}_6\Rightarrow \frac{P_5}{\rho }=g{z}_6-\frac{{V_5}^2}{2}\Rightarrow P_5=\rho (g{z}_6-\frac{{V_5}^2}{2})\\ & \Rightarrow P_5=195878.4Pa\\ \end{array}$

معادله انرژی بین 4و5

$\begin{array}{cc}& {(\frac{P}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+z)}_4-{(\frac{P}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+z)}_5={h^{\prime }}_f=h_f\\ & \Rightarrow 0.0079=P_4-195878.4\\ & \Rightarrow P_4=273063.48Pa\\ \end{array}$

معادله ی انرژی بین 3و4

$\begin{array}{cc}& (\frac{P}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+z)-{(\frac{P}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+z)}_4=h_{shaft}=-h_p\\ & \Rightarrow h_p=\frac{P_4-P_3}{\rho g}=17.86m\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}& Power=h_p\times g\times \rho \times Q\\ & \Rightarrow P=(17.86)(9.81)({10}^3)(0.63)\\ & \Rightarrow P=110381.03W\\ \end{array}$

---

مثال 4

سیستم تامین آب مطابق شکل موجوداست. کوچکترین قطراستانداردD راحساب کنید. $\begin{array}{cc}& \epsilon =5\times {10}^{-6}ft\\ & p_2\ge 30psig\\ & p_1\le 65psig\\ & L=500ft\\ & Q=1500gpm\\ \end{array}$

حل) برای تعیین کمترین قطر استانداردی که افت فشار دلخواه را در آهنگ جریان برقرار کند تکرار لازم است. ماکزیمم افت فشارمجاز در طول L چنین است:

$\mathrm{\Delta }{p}_{\max }=p_{1\max }-p_{2\min }=(65-30)psi=35psi$

${(\frac{p}{\rho }+\alpha \frac{V^2}{2}+gz)}_2-{(\frac{p}{\rho }+\alpha \frac{V^2}{2}+gz)}_1=h_{l_T}=h_l+h_{l_m}=f\frac{L}{D}\frac{V_2^2}{2}$

فرض) جریان پایاو تراکم پذیر است و

$\begin{array}{cc}& h_{l_m}=0\\ & z_1=z_2\\ & V_1=V_2=V\\ & {\alpha }_1\approx {\alpha }_2\\ \end{array}$

لذا:

$\mathrm{\Delta }p=p_1-p_2=f\rho \frac{L}{D}\frac{V^2}{2}$

حل D ازاین معادله مشکل است. زیرا v و f به D بستگی دارند؛ لذا از روش تکرار دستی استفاده میکنیم. ابتدا معادله ی بالا و عدد رینولدز را بر حسب Q می نویسیم.

$\begin{array}{cc}& V=\frac{Q}{A}=\frac{4Q}{\pi D^2}\\ & \to \mathrm{\Delta }p=\frac{8fL\rho Q^2}{{\pi }^2{D}^5}\\ & \to R_{ed}=\frac{\rho VD}{\mu }=\frac{4\rho Q}{\pi \mu D}\\ \end{array}$

Q رابه فوت مکعب بر ثانیه تبدیل میکنیم

$Q=1500\frac{gal}{\min }\times \frac{\min }{60s}\times \frac{f{t}^3}{7.48gal}=3.34\frac{f{t}^3}{s}$

به عنوان حدس اول مقدار اسمی 4 اینچ (قطر داخلی واقعی 4.026 اینچ) رادر نظر میگیریم:

$\to R_{ed}=\frac{4Q}{\pi \nu D}=\frac{4}{\pi }\times 3.34\frac{f{t}^3}{s}\times \frac{s}{1.21\times {10}^{-5}f{t}^2}\times \frac{1}{4.026in}\times 12\frac{in}{ft}=1.06\times {10}^6$

$\frac{\epsilon }{D}=1.5\times {10}^{{}^{-5}}$

از جدول f-زبری موجود در همین صفحه مقدار f را مییابیم:

$\begin{array}{cc}& f\approx 0.012\\ & \to \mathrm{\Delta }p=\frac{8fL\rho Q^2}{{\pi }^2{D}^5}=\frac{8}{{\pi }^2}\times 0.012\times 500ft\times 1.94\frac{slug}{f{t}^3}\times {(3.34)}^2\frac{f{t}^6}{s^2}\times \frac{1}{{(4.026)}^{5}i{n}^5}\times 1728\frac{i{n}^3}{f{t}^3}\times \frac{lbf.s^2}{slug.ft}\\ & =172\frac{lbf}{i{n}^2}>\mathrm{\Delta }{p}_{\max }\\ \end{array}$

چون این افت فشار خیلی زیاد است مقدار اسمی 6 اینچ (قطر داخلی واقعی 6.065 اینچ) رادر نظر میگیریم:

$\begin{array}{cc}& \to R_{ed}=\frac{4Q}{\pi \nu D}=6.95\times {10}^5\\ & \frac{\epsilon }{D}=1.5\times {10}^{{}^{-5}}\\ & \to f\approx 0.013\\ & \to \mathrm{\Delta }p=\frac{8fL\rho Q^2}{{\pi }^2{D}^5}=24\frac{lbf}{i{n}^2}<\mathrm{\Delta }{p}_{\max }\\ \end{array}$

چون این مقدار کمترازافت فشارمجازاست مقدار اسمی 5 اینچ (قطر داخلی واقعی 5.047 اینچ) رادر نظر میگیریم:

$\begin{array}{cc}& \to R_{ed}=\frac{4Q}{\pi \nu D}=8.36\times {10}^5\\ & \frac{\epsilon }{D}=1.2\times {10}^{{}^{-5}}\\ & \to f\approx 0.0122\\ & \to \mathrm{\Delta }p=\frac{8fL\rho Q^2}{{\pi }^2{D}^5}=56.4\frac{lbf}{i{n}^2}>\mathrm{\Delta }{p}_{\max }\\ \end{array}$

لذا فشار قابل قبول باقطر اسمی 6اینچ حاصل میشود.

---

مثال 5

یک فن، هوارا با اهنگ 3000m^3/h در یک سیستم بسته به جریان در می اورد.تمام مجراها از فولاد تجاری و دارای مقطع عرضی چهارگوش هستند. ابعاد مقطع عرضی مجراهای 1 و 3 چنین است: a3 = a1 = 20cm. ابعاد مقطع عرضی 2 و 4 چنین است: a2=a4=12cm.بازده فن 75 درصد است. قدرت فن را بیابید. از اتلافات جزیی صرف نظر کنید.

پرونده:Mohammad.gharibi.png

برای هوا در شرایط استاندارد داریم:

$\begin{array}{cc}>& \rho =1.2kg/m^3\mathrm{\&}\mu =1.8E-5\\ \end{array}$

با استفاده از دبی جریان، سرعتهارا بدست می آوریم و با گذاشتن در فرمول رینولدز، آنها را بدست می آوریم:

$\begin{array}{cc}>& Q=\frac{3000}{3600}=0.833\frac{m^3}{s};v_{1\mathrm{\&}3}=\frac{0.833}{{0.2}^2}=20.8\frac{m}{s};{\mathrm{Re}}_{1\mathrm{\&}3}=\frac{1.2(20.8)(0.2)}{1.8E-5}=278000\\ & v_{2\mathrm{\&}4}=\frac{0.833}{0.12}=57.8\frac{m}{s};{\mathrm{Re}}_{2\mathrm{\&}4}=\frac{1.2(57.8)(0.12)}{1.8E-5}=463000\\ \end{array}$

زبری فولاد تجاری:

$\begin{array}{cc}& \epsilon =0.046mm\\ \end{array}$

f را از نمودار مودی میخوانیم:

$\begin{array}{cc}& \frac{\epsilon }{D}=\frac{0.046}{200}=0.00023;{\mathrm{Re}}_{1\mathrm{\&}3}=278000;\to f_{1\mathrm{\&}3}\approx 0.0166\\ & \frac{\epsilon }{D}=\frac{0.046}{120}=0.000383;{\mathrm{Re}}_{2\mathrm{\&}4}=463000;\to f_{2\mathrm{\&}4}\approx 0.0170\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}& \mathrm{\Delta }{p}_{1\mathrm{\&}3}={\left(f\frac{L}{D}\frac{\rho V^2}{2}\right)}_{1\mathrm{\&}3}=(0.0166)\left(\frac{80}{0.2}\right)\left(\frac{1.2{(20.8)}^2}{2}\right)=1730Pa\\ & \mathrm{\Delta }{p}_{2\mathrm{\&}4}={\left(f\frac{L}{D}\frac{\rho V^2}{2}\right)}_{2\mathrm{\&}4}=(0.0170)\left(\frac{60}{0.12}\right)\left(\frac{1.2{(57.8)}^2}{2}\right)=17050Pa\\ \end{array}$

توان مورد نیاز با بازده 75 درصد:

$\begin{array}{cc}& P=\frac{Q\mathrm{\Delta }p}{\eta }=\frac{(0.833m^3/s)(1730+17050Pa)}{0.75}=20900W\\ \end{array}$

---

لوله های موازی

پرونده:Hamed4.png

پرونده:Hamed5.png

پرونده:Hamed6.png

---

مثال

جنس لوله رابط در این شکل فولاد تجارتی به قطر 6cm است. اگر سیال روغن SAE30 و دمای آن 20 درجه سانتی‌گراد باشد، دبی جریان را بر حسب متر مکعب در ثانیه محاسبه کنید. جهت جریان را نیز مشخص کنید؟ (برای روغن SAE30 داریم: $\rho =917\frac{kg}{m^3},\mu =0.29\frac{kg}{m.s}$)

پرونده:Wder.png

معادله انرژی:

$(\frac{p}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z{)}_1=(\frac{p}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z{)}_2+h_f$

$v_1=v_2\simeq 0,p_1=0\Rightarrow h_f=z_1-z_2-\frac{p_2}{\rho g}=15-\frac{200000}{(917)(9.81)}=-7.23$

بنابراین جهت جریان به سمت چپ است.

فرض می کنیم جریان لایه‌ای است:

$h_f=\frac{32\mu Lv}{D^2}=\frac{128\mu LQ}{\pi \rho g{D}^4}=7.23\Rightarrow Q=\frac{\pi (917)(9.81)(0.06{)}^4}{128(0.29)(50)}7.23=0.00143\frac{m^3}{s}$

حال فرض خود را بررسی می کنیم:

$\mathrm{Re}=\frac{\rho vd}{\mu }=\frac{4\rho Q}{\pi \mu D}=\frac{4(917)(0.00143)}{\pi (0.29)(0.06)}=96⟨2300$

بنابراین فرض جریان لایه‌ای صحیح بوده است.

---

مثال6

مخزن شکل مقابل حامل آب 20 درجه سانتی گراد است؛ اگر لوله حامل صاف با L=700 m و D=5cm باشد، دبی جریان را بر حسب متر مکعب در ساعت به ازای $\mathrm{\Delta }Z=100m$ محاسبه کنید؟ پرونده:Reza.png

برای آب 20 درجه سانتی گراد، $\rho =998\frac{kg}{m^3},\mu =0.001\frac{kg}{m.s}$. معادله انرژی را بین دو سطح مخزن می نویسیم. با توجه به این که P1=P2 و V1=V1~0، نتیجه می شود:

$\begin{array}{cc}& \frac{p_1}{\rho g}+\frac{v_1^2}{2g}+z_1=\frac{p_2}{\rho g}+\frac{v_2^2}{2g}+z_2+h_f\Rightarrow h_f=\mathrm{\Delta }Z=100m\\ & h_f=f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}=f(\frac{700}{0.05})(\frac{V^2}{2(9.81)})\Rightarrow f{V}^2=0.01401\\ \end{array}$ 

فرض می کنیم مقدار f=0.02. از رابطه بالا نتیجه می شود:

$V=\sqrt{\frac{0.01401}{0.02}}=0.837\frac{m}{s}\Rightarrow \mathrm{Re}=\frac{998(0.837)(0.05)}{(0.001)}=41800$

مقدار f را 0.022 انتخاب میکنیم:

$\mathrm{Re}=40000\Rightarrow V=0.8\frac{m}{s}\Rightarrow Q=0.8(\frac{\pi }{4})(0.05{)}^2=0.00157\frac{m^3}{s}=5.65\frac{m^3}{hr}$

---

لوله های سری

در لوله‌های سری قاعده ی اول یکسان بودن دبی جریان در تمام لوله هاست:

$Q_1=Q_2=Q_3=constant$

$V_1{d_1}^2=V_2{d_2}^2=V_3{d_3}^2=constant$

قاعده دوم برابر بودن افت هد کلی در سیستم با مجموع افت هد در تک تک لوله‌ها است:

$h_{tot}$= $h_1$+ $h_2$+ $h_3$

این رابطه را میتوان بر حسب افت های موضعی و اصطکاک در هر لوله چنین نوشت:

$h_{tot}=\frac{{V_1}^2{f}_1{l}_1}{2g{D}_1}+\frac{{V_2}^2{f}_2{l}_2}{2g{D}_2}+\frac{{V_3}^2{f}_3{l}_3}{2g{D}_3}$

که معادله فوق را به صورت اصلاح شده زیر می‌توان نوشت:

$h_{tot}=\frac{{v_1}^2}{2g}(a_0+a_1{f}_1+a_2{f}_2+a_3{f}_3)$

که در آن a ها ضرایب بی بعدی هستند که با دانستن دبی جریان، می توان طرف راست معادله و افت کلی هد را نیز به دست آورد. اگر افت هد معلوم باشد کمی به عمل بازگشت نیاز است، چون $f_1{f}_2{f}_3$ همگی از طریق عدد رینولدز به $V_1$وابسته اند.

لایه مرزی (Boundary layer)

تونل باد

در جریان حول یک جسم، حتی اگر لزجت کم باشد، ناحیه باریکی پیرامون جسم بوجود می‌آید که در آن ناحیه به واسطه گرادیان سرعت بزرگی که ناشی از «چسبیدن» سیال به مرز جسم است تنش برشی حائز اهمیت می‌باشد. این ناحیه لایه مرزی نامیده می‌شود.

در ورودی یک کانال یا لوله عمدتاً لایه مرزی بسیار نازک است به طوری که در این ناحیه می‌توان جریان را بجز در نزدیکی جداره لوله غیر لزج در نظر گرفت. اما این لایه در طول لوله مرتباً ضخیم‌تر می‌شود و در بسیاری از جریان‌ها لایه مرزی سریعاً کل مقطع جریان را احاطه می‌کند. در چنین حالتی می‌توان جریان را در سراسر لوله لزج در نظر گرفت.

مثلاً معمولا در لوله موئین جز در حالتی که دبی بسیار ناچیز باشد حتی اگر طول لوله کوتاه بوده و یا لزجت سیال کم باشد جریان کاملاً لزج در نظر گرفته می‌شود. همچنین جریان در لوله‌های نسبتاً طویل انتقال نفت و آب را می‌توان لزج به حساب آورد. اما جریان هوا در مجاری نسبتاً کوتاه مثل کانال‌های تهویه و تونل‌های باد را غیر از ناحیه مرزی عموماً می‌توان بدون اصطکاک در نظر گرفت.