دورهمی طرح و حل مساله ریاضی/چگال و یکنواخت بودن دنباله جزء صحیحی

این یادداشت بخشی از مجموعه دورهمی طرح و حل مساله ریاضی است.

راوی: علیرضا عموزاده دوغیکلا

راجع به این موضوع در یک جلسه صحبت شد: یکشنبه، ۲۲ مهر ۱۴۰۳

گزارشی از مطالب کلاس

چگال بودن در بازه [0,1]

اگر $\alpha >0$ عددی گنگ باشد، مجموعه $\{n\alpha |n\in \mathbb{N}\}$در $[0,1]$ چگال است.

یعنی برای هر $(a,b)\subseteq [0,1]$ وجود دارد $\{m\alpha \}\in (a,b)$.

می‌خواهیم این ادعا را با کمک روش‌های مختلف به اثبات برسانیم. در گام اول برای $\alpha$ ثابت خواهیم گفت: فرض کنید $m\ne n$، آنگاه $\{n\alpha \}\ne \{m\alpha \}$.

به برهان خلف این تساوی رخ دهد، آنگاه به این شکل عمل می‌کنیم: اگر $\{n\alpha \}=\{m\alpha \}$ داریم:

$\{n\alpha \}=\{m\alpha \}⟹k=(n-m)\alpha \in \mathbb{Z}⟹\alpha =\frac{k}{n-m}$

این در تضاد است با فرض گنگ بودن $\alpha$، و ادعای اول ما ثابت می‌شود.

در گام بعدی حل لم زیر را در نظر بگیرید و در انتها به اثبات آن می‌پردازیم:

لم کوچولو

$n,n^{\prime }\in \mathbb{N}$ وجود دارد به ازای هر $ϵ>0$ وجود دارد, $n,n^{\prime }\in \mathbb{N}$ به طوری که $|\{n\alpha \}-\{n^{\prime }\alpha \}|<ϵ.$

برای اثبات این لم داریم برای هر $ϵ$ بازه ی صفر تا یک به kتا بازه ی مجزا با طول $ϵ$ تقسیم میشود حال با انتخاب حداقل k+1 عضو از مجموعه ی مفروض، بنابر اصل لانه کبوتری دست کم دوتا از این اعضا در یک بازه می افتند و فاصله ی آنها از $ϵ$ کمتر خواهد شد.

با فرض درست بودن لم کوچولو و با توجه به اینکه دوحالت برای تجزیه $([n\alpha ]-[n^{\prime }\alpha ])$ در عبارت اصلی داریم، آنها را جداگانه بررسی می کنیم:

حالت اول

$ϵ>|\{n\alpha \}-\{n^{\prime }\alpha \}|=|(n\alpha -\lfloor n\alpha \rfloor )-(n^{\prime }\alpha -\lfloor n^{\prime }\alpha \rfloor )|=|(n-n^{\prime })\alpha -(\lfloor n\alpha \rfloor -\lfloor n^{\prime }\alpha \rfloor )|\ge |(n-n^{\prime })\alpha -\lfloor (n-n^{\prime })\alpha \rfloor |=|\{(n-n^{\prime })\alpha \}|$

حالت دوم

اما حالت دیگری هم موجود است که برای آن داریم:

$\{(n-n^{\prime })\alpha \}=(n-n^{\prime })\alpha -([n\alpha ]-[n^{\prime }\alpha ])\pm 1$

$=(n\alpha -[n\alpha ])-(n^{\prime }\alpha -[n^{\prime }\alpha ])\pm 1$ $\{n\alpha \}-\{n^{\prime }\alpha \}\pm 1$

اما از آنجا که $\{(n-n^{\prime })\alpha \}=1-|\{n\alpha \}-\{n^{\prime }\alpha \}|$ در این حالت $|\{n\alpha \}-\{n^{\prime }\alpha \}|<ϵ$ پس میتوان نتیجه گرفت $1-ϵ<\{(n-n^{\prime })\alpha \}$

پس $\{(n-n^{\prime })\alpha \}$ خیلی به ۱ نزدیک است. مثلاً فرض کنید $\{(n-n^{\prime })\alpha \}=1-t$ آنگاه واضح است که برای مقادیری از $k$ هایی که $kt<1$ داریم $\{k(n-n^{\prime })\alpha \}=1-kt$ و چون $t<ϵ$ می‌توانیم $k$ را به گونه‌ای انتخاب کنیم که $1-kt<ϵ$ و نتیجه مطلوب را بدست آوریم.

با این تفاسیر و نتایح بدست آمده از هر دو حالت خواهیم داشت به ازای هر $ϵ$ یک $n-n^{\prime }=m$ یا یک $k(n-n^{\prime })=m$ وجود دارد به طوری که $\{m\alpha \}<ϵ$،پس می‌توان گفت برای هر بازه‌ی $[0,ϵ]$ این مجموعه چگال است. پس می‌توان با ضریب دادن $m$ از صفر تا یک را به این زیر بازه‌ها برای هر $ϵ$ تقسیم کرد و برای کل بازه‌ی صفر تا یک این مجموعه چگال می‌شود.

توضیح اجمالی

در توپولوژی و زمینه‌های مرتبط ریاضیات، یک زیر مجموعه A از فضای توپولوژیكی X چگال (در X) نامیده می‌شود اگر، به طور شهودی، هر نقطه در X بتواند به خوبی توسط نقاط A تقریب شود. به بیانی رسمی، A در X چگال است اگر برای هر نقطهٔ x از X، هر همسایگی از x شامل حداقل یک نقطه از A باشد.

مثال ها

• هر فضای توپولوژیکی در خودش چگال است.
• در اعداد حقیقی با توپولوژی معمول (متر معمول) مجموعه‌های اعداد گویا و اعداد اصم، زیرمجموعه‌های چگال آن هستند.
• فضای متریک M در تکمیل شدهٔ خودش ΓM چگال است.

زیرمجموعه های چگال

در فضای توپولوژیک (X,t) زیرمجموعه A را در X چگال می نامیم هرگاه A بستار برابر با X باشد. ( برای مثال در فضای گسسته تنها زیرمجموعه چگال در X خود X است.) چگال بودن اعداد گویا در مجموعه اعداد حقیقی را می توان به این شکل نیز بیان کرد که هر بازه ی باز (بازه هایی که عضو توپولوژی هستند.) و در نتیجه هر مجموعه باز ناتهی در توپولوژی اقلیدسی با مجموعه اعداد گویا اشتراک ناتهی دارد. حال به طور کلی تر می توان گفت:

شناسایی زیر مجموعه های چگال

در فضای توپولوژیک (X,t) ، زیرمجموعه A از X چگال است اگر و فقط اگر به ازای هر باز ناتهی U از X داشته باشیم اشتراک U با A ناتهی باشد.

اثبات: فرض می کنیم A چگال است، یعنی A اجتماع A’ برابر با A بستار برابر با X است و نشان می دهیم اگر U زیر مجموعه X باز و ناتهی باشد، آنگاه اشتراک U و A ناتهی است. به برهان خلف فرض کنید اشتراک U با A تهی باشد، آنگاه با توجه به ناتهی بودن، حداقل x در X موجود است به طوری که عضو U نیز می باشد که با توجه به اینکه اشتراک U و A تهی است پس x در A نمی باشد، بنابراین x در A’ نیست پس اجتماع A و A’ که برابر X بود، شامل x نیست که تناقض است و این طرف حکم ثابت می شود.

فرض می کنیم A با هر باز ناتهی اشتراک ناتهی دارد و نشان می دهیم A در X چگال است، برای این منظور کافی است نشان دهیم نقاط درونی A زیر مجموعه A’ می باشد.

چون داریم اجتماع A با نقاط درونی A برابر با X است و با فرض درست بودن ادعای قبلی این اجتماع زیرمجموعه ی اجتماع A و A’ می باشد که برابر Aبستار می باشد که از این نتیجه می شود، X برابر است با Aبستار!

حال فرض می کنیم x در نقاط درونی A باشد و فرض می کنیم U باز دلخواهی از فضاست که شامل x است پس U باز ناتهی است. بنا به فرض داریم اشتراک U با A ناتهی است و این برابر است با اشتراک U با (A-{x}) و این یعنی x در A’ می باشد و حکم ثابت می شود. (چون x در A نیست دو اشتراک باهم برابر می شوند!)

مطالعه بیش‌تر

برای مطالعه بیشتر از زیرمجموعه های چگال در فضاهای توپولوژیک میتوانید به منابع زیر مراجعه کنید:

۱) کتاب توپولوژی بدون اشک (سیدنی ا. مور یس)

۲) کتاب مباحثی در توپولوژی عمومی و کاربردهای آن (بهزاد نجفی سقزچی، طیبه السادات طباطبائی فر، ندا شجاعی/انتشارات دانشگاه صنعتی امیرکبیر)

۳) A Generalization for Somewhere Dense Sets with Some Applications این مقاله به کاربرد مجموعه‌های چگال در فضای توپولوژیک می پردازد