دورهمی طرح و حل مساله ریاضی/چهاروجهی در کره

راوی: تارا دالایی

راجع به این موضوع در 1 جلسه صحبت شد: یک شنبه، 25 شهریور 1403

گزارشی از مطالب کلاس

کره ای به شعاع واحد را در نظر بگیرید. چهار نقطه روی آن طوری انتخاب می کنیم که تشکیل یک چهاروجهی درون کره دهند. احتمال این که این چهاروجهی شامل مرکز کره باشد. چقدر است؟

ادامه مساله جلسه قبل :

$|A_a\cap 1,2,...,m|=?$

$maxn|na<m+1=>n=\lfloor \frac{m+1}{a}\rfloor$

نشان می دهیم : $\lfloor \frac{m+1}{a}\rfloor +\lfloor \frac{m+1}{\beta }\rfloor =m$

باتوجه به گنگ بودن a , b داریم :

$\frac{m+1}{a}-1<\lfloor \frac{m+1}{a}\rfloor <\frac{m+1}{a}$

$\frac{m+1}{\beta }-1<\lfloor \frac{m+1}{\beta }\rfloor <\frac{m+1}{\beta }$

$m+1-2<\lfloor \frac{m+1}{a}\rfloor +\lfloor \frac{m+1}{\beta }\rfloor <m+1$

$A_a\cup A_{\beta }=1,...,m$

$\mathrm{\exists }r,m\beta <r,(m+1)\beta >r+1andna<r,(n+1)a>r+1$

پس مساله ثابت شد.

برای $A\subseteq N$ چگالی به شکل زیر تعریف می شود:

$P(A)=li{m}_{n->inf}\frac{|A\cap [1,...,n]|}{n},P(A^c)=1-P(A)$

با استقرای قوی ثابت می شود که $A_{\beta }\cap 1,...,m$ و $A_a\cap 1,...,m$ مجموعه {1و...وm} را افراز می کنند.

برای m=1,2 ثابت شده.

اثبات یکی از دوستان :

$A_a\cap A_{\beta }=\varnothing$

$\mathrm{\exists }m,n\in N,\lfloor m\beta \rfloor =\lfloor na\rfloor =r$

$=>r-1<m\beta <r,and,r-1<na<r=>r-1<m+n<r$

که تناقض است.

به راحتی می توان ثابت کرد :

$P(A_a)=\frac{1}{a}$

اگر aوb گویا باشند آنگاه $A_a\cap A_b$ تهی نخواهد بود زیرا :

$a=\frac{p}{q},b=\frac{r}{s}=>rqa=pr,and,spb=pr$

به همین ترتیب اگر a گنگ و b گویا باشد آنگاه باز هم این اشتراک تهی نخواهد بود لزوما.

حال به قضیه ای دیگر میپردازیم :

قضیه : اگر a گنگ باشد آنگاه {{na} | n in N} در [0,1] چگال است.

$\mathrm{\forall }(a,b)\subseteq [0,1]\mathrm{\exists }n\in W,na\in (a,b)$

$\mathrm{\forall }(a,b)\subseteq [0,1]$

$P[n\in N|X_n\in (a,b)]=b-a$

این یعنی هر بازه ای زیر مجموعه بازه 0ویک چگال است.

مطالعه بیش‌تر

این مساله اولین بار در سال 1926 در AMM (american mathematical monthly) توسط samuel beaty مطرح شد.از آن به بعد این دنباله ها به دنباله های بیتی (beaty sequence) نام گرفتند.

مسایل مرتبط :

lambsk-moser theorem

uspensky theorem