نگاهی به ریاضیات پیشرفته/تابع نمایی

تابع نمایی الگو:به انگلیسی تابعی مهم در ریاضیات است و معمولاً به‌صورت الگو:چر$\exp (x)$الگو:چر یا $e^x$ نوشته می‌شود که $e$ عدد اویلر(ثابت نپر) با مقدارِ تقریبی ۲٫۷۱۸۲۸۱۸۲۸ است.

البته، این تابع را می‌توان به صورت $a^x$ نیز تعریف کرد. استفاده از لگاریتم نشان می‌دهد که:

$a^x=(e^{\ln a}{)}^x=e^{x\ln a}$

این تابع را تابع نمایی با پایهٔ $a$ می‌خوانیم که $a$ عددی ثابت است.

در بسیاری از علوم وقتی از تابع نمایی صحبت می‌شود، منظور تابع $k{a}^x$ است.

عموماً متغیر $x$ می‌تواند هر عدد حقیقی یا مختلط باشد. به عبارت دیگر، معکوس $\ln (y)=x$ را $\exp (x)=e^x=y$ گویند.

تعریف رسمی

تابع نمایی (به رنگ آبی) و مجموع اولین $n+1$ عبارت سری توان آن (به رنگ قرمز).

تابع نمایی واقعی $\exp :ℝ\to ℝ$ را می‌توان به روش‌های مختلف معادل مشخص کرد. معمولاً با سری‌های قدرت زیر تعریف می‌شود: $$\exp x:=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots$$ از آنجایی که شعاع همگرایی این سری توانی نامحدود است، این تعریف در واقع برای همه اعداد مختلط $z\in ℂ$ قابل استفاده است (به بخش مختلط برای گسترش $\exp x$ به صفحه مختلط). سپس ثابت е را می توان به صورت زیر تعریف کرد.$e=\exp 1={\sum }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1/k!)$

تمایز ترم به ترم این سری توان نشان می دهد که $\frac{d}{dx}\exp x=\exp x$

برای همه x واقعی ، منجر به یکی دیگر از خصوصیات رایج $\exp x$ به عنوان راه حل منحصر به فرد معادله دیفرانسیل می شود. $$y^{\prime }(x)=y(x)$$ ارضای شرط اولیه $y(0)=1.$ بر اساس این مشخصه، قاعده زنجیره نشان می دهد که تابع معکوس آن، لگاریتم طبیعی، $\frac{d}{dy}{\log }_{e}y=1/y$ را بروارده می کند.برای $y>0$ یا ${\log }_{e}y={\int }_1^y\frac{dt}{t}.$

این رابطه منجر به تعریف کمتری از تابع نمایی واقعی $\exp x$ به عنوان راه حل $y$ معادله می شود. $$x={\int }_1^y\frac{1}{t}dt.$$ با استفاده از قضیه دو جمله ای و تعریف سری توان، تابع نمایی نیز می تواند به عنوان حد زیر تعریف شود: $$\exp x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{x}{n})}^n.$$

منابع

ویکی پدیای فارسی

ویکی پدیای انگلیسی