دورهمی طرح و حل مساله ریاضی/محیط بیضی

راوی: امیررضا کریمی کرکرق

راجع به این موضوع در ... جلسه صحبت شد: ...شنبه، ... مهر 1403 و ...شنبه، ... مهر 1403 و...

گزارشی از مطالب کلاس

عموما دستوری که برای محاسبه ی طول خم و برای محاسبه ی محیط اشکال استفاده می شود به قرار زیر است:

اگر $X(t)=(x(t),y(t))$ معادله ی خم باشد بطوریکه (a)X نقطه ی ابتدا و نقطه ی (b)X نقطه ی انتهای آن باشد نتیجه می شود که:

نمونه ای از یک خم با نقطه ی ابتدای X(a) و نقطه ی انتهای X(b)

$L=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}dt$ (طول خم)

نکته این هست که اگر این انتگرال را برای بیضی بنویسیم، انتگرال حاصل تابع اولیه مقدماتی نخواهد داشت.

برای سادگی در وحله اول قطر بزرگ را برابر با 2r در نظر گرفته و قطر کوچک رابرابر 2 در نظر میگیریم و سعی بر پیاده سازی انتگرال یادشده، بر این بیضی میکنیم.

بیضی با قطر کوچک 2 ئ قطر بزرگ 2r که محاط در مستظیل و محیط بر لوزی هست

مفروضات:

$4\sqrt{1+r^2}<p(r)<4(1+r)$

$\theta \in [0,2\pi ),X(\theta )=(x(\theta ),(\theta ))$

$⟹X(\theta )=(rcos(\theta ),sin(\theta ))$

$⟹X^{\prime }(\theta )=(-rsin(\theta ),cos(\theta ))$

$⟹\Vert X^{\prime }(\theta )\Vert =(r^{2}si{n}^2(\theta )+co{s}^2(\theta ){)}^{1/2}$

$⟹\Vert X^{\prime }(\theta )\Vert =(r^{2}si{n}^2(\theta )+1-si{n}^2(\theta ){)}^{1/2}$

$⟹\Vert X^{\prime }(\theta )\Vert =(1+(r^2-1)si{n}^2(\theta ){)}^{1/2}$

محاسبه ی محیط بیضی:

$P(r)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}dt$

$⟹P(r)=4\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\Vert X^{\prime }(\theta )\Vert d(\theta )(I)$

$⟹P(r)=4\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}[1+(r^2-1)si{n}^2(\theta ){]}^{1/2}d\theta ,P(0)=4,P(1)=2\pi$

گرچه از حل این انتگرال نا توانیم اما در وحله اول می توان اطلاعاتی را بدست آورد:

$⟹P^{\prime }(r)=4\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\partial }{\partial r}[1+(r^2-1)si{n}^2(\theta ){]}^{1/2}d\theta$

$⟹P^{\prime }(r)=4r\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}si{n}^2(\theta )[1+(r^2-1)si{n}^2(\theta ){]}^{-1/2}d\theta P^{\prime }(0)=?,P^{\prime }(1)=\pi$

اما در هر حال تابع اولیه ی یافت شده در بخش (I) دارای تابع اولیه ی مقدماتی نیست و ناچار به روی آوری به روش های دیگر خواهیم بود.

مطالب تکمیلی(1): تعمیم رابطه ی قبل

یک بیضی را با قطر های a و b تصور کنید که در آن a نصف قطر بزرگ بیضی و b نصف قطر کوچک بیضی باشد. مطلبی که در بخش گزارش کلاسی آمد برای a=r , b=1 گفته شد، اما در این قسمت a را هم دلخواه در نظر گرفته و فرمول قسمت قبل برای محیط بیضی را تعمیم می دهیم.

تغییر متغیر های زیر را در نظر بگیرید:

$x=acos\theta ⟹x^{\prime }(\theta )=-asin\theta$

$y=bsin\theta ⟹y^{\prime }(\theta )=bcos\theta$

حال از فرمول طول خم استفاده می کنیم.

$P=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}dt$

$⟹P=4\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}[(-asin(\theta ){)}^2+(bcos(\theta ){)}^2{]}^{\frac{1}{2}}d\theta$

$⟹P=4\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}[a^{2}si{n}^2(\theta )+b^{2}co{s}^2(\theta ){]}^{\frac{1}{2}}d\theta$

$⟹P=4\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}[a^2(1-co{s}^2\theta )+b^{2}co{s}^2\theta {]}^{\frac{1}{2}}d\theta$

$⟹P=4\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{a^2-(a^2-b^2)co{s}^2\theta }d\theta$

$⟹P=4a\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{1-(1-\frac{b^2}{a^2})co{s}^2\theta }d\theta$

$⟹P=4a\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{1-Aco{s}^2\theta }d\theta ,A=\frac{a^2-b^2}{a^2}(II)$

نکته:در بعضی مقالات از فرمول طول خم برای حالت ضمنی استفاده می شود که در آن فرمول بیضی به صورت 
 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
و رابطه ی طول خم به صورت 
 $P=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+(y^{\prime }(x){)}^2}dx$
واضح هست که با چیزی که بیان شد معادل بوده و یکی می باشند و اگر از این فرمول هم استفاده شود به نتیجه ی یکسان می رسد.

اگرچه حل انتگرال یاد شده به سادگی ممکن نیست اما در غالب موارد می توان محیط بیضی را از فرمول به دست آمده، با استفاده از روش های عددی و امثالهم که برای حل انتگرال وجود دارند به صورت تقریبی محاسبه نمود.

مطال تکمیلی(2) : نکاتی پیرامون بیضی در مختصاد قطبی

$(\frac{x}{a}{)}^2+(\frac{y}{a\sqrt{1-A}}{)}^2=1$

از طرفی داریم:

$x=rcos\theta ,y=rsin\theta$

حال بعد از جایگذاری نتیجه می شود:

$⟹(\frac{rcos\theta }{a}{)}^2+(\frac{rsin\theta }{a\sqrt{1-A}}{)}^2=1$

$⟹r^{2}co{s}^2\theta +\frac{r^{2}si{n}^2\theta }{1-A}=a^2$

$⟹r^2(co{s}^2\theta +\frac{si{n}^2\theta }{1-A})=a^2$

$⟹r^2(1-si{n}^2\theta +\frac{si{n}^2\theta }{1-A})=a^2$

$⟹r^2\left(\frac{1-Aco{s}^2\theta }{1-A}\right)=a^2$

$⟹r^2=\frac{a^2(1-A)}{1-Aco{s}^2\theta }=\frac{b^2}{1-Aco{s}^2\theta }$

$⟹r=\frac{b}{\sqrt{1-Aco{s}^2\theta }}$

مطالب تکمیلی(3): یک تقریب برای محیط بیضی بااستفاده از نتیجه ی(II)

دو سری زیر را از قبل می دانیم:

$\sqrt{1-x}=-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})\frac{x^n}{4^n(2n-1)},|x|<1$

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}co{s}^{2n}(\theta )d\theta =\frac{\pi }{2}\prod _{k=1}^n\frac{2k-1}{2k},n\in \mathbb{N}$

حال انتگرال (II) را با اغماض به شکل زیر نوشته و به صورت تقریبی محاسبه می کنیم:

$⟹P=4a\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{1-Aco{s}^2\theta }d\theta$

با توجه به اینکه مقدار همواره $0<Aco{s}^2\theta <1$ برقرار خواهد بود لذا با تقریب مناسبی می توان نوشت:

$⟹P\simeq 4a[-\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})\frac{(Aco{s}^2\theta {)}^n}{4^n(2n-1)}d\theta ]=P^{\prime }$

$⟹P^{\prime }=4a[\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}d\theta -\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})\frac{A^{2n}co{s}^{2n}\theta }{4^n(2n-1)}d\theta ]$

$⟹P^{\prime }=4a[\frac{\pi }{2}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})\frac{A^{2n}}{4^n(2n-1)}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}co{s}^{2n}\theta d\theta ]$

$⟹P^{\prime }=4a[\frac{\pi }{2}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})\frac{A^{2n}}{4^n(2n-1)}(\frac{\pi }{2}\prod _{k=1}^n\frac{2k-1}{2k})]$

$⟹P^{\prime }=2a\pi [1-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})\frac{A^{2n}}{4^n(2n-1)}\prod _{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}]$

$⟹P^{\prime }=2a\pi [1-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}\frac{A^{2n}}{4^n(2n-1)}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}]$

نکته:می دانیم که رابطه ی زیر برقرار است:             
                   $(2n)!!=(2n)(2n-2)(2n-4)...(2)=2^{n}n!$
همچنین
                       $(2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)...(1)=\frac{(2n)(2n-1)...(1)}{(2n)(2n-2)...(2)}=\frac{(2n)!}{2^n(n!)}$

لذا باتوجه به نکته ی گفته شده؛ می توان به صورت زیر نتیجه را بازنویسی کرد:

$⟹P^{\prime }=2a\pi [1-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{(2n)!}{2^n(n!{)}^2}{)}^2\frac{A^{2n}}{4^n(2n-1)}],A=\frac{a^2-b^2}{a^2}$

بنا بر این توانستیم محیط بیضی را با یک تقریب به صورت یک سری نامتناهی بنویسیم.

مطالب تکمیلی(4): تقریب رامانوجان برای محیط بیضی

سرینیواسا رامانوجان (۲۲ دسامبر ۱۸۸۷ – ۲۶ آوریل ۱۹۲۰) عضو انجمن سلطنتی، یک ریاضی‌دان خودآموختهٔ اهل قوم تامیل هندوستان بود که تقریباً بدون هیچ آموزشی در ریاضیات محض توانست به گونهٔ شگفت‌انگیزی رابطه‌های مهمی را در آنالیز ریاضی، نظریه اعداد، سری‌ها و کسر مسلسل از خود به جای بگذارد. گادفری هارولد هاردی ریاضی‌دان انگلیسی دربارهٔ استعداد رامانوجان گفته‌است که او هم ردیف ریاضی‌دان‌هایی چون گاوس، اویلر، کوشی بود و باید او را یکی از ریاضیدانان بزرگ دانست.

فرمول هایی را می توان در کتب و نوشته های که قبل تر از رامانوجان بودند پیدا نمود. سه تقریب زیر تقریب های نه چندان دقیقی هستند که ظاهرا قبل از تقریب رامانوجان نیز مرسوم بودند:

$1)P\simeq \pi (a+b)$

$2)P\simeq \pi \sqrt{2(a^2+b^2)}$

$3)P\simeq \pi (\frac{3}{2}(a+b)-\sqrt{ab})$

و همچنین تقریب زیر که بیشتر به عنوان کران پایین برای محیط بیضی توسط یوهانِس کِپلِر [(به آلمانی: Johannes Kepler) (زادهٔ ۲۷ دسامبر ۱۵۷۱ در شهر (Weil der Stadt) – درگذشته ۱۵ نوامبر ۱۶۳۰ در (Regensburg)، آلمانی بود. کپلر را پدر علم ستاره‌شناسی نوین می‌دانند]معرفی شده است:

$4)P\simeq 2\pi \sqrt{ab}$

اما رامانوجان در سال 1914 نوشته ای را در Quarterly Journal of Mathematics, XLV, 1914, 350 – 372 منتشر کرد که محوریت نوشته؛ روی روش هایی برای تقریب عدد پی بود، اما این نوشته حاوی دو فرمول برای تقریب محیط بیضی بود :

$1)P\simeq \pi [3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}]$

$2)P\simeq \pi (a+b)(1+\frac{3h^2}{10+\sqrt{4-3h^2}}),h=\frac{a-b}{a+b}$

خطای فرمول دوم رامانوجان برای b=1 به شکل زیر است:

مطالب تکمیلی(5): یک ضابطه برای محیط بیضی

در مقاله ای که در منبع شماره ی 2 آمده هست، شخضی به اسم Kanishk Bansal از دانشگاه فاگوارای هند ضابطه ای تقریبی را برای محیط بیضی آورده است، مراحل اثبات این ضابطه به صورت زیر می باشد: همانطور که گفته شد ضابطه ضمنی بیضی به صورت $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ می باشد لذا با تغییر متغیر خواهیم داشت:

$x=acos\theta ,y=bsin\theta$

المان طول خم را به صورت $d\ell$ در نظر می گیریم آنگاه خواهیم داشت:

$⟹x^2+y^2=r^2$

$⟹(acos\theta {)}^2+(bsin\theta {)}^2=r^2$

$⟹r=\sqrt{a^{2}co{s}^2\theta +b^{2}si{n}^2\theta }$

$⟹rd\theta =\sqrt{a^{2}co{s}^2\theta +b^{2}si{n}^2\theta }d\theta$

$⟹d\ell =\sqrt{a^{2}co{s}^2\theta +b^{2}si{n}^2\theta }d\theta$

$⟹d{\ell }^2=a^{2}co{s}^2\theta +b^{2}si{n}^2\theta (d\theta {)}^2$

$⟹\iint d{\ell }^2=\underset{0}{\overset{2\pi }{\iint }}(a^{2}co{s}^2\theta +b^{2}si{n}^2\theta )d^2\theta$

$⟹\int \ell d\ell =\frac{a^2}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{-[sin2(2\pi )-sin2(0)]+2\pi -0}{2}d\theta$

$+\frac{b^2}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{[sin2(2\pi )-sin2(0)]+2\pi -0}{2}d\theta$

$⟹\frac{l^2}{2}=\frac{a^2}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\pi d\theta +\frac{b^2}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\pi d\theta$

$⟹{\ell }^2=2{\pi }^2(a^2+b^2)$

$⟹Perimeter=\pi \sqrt{2(a^2+b^2)}$

یک پرسش درباره اثبات مذکور:

سوال:

آیا رابطه ی $d\ell =rd\theta$ را علاوه بر دایره، می توان برای بیضی هم بیان نمود؟

پاسخ:

بله.

اثبات:

زمانیکه مقدار تتا به صفر میل میکند(یا به عبارتی از مرتبه بینهایت کوچک هست) طول کمان نظیر و مقادیر x و y هم به صفر میل خواهند کرد

$(d\ell {)}^2=(dx{)}^2+(dy{)}^2$

از طرفی تغییر متغیر های زیر را در مختصاد قطبی داریم:

$\{\begin{array}{c}x(\theta )=acos\theta ⟹dx=-asin\theta \\ y(\theta )=bsin\theta ⟹dy=bcos\theta \\ x^2+y^2=r^2\end{array}$

بعد از جایگذاری خواهیم داشت:

$⟹(d\ell {)}^2=(-asin\theta d\theta {)}^2+(bcos\theta d\theta {)}^2$

$⟹(d\ell {)}^2=a^{2}si{n}^2\theta (d\theta {)}^2+b^{2}co{s}^2\theta (d\theta {)}^2$

$⟹(d\ell {)}^2=(a^{2}si{n}^2\theta +b^{2}co{s}^2\theta )(d\theta {)}^2$

$⟹(d\ell {)}^2=r^2(d\theta {)}^2⟹d\ell =rd\theta$

مطالعه بیش‌تر

برای مطاله ی بیشتر می توانید به منابع زیر رجوع بفرمایید:

۱) مقاله زیر درباره ی یافتن محیط بیضی:

http://web.tecnico.ulisboa.pt/~mcasquilho/compute/com/,ellips/PerimeterOfEllipse.pdf

۲) مقاله راجع به محاسبه ی ضابطه ی محیط بیضی:

https://www.opastpublishers.com/open-access-articles/an-elegant-formula-derivation-for-the-circumference-of-an-ellipse.pdf

۳) مقاله زیر در باره ی تقریب رامانوجان می باشد(مقاله یک):

https://arxiv.org/pdf/math/0506384

۴) مقاله زیر درباره ی تقریب رامانوجان می باشد(مقاله دو):

https://www.hpcalc.org/hp49/math/numeric/ellipse_ramanujan.zip