نگاهی به ریاضیات پیشرفته/گرادیان

در حسابان بردارها گرادیان (به فرانسوی: Gradient) یک میدان نرده‌ای، میدانی برداری است که مؤلفه‌های آن نرخ تغییر میدان نخستین را در جهت‌های مختلف نشان می‌دهد. جهت خود میدان برداری گرادیان جهت بیشینهٔ تغییرات است.

گرادیان در معادلات هندسه دیفرانسیل در صفحات مختصات سه بعدی

تعاریف

تعریف و تعبیر ریاضی-هندسی

به تعریف دیگر برداری که اندازه و جهت حداکثر نرخ فضائی تغییر یک کمیت عددی را نمایش می‌دهد، گرادیان آن کمیت عددی تعریف می کنیم.

$\mathrm{\nabla }f=(\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n})$

در حالت خاص برای اسکالر الگو:چر

$f(x,y,z)$

الگو:چر، گرادیان f در دستگاه کارتزین به صورت زیر نوشته می‌شود:

$\text{grad}f=\frac{\partial f}{\partial x}𝐢+\frac{\partial f}{\partial y}𝐣+\frac{\partial f}{\partial z}𝐤=\mathrm{\nabla }f$

تعریف و تعبیر فیزیکی-ریاضی

$\mathrm{\nabla }\varphi$ برداری است در جهت بیشینه آهنگ تغییر فضایی $\varphi$ و همواره بر سطح $\varphi =cte$ عمود است. مثلاً گرادیان سرعت برابر نیروی محرکه است.

در دستگاه مختصات مختلف

در دستگاه مختصات دکارتی (کارتزین) گرادیان برابر است با:

$\mathrm{\nabla }f(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\end{array}\right)$

و در دستگاه مختصات استوانه‌ای:

$\mathrm{\nabla }f(\rho ,\theta ,z)=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial \rho },\frac{1}{\rho }\frac{\partial f}{\partial \theta },\frac{\partial f}{\partial z}\end{array}\right)$

و در دستگاه مختصات کروی عبارت است از:

$\mathrm{\nabla }f(r,\theta ,\varphi )=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial r},\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta },\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial f}{\partial \varphi }\end{array}\right)$

منابع

ویکی پدیای فارسی