نمایش مبدأ برای ویکی‌جزوه/دانشکده:فنی و مهندسی/انتقال حرارت/مقدمه‌ای بر رسانش


==<span style="color: ORANGE;">مقدمه</span>==

همانگونه که می‌دانیم رسانش عبارت است از انتقال گرمای ناشی از شیب دما در یک محیط که به وسیله‌ی فعالیت اتم‌ها و مولکول‌های آن محیط صورت می‌گیرد.

در انتقال گرمای رسانشی، رسانش گرما حالتی از جابجایی انرژی، درون یا بین بدنهٔ اجسام است که براثر شیب دما رخ می‌دهد. رسانش به معنای انتقال انرژی جنبشی ذرات است. رسانش در همهٔ شکل‌های مادهٔ پاسخ‌پذیر صورت می‌گیرد، یعنی در جامدها، مایع‌ها، گازها و پلاسماها. گرما خودبه‌خود تمایل دارد از جسمی با دمای بیشتر به جسمی با دمای کمتر شارش یابد. در نبود شارهای محرک، تغییرات دما در طول زمان به تعادل گرمایی میل می‌کند. 

در رسانش، بر خلاف همرفت و تابش گرمایی، گرما از درون خود جسم شارش می‌یابد. در جامدات، انتقال انرژی بر پایهٔ مدل الکترون آزاد و رسانش بر اثر ترکیب لرزش‌های مولکول‌های ساختار بلوری یا فوتون<span style="color: red;">'''*'''</span> صورت می‌پذیرد. در گازها و مایعات، رسانش نتیجهٔ برخورد و پخش مولکولی مولکول‌هایِ در حال حرکت تصادفی است. فوتون‌ها عموما با هم برخورد ندارند و جابجایی گرما بر اثر تابش الکترومغناطیسی به عنوان نوعی از رسانش گرمایی محسوب نمی‌شود. در جامدات جدا کردن و تشخیص انتقال به وسیلهٔ فوتون‌ها از انتقال به وسیلهٔ مادهٔ پاسخ‌پذیر ساده نیست، اما در مایع‌ها درک این تفاوت ساده‌تر است و در گازها معمولا در نظر گرفته می‌شود.

در علوم مهندسی، جابجایی گرما شامل فرآیندهای تابش گرمایی، همرفت و گاهی جابجایی جرم می‌شود و اغلب بیش از یکی از این فرآیندها در حال رخ‌ دادن است.

(<span style="color: red;">'''*فوتون:'''</span> فوتون به عنوان یک ذره ی بنیادی بدون بار، بدون جرم و پایدار می باشد که به عنوان واحد کوانتومی نور و یا هر نوع تابش الکترومغناطیسی محسوب می شود.)

== <span style="color: ORANGE;">معادله آهنگ رسانش</span> ==
'''<span style="color: blue;">قانون فوریه (Fourier law)</span>'''

قانون فوریه یک قانون پدیده شناسی است؛ یعنی از پدیده‌های مشاهده شده (تجربی) و نه از اصول اولیه به دست می‌آید.

قانون فوریه بیان ریاضی آهنگ رسانش می‌باشد. برای استفاده از این قانون در تعیین شار گرما باید تغییرات دما در محیط (توزیع دما) معلوم باشد.{{سخ}}یک میله را با جنس معلوم و سطح مقطع ثابت که اطراف آن عایق است در نظر بگیرید؛ با این شرط که دو انتهای آن در دماهای (T1 و T2) قرار دارند (T1 > T2). این اختلاف دما باعث انتقال گرمای رسانشی در جهت مثبت (x) می‌شود. حال می‌توان آهنگ انتقال گرمای (qx) را اندازه گرفت وارتباط آن‌ها را با (T، ∆x∆ و A) بررسی کرد. با بررسی‌های انجام گرفته، شار حرارتی هدایت در یک محیط، با گرادیان دما و سطح تبادل حرارتی رابطهٔ مستقیم دارد. پس به رابطه زیر می‌رسیم:
[[پرونده:Hararat.jpg|200px|بی‌قاب|چپ]]





{{چپ‌چین}}
<span style="color: red;">'''(شکل: رسانش گرما در حالت پایا)'''</span>
{{پایان چپ‌چین}}


{{چپ‌چین}}
<math>{{q}_{x}}\equiv -{{A}_{c}}\frac{\Delta T}{\Delta x}</math>
{{پایان چپ‌چین}}

رابطهٔ بالا برای میله‌های با جنس‌های متفاوت برقرار است، لذا درمی یابیم که با اضافه کردن یک ضریب می‌توان این تناسب را به تساوی تبدیل کرد:

{{چپ‌چین}}

<math>{{q}_{x}}=-k{{A}_{c}}\frac{\Delta T}{\Delta x}</math>

{{پایان چپ‌چین}}

که در آن (K) رسانندگی گرمایی(W/m.k)، یک خاصیت مهم ماده است. این رابطه در یک نقطه به صورت حدی وقتی "X → ۰∆" می‌رود به شکل زیر است:

{{چپ‌چین}}
<math>q_x  = - kA \frac{d T}{d x}</math>
{{پایان چپ‌چین}}

و برای شار گرما در حالت کلی و در جهت x به صورت زیر می‌باشد:
[[پرونده:111.jpg|200px|بی‌قاب|چپ]]




{{چپ‌چین}}
<math>q=\int\limits_{A}{{{q}''}}dA</math>
{{پایان چپ‌چین}}
{{چپ‌چین}}
<math>q''_x  = - k \frac{d T}{d x}</math>
{{پایان چپ‌چین}}

علامت منفی نشان دهندهٔ انتقال گرما در جهت کاهش دما است.

قانون فوریه به فرم بالا یک کمیت برداری است و راستای آن عمود بر سطح مقطع (Ac) می‌باشد. باید توجه داشت که انتقال گرما در راستای عمود بر سطوح هم دما باشد، لذا در رابطه بالا سطح (A) یک سطح هم دما می‌باشد.

برای المان زیر در راستای x قانون فوریه را می‌نویسیم.{{سخ}}
{{سخ}}
{{چپ‌چین}}

[[پرونده:Yaghoub_Safavi_CV.jpeg]]{{سخ}}
<span style="color: red;">'''(شکل: حجم کنترل دیفرانسیلی برای تحلیل قانون فوریه)</small>'''</span><small>

<math> \ q_x=k dy dz \frac{T_x-T_{x+dx}}{dx} ,</math>
{{سخ}}
{{سخ}}
{{پایان چپ‌چین}}
نرخ انتقال حرارت بر واحد سطح:
<math>q\prime\prime</math>{{سخ}}
با این تعریف می‌توانیم برای همه جهات (x و y و z) نرخ انتقال حرارت را بنویسیم:
{{چپ‌چین}}
{{سخ}}
<math> q\prime\prime_{x}=-k\frac{\partial T}{\partial x}</math>
{{سخ}}
{{سخ}}

<math> q\prime\prime_{y}=-k\frac{\partial T}{\partial y}</math>
{{سخ}}
{{سخ}}
<math> q\prime\prime_{z}=-k\frac{\partial T}{\partial z}</math>
{{سخ}}{{سخ}}
{{پایان چپ‌چین}}
پس می‌توان نرخ انتقال حرارت بر واحد سطح را به صورت برداری زیر نوشت:
{{چپ‌چین}}
{{سخ}}
<math> \overrightarrow{q\prime\prime} =q\prime\prime_{x}\overrightarrow{i}+q\prime\prime_{y}\overrightarrow{j}+q\prime\prime_{z}\overrightarrow{k} ;</math>
{{سخ}}

<math>\overrightarrow{{{q}''}}=-k\left(\frac{\partial T}{\partial x} \right)\overrightarrow{i}-k\left(\frac{\partial T}{\partial y} \right)\overrightarrow{j}-k\left(\frac{\partial T}{\partial z} \right)\overrightarrow{k}</math>
{{سخ}}

<math>\overrightarrow{{{q}''}}=-k\overrightarrow{\nabla }T</math>

{{سخ}}
{{پایان چپ‌چین}}
از معادلهٔ بالا دیده می‌شود که بردار شار گرما در راستای عمود بر سطوح تک دماست.
{{چپ‌چین}}
{{سخ}}
{{سخ}}

{{سخ}}
{{پایان چپ‌چین}}

مولفه‌های بردار شار گرما در راستای عمود بر سطوح هم دما است و بیان کننده شار گرما در راستای هر محور می‌باشد. نکته‌ای که دراین معادله قابل توجه است یکسان بودن (k) در هر سه راستا است که مبین همسانگرد بودن جسم است یعنی اینکه انتقال گرما در آن مستقل از راستای مختصه است.

قانون فوریه برای تمامی مواد (جامد، مایع، گاز) به کار می‌رود.

برای درک بهتر رابطهٔ رسانش، در زیر، نمونهٔ حل شده‌ای آورده شده است:


==== <span style="color: GREEN;">مثال ۱</span> ====
شرایط پایا برای رسانش یک بعدی را در دیوار مسطحی با رسانندگی گرمایی (K=50(W/m.k و ضخامت (l=0.25(m؛ و بدون تولید گرمای داخلی، در نظر بگیرید. شار گرما و شیب دما را در صورتی که <math>{{T}_{1}}=50{}^\circ C</math>
و <math>{{T}_{2}}=-20{}^\circ C</math> بیابید.

راه حل:

شار گرما:
{{چپ‌چین}}

<math>q''_x = - k \frac{\Delta T}{\Delta x} </math>

<math>{{\text{q}}_{x}}\text{ }=-\text{ }\frac{\left\{ \left(50 \right)\times \left[ \left( -20-50 \right) \right] \right\}}{0.25}=14000</math>

{{پایان چپ‌چین}}
شیب دما:

{{چپ‌چین}}

<math>\frac{\Delta \text{T}}{\Delta \text{X}}\text{=}\frac{\text{-20-50}}{\text{0}\text{.25}}\text{= - }\text{280}</math>
{{پایان چپ‌چین}}

==<span style="color: ORANGE;">معادله پخش گرما</span>==
در تحلیل رسانش، موضوع مهم تعیین میدان دما در هر محیط از روی شرایط مرزی آن است. یعنی می خواهیم توزیع دما که نحوه ی تغییر دما را بر حسب مکان در محیط نشان می دهد، بدانیم. اگر این توزیع معلوم باشد، شار گرمای رسانشی در هر نقطه داخل محیط یا هر نقطه از سطح آن را از قانون فوریه می توان محاسبه کرد. سایر کمیت های مهم نیز قابل ارزیابی اند.

در جامدات می توان از توزیع دما استفاده کرد و با تعیین تنش های گرمایی، انبساط ها و انحراف ها از بی عیبی ساختاری اطمینان حاصل کرد.
از توزیع دما برای بهینه سازی ضخامت عایق یا برای تعیین سازگاری پوشش ها یا چسبان ها با مواد نیز می توان استفاده کرد.

===<span style="color: ORANGE;">معادله پخش گرما در مختصات کارتزین</span>===
محیط همگنی را در نظر بگیرید که در آن هیچ حرکت کپه‌ای (ادوکسیون) وجود ندارد و توزیع دمای <math>T(x,y,z)</math> در مختصات کارتزین بیان شده است. با استفاده از پایستاری انرژی و حجم کنترل دیفرانسیلی زیر شروع می کنیم:

[[پرونده:Smrt69 - 1.jpg|200px|بی‌قاب|چپ]]

<math>:q\prime\prime\prime</math> نرخ حرارت حجمی<br />

<math>: c\,</math>   ثابت گرمای ویژه<br />

<math>: \rho\,</math>   چگالی<br />


معادله بقای انرژی:
{{چپ‌چین}}

<math>\frac{\partial E_{c.v}}{\partial t}=\dot E_ {in}- \dot E_ {out} + \dot E_ {gen} \;</math>
<br />
<math>\frac{\partial E_{c.v}}{\partial t}= \rho\, dv  c  \frac{\partial T}{\partial t} ;</math>

<math>\dot E_ {in}=q\prime\prime_{x} \mid\ _x dy dz + q\prime\prime_{y} \mid\ _y dx dz + q\prime\prime_{z} \mid\ _z dx dy;</math>
<br />

<br />
<math>\dot E_ {out}=q\prime\prime_{x} \mid\ _{x+dx} dy dz + q\prime\prime_{y} \mid\ _{y+dy} dx dz + q\prime\prime_{z} \mid\ _{z+dz} dx dy;</math>
<br />
<br />

<math>\dot E_ {gen}=q\prime\prime\prime_{gen} dx dy dz ;</math>
<br />
{{پایان چپ‌چین}}
با قرار دادن چهار رابطه ی اخیر در معادله ی انرژی، و با تقسیم کردن طرفین بر dx و dy و dz معادله به صورت زیر در خواهد آمد:

{{چپ‌چین}}

<br />

<br />
<math> \rho\,  c  \frac{\partial T}{\partial t}= - [ \frac{q\prime\prime_{x} \mid\ _{x+dx} - q\prime\prime_{x} \mid\ _x }{dx}+\frac{q\prime\prime_{y} \mid\ _{y+dy} - q\prime\prime_{y} \mid\ _y }{dy}+\frac{q\prime\prime_{z} \mid\ _{z+dz} - q\prime\prime_{z} \mid\ _z }{dz}]+q\prime\prime\prime_{gen};</math>
<br />
<br />

{{پایان چپ‌چین}}

می توانیم به جای عبارات داخل کروشه، معادل آن ها که مشتق شارش است را قرار دهیم؛ پس معادله به شکل زیر در خواهد آمد:

{{چپ‌چین}}

<math> \rho\,  c  \frac{\partial T}{\partial t}= - [ \frac{\partial {q\prime\prime_{x}}}{\partial x}+\frac{\partial {q\prime\prime_{y}}}{\partial y}+\frac{\partial {q\prime\prime_{z}}}{\partial z} ]+q\prime\prime\prime_{gen};</math>
<br />
{{پایان چپ‌چین}}

و یا می توانیم آن را به شکل ساده تر زیر بنویسیم:<br />

{{چپ‌چین}}

<math> \rho\,  c  \frac{\partial T}{\partial t}= - {\overrightarrow{\nabla} } .{\overrightarrow{q\prime\prime}  } +q\prime\prime\prime_{gen};</math>
<br />

{{پایان چپ‌چین}}

با جایگذاری "q از قانون فوریه داریم:<br />

{{چپ‌چین}}

<math> \rho\,  c  \frac{\partial T}{\partial t}= - {\overrightarrow{\nabla} } .(k{\overrightarrow{\nabla} T }) +q\prime\prime\prime_{gen};</math>
<br />

{{پایان چپ‌چین}}

دما را با دو فرض می توانیم از درون پرانتز بیرون آوریم:<br />


<span style="color: red;">'''۱) جنس ماده تغییر نکند.'''</span>

<span style="color: red;">'''۲) k با دما تغییر نکند.'''</span>


با استفاده از این دو فرض معادله به صورت زیر در خواهد آمد:

{{چپ‌چین}}

<br />

<math> \rho\,  c  \frac{\partial T}{\partial t}=  k{{\nabla}^2 T } +q\prime\prime\prime_{gen};</math>
<br />
 
<math> \frac{k}{ \rho\,  c}= {\alpha} \rightarrow \ {thermal}  \quad {diffusion}  \quad {cofficient} </math><span style="color: red;">'''*'''</span>


<math>{\alpha}(\frac{{{\partial }^{2}}T}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}T}{\partial {{y}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}T}{\partial {{z}^{2}}})+\frac{q\prime\prime\prime_{gen}}{\rho\,  c}=\frac{\partial T}{\partial t}</math>
{{سخ}}

{{پایان چپ‌چین}}

نتیجه ی مهم رابطه ی بالا این است که در شرایط پایا، یک بعدی و بدون تولید انرژی، شار گرما در جهت انتقال ثابت است.
{{چپ‌چین}}

{{سخ}}

<math>\frac{d{{{{q}''}}_{x}}}{dx}=0</math>
{{پایان چپ‌چین}}

...................................

<span style="color: red;">'''*پخشندگی گرمایی:'''</span> تفسیر فیزیکی  <math>\alpha </math> این است که معیاری برای سنجش انتقال گرما (<math>\Kappa </math>) نسبت به ذخیره ی انرژی (<math>\rho {{c}_{P}}</math>) است.)

...................................

====<span style="color: GREEN;">مثال ها:</span>====

<span style="color: GREEN;">مثال ۲)</span>
یک دیوار تخت و یکنواخت با <math>\Kappa </math> ثابت داریم. توزیع دما را در شرایط دائمی و نرخ انتقال حرارت بر واحد سطح را بیابید.
{{چپ‌چین}}

{{پایان چپ‌چین}}
{{چپ‌چین}}
[[پرونده:232swewe.jpg ]]
{{پایان چپ‌چین}}                                                                                                   
{{چپ‌چین}}
<math>\frac{{{d}^{2}}T}{d{{x}^{2}}}=-\frac{{{{{q}''}}_{gen}}}{k}=0</math>

{{پایان چپ‌چین}}

مشتق دوم صفر است لذا معادله خطی می باشد.
                                                             
{{چپ‌چین}}

<math>\frac{dT}{dx}={{c}_{1}}\Rightarrow T={{c}_{1}}x+{{c}_{2}}</math>

{{پایان چپ‌چین}}

حال با بررسی شرایط مرزی، ثابت ها را بدست می آوریم:


  {{چپ‌چین}}
<math>\begin{align}
  & x=0\to T={{T}_{1}}\Rightarrow {{c}_{2}}=T \\ 
 & x=L\to T={{T}_{2}}\Rightarrow {{T}_{2}}={{c}_{1}}L+{{c}_{2}} \\ 
 & \Rightarrow {{c}_{1}}=\frac{{{T}_{2}}-{{T}_{1}}}{L} \\ 
 & \Rightarrow T=\frac{{{T}_{2}}-{{T}_{1}}}{L}x+{{T}_{1}} \\ 
\end{align}</math>


<math>{q}''=-k\frac{dT}{dx}=k\frac{{{T}_{1}}-{{T}_{2}}}{L}</math>


{{پایان چپ‌چین}}


<span style="color: GREEN;">مثال 3)</span>
مثال قبل را با فرض اینکه در     <math>x=0</math>   ؛     <math>{q}''=c</math>     باشد بررسی کنید.

{{چپ‌چین}}

<math>\begin{align}
  & T(x)=\frac{{{T}_{2}}-{{T}_{1}}}{L}x+{{T}_{1}} \\ 
 & {q}''=k\frac{{{T}_{1}}-{{T}_{2}}}{L}=c\Rightarrow {{T}_{2}}={{T}_{1}}-\frac{cL}{k} \\ 
\end{align}</math>

{{پایان چپ‌چین}}

<span style="color: GREEN;">مثال 4)</span>
مثال 2 را با فرض اینکه در   x=L   شرط   <math>{{{{q}''}}_{{}}}=h({{T}_{2}}-{{T}_{\infty }})</math>   برقرار باشد بررسی نمایید.

{{چپ‌چین}}


<math>\begin{align}
  & T(x)=\frac{{{T}_{2}}-{{T}_{1}}}{L}x+{{T}_{1}} \\ 
 & {q}''=k\frac{{{T}_{1}}-{{T}_{2}}}{L}=h({{T}_{2}}-{{T}_{\infty }})\to {{T}_{1}}-{{T}_{2}}=\frac{hL}{k}({{T}_{2}}-{{T}_{\infty }}) \\ 
 & \Rightarrow {{T}_{2}}=\frac{{{T}_{1}}-\frac{hL}{k}{{T}_{\infty }}}{1+\frac{hL}{k}} \\ 
\end{align}</math>

{{پایان چپ‌چین}}

<span style="color: GREEN;">مثال 5)</span>
در مثال 2 فرض کنید که در دیوار تولید گرما با نرخ ثابت   <math>{{{{q}'''}}_{gen}}</math>   وجود دارد. 

{{چپ‌چین}}


<math>\begin{align}
  & \frac{{{d}^{2}}T}{d{{x}^{2}}}=-\frac{{{{{q}''}}_{gen}}}{k}={{c}_{1}} \\ 
 & \frac{dT}{dx}={{c}_{1}}x+{{c}_{2}} \\ 
 & dxT=\frac{1}{2}{{c}_{1}}{{x}^{2}}+{{c}_{2}}x+{{c}_{3}} \\ 
 & x=0\to T={{T}_{1}}\Rightarrow {{c}_{3}}={{T}_{1}} \\ 
 & x=L\to T={{T}_{2}}\Rightarrow {{T}_{2}}=\frac{{{c}_{1}}{{L}^{2}}}{2}+{{c}_{2}}L+{{T}_{1}}\Rightarrow {{c}_{2}}=\frac{{{T}_{2}}-{{T}_{1}}-\frac{{{c}_{1}}{{L}^{2}}}{2}}{L} \\ 
 & \Rightarrow T(x)=\frac{{{c}_{1}}{{x}^{2}}}{2}+\frac{{{T}_{2}}-{{T}_{1}}-\frac{{{c}_{1}}{{L}^{2}}}{2}}{L}x+{{T}_{1}} \\ 
\end{align}</math>

{{پایان چپ‌چین}}

<span style="color: GREEN;">مثال 6)</span>معادله ی شار گرما، با نرخ تولید ثابت، را در دیوار زیر بدست آورید.

{{چپ‌چین}}

<math>\begin{align}
  & \frac{{{d}^{2}}T}{d{{x}^{2}}}=-\frac{{{{{q}'''}}_{gen}}}{K}=cte \\ 
 & \frac{dT}{dx}=-\frac{{{{{q}'''}}_{gen}}}{K}x+{{c}_{1}} \\ 
 & T=-\frac{{{{{q}'''}}_{gen}}}{2K}{{x}^{2}}+{{c}_{1}}x+{{c}_{2}} \\ 
 & T\left( x=0 \right)=0\to {{c}_{2}}=0 \\ 
 & T\left( x=L \right)=0\to 0=-\frac{{{{{q}'''}}_{gen}}}{2K}{{L}^{2}}+{{c}_{1}}L\to {{c}_{1}}=\frac{{{{{q}'''}}_{gen}}L}{2K} \\ 
 & \to T\left( x \right)=-\frac{{{{{q}'''}}_{gen}}}{2K}{{x}^{2}}+\frac{{{{{q}'''}}_{gen}}L}{2K}x=\frac{x}{L}\left( 1-\frac{x}{L} \right)\left( \frac{{{{{q}'''}}_{gen}}L}{2K} \right) \\ 
 & {q}'''=-K\frac{dT}{dx}\to {q}''=-K\left( -\frac{{{{{q}'''}}_{gen}}}{K}x+\frac{{{{{q}'''}}_{gen}}L}{2K} \right) \\ 
 & x=0\to {q}''=-\frac{{{{{q}'''}}_{gen}}L}{2} \\ 
 & x=L\to {q}''=-K\left( -\frac{{{{{q}'''}}_{gen}}L}{2K} \right)=-K\left( -\frac{{{{{q}'''}}_{gen}}L}{2K} \right)=\frac{{{{{q}'''}}_{gen}}L}{2} \\ 
\end{align}</math>

{{پایان چپ‌چین}}

روش دوم)
{{چپ‌چین}}

<math>\begin{align}
  & \frac{\partial {{E}_{c.v}}}{\partial t}={{{\dot{E}}}_{in}}-{{{\dot{E}}}_{out}}+{{{\dot{E}}}_{gen}} \\ 
 & {{{\dot{E}}}_{gen}}={{{{q}'''}}_{gen}}{{A}_{c}}L \\ 
 & {{{\dot{E}}}_{out}}=2{q}''{{A}_{c}}\to {{{\dot{E}}}_{out}}={{{\dot{E}}}_{gen}}\to {{{{q}'''}}_{gen}}{{A}_{c}}L=2{q}''{{A}_{c}}\to {q}''=\frac{{{{{q}'''}}_{gen}}L}{2} \\ 
\end{align}</math>
{{پایان چپ‌چین}}

<span style="color: GREEN;">مثال 7)</span>

دمای سطح را برای دیوار تخت با فرض رسانش یک بعدی، با داده های مشخص شده به دست آورید (سطح در معرض تشعشع است).

{{چپ‌چین}}

<math>\begin{align}
  & {{T}_{\infty }}=22{}^\circ c \\ 
 & h=30\frac{W}{{{m}^{2}}.K} \\ 
 & \varepsilon =0.7 \\ 
 & {{T}_{surr}}=29{}^\circ c \\ 
 & L=1cm \\ 
 & {{A}_{0}}=150c{{m}^{2}} \\ 
 & {{q}_{0}}=1500W \\ 
 & K=2.3\frac{W}{m.K} \\ 
 & {{T}_{2}}=? \\ 
 &  \\ 
 & \frac{{{d}^{2}}T}{d{{x}^{2}}}=0 \\ 
 & -K\frac{dT}{dx}\left| _{x=0}=\frac{{{q}_{0}}}{{{A}_{c}}}={{10}^{5}}\frac{W}{{{m}^{2}}} \right. \\ 
 & -K\frac{dT}{dx}\left| _{x=L} \right.=h\left( {{T}_{2}}-{{T}_{\infty }} \right)+\varepsilon \sigma \left( T_{2}^{4}-T_{surr}^{4} \right) \\ 
 & {{10}^{5}}=30\left( {{T}_{2}}-295 \right)+\left( 0.7 \right)\left( 5.67 \right){{10}^{-8}}\left( T_{2}^{4}-{{302}^{4}} \right)\to {{T}_{2}}=1168.8K \\ 
 &  \\ 
\end{align}</math>

{{پایان چپ‌چین}}

===<span style="color: ORANGE;">معادله پخش گرما برای مختصات استوانه‌ای</span>===
از اصل پایستاری انرژی استفاده می کنیم و یک حجم کنترل  دیفرانسیلی در مختصات استوانه‌ای تعریف می کنیم؛ مانند شکل زیر. سپس فرآیند های انتقال انرژی مربوط به آن را مشخص می‌کنیم و معادلات مربوط به آن را وارد می‌کنیم.

[[پرونده:Smrt69 - 2.jpg|300px|بی‌قاب|چپ]]

آهنگ گرمای رسانشی عمود بر هر یک از سطوح کنترل در جهت <math>r</math> و <math>\phi </math> و <math>z</math> را با <math>{{q}_{r}}</math> و<math>{{q}_{\phi }}</math> و <math>{{q}_{z}}</math> نشان می‌دهیم.

و
{{چپ‌چین}}


<math>{{q}^{''}}=-k\nabla T=-k\left( i\frac{\partial T}{\partial r}+j\frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial \phi }+k\frac{\partial T}{\partial z} \right)</math>

<math>q_{r}^{''}=-k\frac{\partial T}{\partial r}</math>

<math>q_{\phi }^{''}=-k\frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial \phi }</math>

<math>q_{z}^{''}=-k\frac{\partial T}{\partial z}</math>

{{پایان چپ‌چین}}


با استفاده از معادله ی بقای انرژی:

{{چپ‌چین}}

<math>\frac{\partial {{E}_{c.v}}}{\partial t}=\rho dVc\frac{\partial T}{\partial t}={{\overset{.}{\mathop{E}}\,}_{in}}-{{\overset{.}{\mathop{E}}\,}_{out}}+{{\overset{.}{\mathop{E}}\,}_{gen}}</math>
{{پایان چپ‌چین}}

و
{{چپ‌چین}}

<math>{{\overset{.}{\mathop{E}}\,}_{in}}=q_{r}^{''}rd\phi dz+q_{\phi }^{''}drdz+q_{z}^{''}rd\phi dr</math>

<math>{{\overset{.}{\mathop{E}}\,}_{out}}=q_{r}^{''}rd\phi dz+\frac{\partial {{q}_{r}}}{\partial r}dr+q_{\phi }^{''}drdz+\frac{1}{r}\frac{\partial {{q}_{\phi }}}{\partial \phi }rd\phi +q_{z}^{''}rd\phi dr+\frac{\partial {{q}_{z}}}{\partial z}dz</math>

<math>{{\overset{.}{\mathop{E}}\,}_{gen}}=\overset{.}{\mathop{q}}\,.dr.r.d\phi .dz</math>
{{پایان چپ‌چین}}

و معادلات بالا را در معادله ی بقای انرژی قرار می دهیم:
{{چپ‌چین}}

<math>-\frac{\partial {{q}_{r}}}{\partial r}dr-\frac{1}{r}\frac{\partial {{q}_{\phi }}}{\partial \phi }rd\phi -\frac{\partial {{q}_{z}}}{\partial z}dz+\overset{.}{\mathop{q}}\,.dr.r.d\phi dz=\rho c\frac{\partial T}{\partial t}dr.r.d\phi dz</math>
{{پایان چپ‌چین}}

با جایگذاری آهنگ گرمای رسانشی که از قانون فوریه به دست می آید در رابطه ی بالا :

{{چپ‌چین}}

<math>-\frac{\partial }{\partial r}\left( -k\frac{\partial T}{\partial r}r.d\phi dz \right)dr-\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \phi }\left( -k\frac{\partial T}{r\partial \phi }drdz \right)rd\phi -\frac{\partial }{\partial z}\left( -k\frac{\partial T}{\partial z}dr.r.d\phi  \right)dz+\overset{.}{\mathop{q}}\,.dr.r.d\phi dz=\rho c\frac{\partial T}{\partial t}dr.r.d\phi dz</math>
{{پایان چپ‌چین}}

و تقسیم طرفین بر حجم دیفرانسیلی:
{{چپ‌چین}}


<math>\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left( kr\frac{\partial T}{\partial r} \right)+\frac{1}{{{r}^{2}}}\frac{\partial }{\partial \phi }\left( k\frac{\partial T}{\partial \phi } \right)+\frac{\partial }{\partial z}\left( k\frac{\partial T}{\partial z} \right)+\overset{.}{\mathop{q}}\,=\rho c\frac{\partial T}{\partial t}</math>

{{پایان چپ‌چین}}

معادله ی پخش گرما در مختصات استوانه ای به دست می آید.

===<span style="color: ORANGE;">معادله پخش گرما در مختصات قطبی</span>===
{{چپ‌چین}}

<math>\frac{{{\partial }^{2}}T}{\partial {{r}^{2}}}+\frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial r}+\frac{1}{{{r}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}T}{\partial {{\theta }^{2}}}+\frac{{\dot{q}}}{k}=\frac{\rho c}{k}\frac{\partial T}{\partial t}</math>
{{پایان چپ‌چین}}
[[پرونده:F5yhfghg.jpg|300px|بی‌قاب|چپ]]

===<span style="color: ORANGE;">بررسی معادله پخش گرما در مختصات کارتزین تحت شرایط یک بعدی و پایا:</span>===

در حالت دائمی 

{{چپ‌چین}}

<math>\frac{\partial T}{\partial t}=0</math>
{{پایان چپ‌چین}}

و در حالت یک بعدی ( در راستای X )

{{چپ‌چین}}

<math>\begin{align}
  & \frac{\partial }{\partial z}=0 \\ 
 & \frac{\partial }{\partial y}=0 \\ 
\end{align}</math>
{{پایان چپ‌چین}}

که معادله ی پخش گرما برای حالت دائمی یک بعدی بصورت زیر خواهد بود:

{{چپ‌چین}}

<math>\frac{{{\partial }^{2}}T}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{\dot{q}}}{k}=0</math>

{{پایان چپ‌چین}}

برای حالت های مختلفی که می توان برای این معادله در شرایط گوناگون فرض کرد، معادله به شکل زیر در می آید:

1- اگر <math>{q}'',k</math> ثابت باشند؛
{{چپ‌چین}}


<math>\frac{{{\partial }^{2}}T}{\partial {{x}^{2}}}=-\frac{{\dot{q}}}{k}</math>


<math>\frac{\partial T}{\partial x}=\frac{-\dot{q}x}{k}+{{c}_{1}}</math>


<math>T=\frac{-\dot{q}}{2k}{{x}^{2}}+{{c}_{1}}x+{{c}_{2}}</math>
{{پایان چپ‌چین}}


2- اگر<math>{q}''=0</math> باشد؛
{{چپ‌چین}}


<math>k\frac{{{\partial }^{2}}T}{\partial {{x}^{2}}}=0</math>


<math>\frac{\partial T}{\partial x}=c</math>


<math>T={{c}_{1}}x+{{c}_{2}}</math>
{{پایان چپ‌چین}}


که مقدار ثابت های فرمول بالا با توجه به شرایط مرزی به دست می آید.

==<span style="color: ORANGE;">شرایط مرزی و شرایط اولیه</span>==


برای تعیین توزیع دما در یک ماده، بایستی معادله گرمای مربوطه را حل کرد. اما چنین حلی به شرایط فیزیکی موجود در مرزهای ماده و در صورت وابستگی به زمان، به شرایط موجود در زمان اولیه بستگی دارد. در حالت کلی برای حل مسائل انتقال حرارت نیاز به شرایط مرزی داریم. سه نوع شرط مرزی را می توان  بیان نمود.

سه نوع شرط مرزی که معمولاً در انتقال گرما وجود دارد، در جدول 2-1 کتاب این کروپرا خلاصه شده‌اند. 

'''<span style="color: RED;">شرط  مرزی اول:</span>''' 

مربوط به حالتی است که در آن سطح در دمای ثابت <math>{{T}_{S}}</math> نگه داشته می شود. این شرط معمولاً شرط «دیریشله» یا شرط مرزی نوع اول نامیده می شود. برای مثال، هنگامی که در روی سطح جوشش صورت گیرد: 

در جوشش، انتقال حرارت در مایع از طریق جابجایی صورت می گیرد؛ بنابراین بر طبق قانون سرمایش نیوتن داریم:

<math>{{q}_{conv}}=hA({{T}_{s}}-{{T}_{\infty }})</math>


که در این شرایط دمای سطح ثابت می باشد؛ بنابراین این معادله را بر اساس شار حرارتی می توان نوشت.


'''<span style="color: RED;">شرط مرزی دوم:</span>''' 

مربوط به حالتی است که شار گرمای ثابت <math>{{{q}''}_{s}}</math> در سطح وجود دارد. این شرط معمولاً شرط "نیومن" یا شرط مرزی نوع اول نامیده می شود. مانند وقتی که یک گرم‌کن الکتریکی (بخاری برقی) به سطحی متصل است و یا قرار دادن یک اتوی گرم بر روی یک سطح.  

'''<span style="color: RED;">شرط مرزی سوم:</span>'''  

مربوط به حالتی است که انتقال حرارت جابجایی روی سطح وجود داشته باشد و معادله ی آن، از موازنه ی انرژی سطحی به دست می‌آید که در آن شار جابجایی با شار حرارتی برابر است.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

====<span style="color: GREEN;">مثال 8</span>====
توزیع دما را برای دو صفحه ی موازی که به فاصله ی L ازهم قرار دارند به دست آورده و شار را روی دیواره ها بیابید.
{{چپ‌چین}}
[[پرونده:121weqw.png]]
{{پایان چپ‌چین}}
{{چپ‌چین}}


<math>\frac{{{d}^{2}}T}{d{{x}^{2}}}=-\frac{\overset{\centerdot }{\mathop{q}}\,}{k}=C\begin{matrix}
   {} & \Rightarrow  & \left\{ \begin{matrix}
   T\left( x \right)=-\frac{1}{2}\frac{\overset{\centerdot }{\mathop{q}}\,}{k}{{x}^{2}}+{{c}_{1}}x+{{c}_{2}}  \\
   \begin{matrix}
   , & {}  \\
\end{matrix}T\left( x=0 \right)=0  \\
   \begin{matrix}
   , & {}  \\
\end{matrix}T\left( x=L \right)=0  \\
\end{matrix} \right.  \\
\end{matrix}</math>

<math>\begin{align}
  & \Rightarrow T\left( x \right)=-\frac{1}{2}\frac{\overset{\centerdot }{\mathop{q}}\,}{k}{{x}^{2}}+\frac{1}{2}\frac{\overset{\centerdot }{\mathop{q}}\,}{k}Lx={{L}^{2}}\frac{\overset{\centerdot }{\mathop{q}}\,}{2k}\left( \frac{x}{L} \right)\left( 1-\frac{x}{L} \right) \\ 
 & {{q}^{''}}=-k\frac{dT}{dx}=\overset{{}}{\mathop{\overset{\centerdot }{\mathop{q}}\,\left( x-\frac{L}{2} \right)}}\, \\ 
 & {{q}^{''}}\left( x=0 \right)=-k\frac{dT}{dx}\left( x=0 \right)=-\frac{1}{2}\overset{\centerdot }{\mathop{q}}\,L \\ 
 & {{q}^{''}}\left( x=L \right)=-K\frac{dT}{dx}\left( x=L \right)=\frac{1}{2}\overset{\centerdot }{\mathop{q}}\,L \\ 
\end{align}</math>

{{پایان چپ‌چین}}

اکنون می خواهیم شار روی دیواره ها را با توجه به تقارن مساله از روش دیگری به دست آوریم.
برای این کار کل دو صفحه را حجم کنترل می گیریم و معادله ی انرژی را برای آن می نویسیم:
{{چپ‌چین}}


<math>\begin{align}
  & \frac{\partial {{E}_{c.v}}}{\partial t}=\overset{.}{\mathop{{{E}_{in}}}}\,-\overset{.}{\mathop{{{E}_{out}}}}\,+\overset{.}{\mathop{{{E}_{gen}}}}\, \\ 
 & \frac{\partial {{E}_{c.v}}}{\partial t}=0 \\ 
 & \overset{.}{\mathop{{{E}_{in}}}}\,=0\begin{matrix}
   \begin{matrix}
   , & \overset{.}{\mathop{{{E}_{gen}}}}\,=\overset{.}{\mathop{q}}\,{{A}_{c}}L & , & \overset{.}{\mathop{{{E}_{out}}}}\,=2{{q}^{''}}{{A}_{c}}  \\
\end{matrix} & \Rightarrow  & {}  \\
\end{matrix} \\ 
 & -2{{q}^{''}}{{A}_{c}}+\overset{.}{\mathop{q}}\,{{A}_{c}}L=0\begin{matrix}
   {} & \Rightarrow  & {{q}^{''}}  \\
\end{matrix}=\frac{1}{2}L\overset{.}{\mathop{q}}\, \\ 
\end{align}</math>

{{پایان چپ‌چین}}

همچنین می توان نشان داد که مطابق شکل زیر، ماکزیمم دما در بین دو صفحه ( در فاصله ی L/2 ) است؛ که مقدار آن به صورت زیر محاسبه می شود:

{{چپ‌چین}}
[[پرونده:Qwe23234f.png]]
{{پایان چپ‌چین}}

{{چپ‌چین}}

<math>\begin{align}
  & \frac{dT}{dx}=0\begin{matrix}
   {} & \Rightarrow  & \begin{matrix}
   \frac{\overset{.}{\mathop{q}}\,}{2k}(-2x+L)=0 & \Rightarrow  & x=\frac{L}{2}  \\
\end{matrix}  \\
\end{matrix} \\ 
 & {{T}_{\max }}=T(x=\frac{L}{2})=\frac{\overset{.}{\mathop{q{{L}^{2}}}}\,}{8K} \\ 
\end{align}</math>
{{پایان چپ‌چین}}

[[رده:درسنامه انتقال حرارت]]