دورهمی طرح و حل مساله ریاضی/مسابقه طرح و حل
این یادداشت بخشی از مجموعه دورهمی طرح و حل مساله ریاضی است.
راوی: سیده بهنوش جعفری
راجع به این موضوع در ۲ جلسه صحبت شد: یکشنبه، ۶ آبان ۱۴۰۳ وسه‌شنبه، ۸ آبان ۱۴۰۳
که در جلسهٔ دوم سوال طرح کردیم و این امتحان را اجرا کردیم.
گزارشی از مطالب کلاس
فرص کنید که قرار است با همکلاسی‌هایتان در آزمونی شرکت کنید که طراح آن خود شما هستید. در این جلسه ما قصد داریم بررسی کنیم که چطور می‌توانیم این امتحان را به عادلانه‌ترین حالتی که ممکن است برگزار کنیم.
در این جلسه با چالش‌هایی روبه‌رو می‌شویم و برای راه حل‌های آن بحث می‌کنیم.
اگر کلاس شما n دانشجو داشته باشد، در چنین آزمونی شما n شرکت کننده و همزمان n طراح دارید که هرکس می‌تواند به سوال خود پاسخ دهد.
نمرهٔ نهایی این امتحان از دو بخش تقسیم میشود. نمرهٔ حل سوال و نمرهٔ طرح سوال.
نمرهٔ حل
نمرهٔ حل مثل همهٔ آزمون‌ها از تعداد سوالاتی که شما حل کرده‌اید حاصل میشود. هرچه سوالات بیشتری حل کنید نمرهٔ بیشتری خواهید گرفت.
نمرهٔ طرح
اما نمرهٔ طرح از تعداد نفراتی که به سوال شما پاسخ داده‌اند محاسبه میشود؛ ولی چگونه باید نمرهٔ طرح را توزیع کرد؟ شاید در وهلهٔ اول بسیار ساده باشد. می‌گوییم طراح سوالی که نفرات بیشتری آن را حل کرده‌اند نمرهٔ بیشتری بگیرد. پس اجازه دهید تا مشکل را مطرح کنیم.
چالش اول
اگر توزیع نمره‌ی طرح به این شکل باشد منطقا هرکسی سوالات بسیار بدیهی را انتخاب میکند تا همه به آن جواب بدهند تا نمره‌ی بالاتری بگیرد. اگر برعکس باشد, که نمره‌ی هرکس که سوالش کمترین جواب‌دهنده را دارد بیشتر شود, در آن صورت هم طراحان سوالاتی را انتخاب میکنند که از سطح امتحان بالاتر است تا مطمين شوند کسی نمیتواند آن را حل کند.پس نتیجه میشود که به سوالاتی که همه حل کنند و یا هیچکس حل نکند هیچ نمره‌ی طرحی تعلق نمیگیرد.
کران بالای نمرهٔ طرح
از این میتوان فهمید که نمرهٔ طرح یک کران بالایی دارد که بیشتر از آن نمیتواند باشد. فرض کنید تعیین میشود که در بهترین حالت باید از کلاس n نفری، n/2 نفر به سوال شما پاسخ دهند. یا برای nهای فرد برای مثال در این کلاس ۱۵ نفره، بالاترین نمرهٔ طرح متعلق به کسی است که سوالش دقیقاً ۸ جواب دهنده دارد. البته این کران بالا به صورت توافقی می‌تواند تغییر کند. ما در اینجا n/2 رو کران بالا در نظر می‌گیریم و طبق آن نمرهٔ بقیه را بر اساس آن معرفی می‌کنیم.
چالش دوم
چالش بعدی در همچین آزمونی این است که ممکن یک فرد باهوش در این امتحان از عمد به سوالات دیگران پاسخ ندهد تا دیگران نمره‌ی طرح کمتری بگیرند. برای اجرای یک امتحان عادلانه باید راه حلی برای این چالش هم در نظر گرفت. میتوان تعیین کرد که نمره‌ی کسر شده بخاطر حل نکردن سوال باید بیشتر مساوی نمره‌ی کسر شده از طراح باشد. به این شکل دانشجویی دیگر نمیتواند از عمد به سوالات دیگران پاسخ ندهد چرا که نمره‌ی از دست داده‌ی خودش بیشتر از نمره‌ی از دست داده‌ی رقیب میشود و عملا خودش را عقب میندازد. پیشنهاد میکنم که اگر این موضوع بحث برایتان جالب آمده است حتما به مطالب تکمیلی سر بزنید تا این امتحان را از نگاه دیگری بررسی کنیم.
مطالب تکمیلی
از ابتدا مشخص کردیم که هدف ما اجرای یک امتحان عادلانه‌ست. مشخصا طراحی برای یک امتحانی که برای کامل شدن نمره‌‌تان در آن باید دقیقا پیشبینی کنید که سوالتان توسط دقیقا n/2 نفرات حل شود, چندان کار عادلانه‌ای هم نیست.
چالش سوم
چگونه میتوان شرایط و سطح سوادو طرز فکر همکلاسی ها را در روز امتحان پیشبینی کرد؟ آن هم درحالی که نمره‌ی طرح شما به حل آن‌‌ها وابسته است. پس بهتر است که کران را دقیقاn/2 در نظر نگیریم بلکه بازه‌ای نزدیک به n/2 در نطر بگیریم و یک تابع نمره‌دهی تعریف کنیم که بر طبق آن هرچه تعداد پاسخ دهندگان به n/2 نزدیک تر بود, نمره طراح بیشتر شود.
نحوه محاسبه نمره طرح
برای طراحی نمره‌ی طرح در یک آزمون، از فرمول زیر استفاده میشود:
- : تعداد دانشجویانی که به سوال پاسخ داده‌اند.
- : تعداد کل دانشجویان کلاس.
- : پارامتری که سرعت کاهش امتیاز با فاصله از نقطه‌ی بهینه را تعیین میکند.
- : تابع نمایی.
چرا این تابع؟
اولا ماکسیمم این نمره وقتیست که x=n/2. دوما هرچه x از n/2 فاصله بگیرد نمره کمتر میشود. ثالثا این فرمول دارای قابلیت تنظیم حساسیت k است. که با افزایش k هرچه فاصله ما از کران بیشتر شود سرعت کاهش نمره هم بیشتر میشود. برای مثال:
- •اگر k کوچک باشد (مثل k = 0.1 )، فاصله از n/2 تأثیر کمتری روی نمره می‌گذارد و نمرات به نسبت مسطح‌تر هستند.
- •اگر k بزرگ باشد (مثل k = 1 یا بیشتر)، فاصله از n/2 تأثیر زیادی می‌گذارد و نمره‌ها سریع‌تر کاهش می‌یابند.
ویژگی‌های این تابع
متقارن بودن: نمره فقط به فاصله از n/2 بستگی دارد، نه به اینکه این فاصله از کدام سمت باشد.
پاداش به سوالات متعادل: سوالاتی که نه خیلی ساده و نه خیلی سخت هستند، بیشترین امتیاز را می‌گیرند.
انعطاف‌پذیری: می‌توانید مقادیر k و {max\_score} را تنظیم کنید تا سیستم نمره‌دهی سخت‌تر یا نرم‌تر شود.
جمع‌بندی
میتوان حدس زد که چنین امتحانی چطور می‌تواند در روند یادگیری دانشجویان درس مؤثر باشد. این امتحان از چندین لحاظ دارای نقطهٔ قوت است. یکم با مشارکت خود دانشجویان سوالات امتحانی طرح میشود که این قضیه می‌تواند بسیار در یادگیری افراد کمک‌کننده باشد. دوم می‌تواند مهارت دانشجویان را در دو قسمت طراحی سوال و حل سوالات بالا ببرد. با تابعی که معرفی شد میتوان به سادگی چالش‌های این امتحان را برطرف کرد. از طرفی میتوان بسیار روند نمره‌دهی را ساده کرد، چرا که نیاز به محاسبات پیچیده نیست و میتوان با استفاده از تابع و نرم‌افزار ها، صرفاً با تعیین چند معیار مثل تعداد نفرات و یا درجه سختی‌گیری در نمره‌دهی به راحتی این آزمون را برگزار کرد.
مطالعه بیشتر
این مطالب از هم فکری و مباحثه در کلاس حل و طرح دانشکده‌ی ریاضیات و علوم کامپیوتر دانشگاه صنعتی امیرکبیر خلاصه نویسی شده است.