نگاهی به ریاضیات پیشرفته/انتگرال سری فوریه

انتگرال سری فوریه،نوعی انتگرال است که موارد سری فوریه پیچیده را بااستفاده از انتگرال بدست می آید.انتگرال سری فوریه موارد های نامتناهی پیچیده که به صورت تابعی وبه صورت مثلثاتی است را با آنالیز،انتگرال جز به جز و به صورت محاسبه الگوی متناهی و نامتناهی، محاسبه می کند.این انتگرال پیشرفته تر از انتگرال فوریه است،در اینجا عددپی به صورت رادیان محاسبه می گردد البته انتگرال سری فوریه به صورت آنالیز فوریه نیز عمل می کند.

این موضوع را می توان گفت که ادامه مبحث بزرگ علم سری فوریه است که با نام انتگرال گیری سری فوریه،سری فوریه و انتگرال نیز هم گفته می شود.

مثال

نمونه مثال

سری فوریه تابعی(f(xبرابرباx²است که در آنxکوچکتر از2π و بزرگتر از0 است را محاسبه کنید و حاصل عبارت $\sum _{n=1}^N\frac{1}{n^2}$ را بدست آورید

حل

ابتدا تابعی را می کشیم که به صورت تابعx^2است بعد مسافت طول تابع را عدد2πمی گوییم و ارتفاع آن با محاسبه به4π²می رسیم.

در اینجا به روش دیریکله می رویم.

دوره تناوب=2π

چون دروه تناوب برابربا2πاست پس نصع دوره تناوب که عددLاست برابر باπاست پس(L=π)است

حالا ما به روش انتگرال دوره تناوب را بدست می آوریم.$\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}=\frac{1}{\pi }(0+\frac{8{\pi }^3}{3})=\frac{8{\pi }^2}{3}$دوره تناوب که بدست آمد سری فوریه با انتگرال به صورت جز به جز می نویسیم.ابتدا از کسینوس شروع می کنیم

$\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{x}^{2}cos(nx)dx$

بعد اینگونه می نویسیم.چون در اینجا مسئله ازnحرف زده استnرا به صورت کسری درxضرب می کنیم تا سری فوریه برقرار باشد.ابتدا انتگرال گیری جز به جز را محاسبه و بعد رابطه نویسی می کنیم.$0,2\pi [\frac{x^2}{n}sin(nx)-\frac{2x}{n^2}cos(nx)+\frac{2}{n^3}sin(nx)dx]=[0+\frac{4\pi }{n}-0-(0+0-0)]=\frac{4}{n}$بعد به انتگرال جز به جز سینوس می رسیم.

$\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{x}^{2}sin(nx)dx$

ابتدا انتگرال گیری جز به جز را محاسبه و بعد رابطه نویسی می کنیم.$0,2\pi [-\frac{x^2}{n}cos(nx)-\frac{2x}{n^2}sin(nx)+\frac{2}{n^3}cos(nx)dx]=\frac{1}{\pi }[-\frac{4{\pi }^2}{n}-0+\frac{2}{n^3}-0-0+\frac{2}{n^3}]=-\frac{4\pi }{n}$دراینجا کار تمام می شود و رابطه نویسی کامل می کنیم.در اینجا دوره تناوب در تابع نصف می گرد تا حد تناهی باهم منطبق گردد$f(x)=\frac{4{\pi }^2}{3}+\sum _{n=1}^N\frac{4}{n^2}cos(nx)-\frac{4\pi }{n}sin(nx)$برای محاسبه اگرx=0،2π جواب باهم برابر است که اینگونه می گرد

$f(x)=\frac{4{\pi }^2}{3}+\sum _{n=1}^N\frac{4}{n^2}=2{\pi }^2$

$\sum _{n=1}^N\frac{4}{n^2}$براساس معادله بدست می آید

$\sum _{n=1}^N\frac{4}{n^2}=2{\pi }^2-\frac{4{\pi }^2}{3}=\frac{2{\pi }^2}{3}$

این طرفین با تقسیم بر چهار مقدار بدست می آید که برابر است با:

$\sum _{n=1}^N\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$

منابع

تحقیقی از ویکی پدیای فارسی

فیلمی از مجله مسیر فردا

math.stackexchange.com https://math.stackexchange.com › ... Integration and differentiation of Fourier series