ویکی‌جزوه/دانشکده:فنی و مهندسی/انتقال حرارت/مقدمه

انتقال گرماچیست؟

بدون قاب

بدون قاب

به بیان بسیار ساده می‌توان این گونه بیان کرد که انتقال گرما، گذر انرژی بر اثر اختلاف دماست.

در واقع هر گاه درون یک محیط و یا میان دو یا چند محیط اختلاف دما وجود داشته باشد انتقال گرما (به صورتهای مختلف) روی خواهد داد. انواع مختلف انتقال گرما را شیوه‌های آن می‌گویند.

انتقال گرما

علم انتقال گرما یا انتقال حرارت به تحلیل آهنگ انتقال گرما در سیستم می‌پردازد. انتقال انرژی از طریق شارش گرما را نمی‌توان مستقیما اندازه‌گیری کرد ولی این انتقال چون به یک کمیت قابل اندازه‌گیری به نام دما ارتباط دارد، دارای مفهوم فیزیکی است.

گرما

گرما صورتی از انرژی است که به علت اختلاف دما بین دو سیستم، از یکی به دیگری منتقل می‌شود. (گرما همواره در حال عبور از مرزهای سیستم است.)

دما

کمیتی است بیانگر مقدار گرمای یک جسم. دما معیاری است برای تعیین میزان گرمی یا سردی یک جسم.

یکای این کمیت در سیستم متریک کلوین می‌باشد. سایر واحدهای این کمیت عبارت‌اند از:

• درجه سلسیوس (درجه سانتیگراد)
• درجه فارنهایت

درجه رانکین نیز واحدی برای اندازه‌گیری دما است. ۲ واحد سانتی گراد و فارنهایت دمای نسبی، و ۲ واحد کلوین و رانکین دمای مطلق هستند. در واقع کلوین همان صفر مطلق در سیستم متریک است.

برخی از دماهای مهم

موضوع دما بر حسب سانتیگراد

1. نقطهٔ جوش هیدروژن مایع ۲۳۵-
2. نقطهٔ جوش اکسیژن مایع ۱۸۳-
3. نقطهٔ انجماد الکل ۱۱۵-
4. نقطهٔ انجماد جیوه ۳۹-
5. نقطهٔ ذوب یخ ۰
6. دمای بدن انسان سالم ۳۷
7. نقطهٔ جوش الکل ۷۹
8. نقطهٔ جوش آب ۱۰۰
9. نقطهٔ جوش جیوه ۳۵۷
10. نقطهٔ ذوب طلا ۱۰۶۷
11. دمای هستهٔ زمین ۳۷۰۰
12. دمای سطح خورشید ۵۷۰۰

سامانه

سامانه یا سیستم (به انگلیسی: System) مجموعه یا گروهی از اشیاء مرتبط یا غیر مرتبط است که هدف یا اهدافی خاص را دنبال می‌کنند، به گونه‌ای که واحدی پیچیده را تشکیل دهند.

سامانه یا سیستم (منظومه، و دستگاه هم گفته شده است؛ مانند: منظومهٔ شمسی - Solar system، و دستگاه معادلات خطّی - System of linear equations) چیده‌ای از عناصر پیوسته‌ای است که یک تمامیت یگانه را تشکیل می‌دهند. چنین ترکیب و چیده‌ای معمولاً مجموعه‌ای منظم را درست می‌کند و به همین رو به آن سامانه می‌گویند که از واژه پارسی سامان به معنی نظم و ترتیب گرفته شده‌است. به بخشی از یک سامانه که خود جزئی از یک سامانه دیگر باشد زیرسامانه می‌گویند. یک سامانه معمولاً دربرگیرنده بخش‌ها و عناصری است که بهم پیوسته شده‌اند تا جریان و روند داده‌ها، ماده یا انرژی را آسان تر سازند. یک سامانه معمولاً واحدهایی دارای برهمکنش دارد که برای آنها می‌توان الگوهای ریاضی تشکیل داد.

شرط انتقال حرارت

شرط انتقال حرارت خود به خودی، اختلاف دما است. اگر دو سیستم در حال ارتباط با یکدیگر هم‌دما نباشند، گرما از ناحیهٔ پر دما (گرم) به ناحیهٔ کم دما (سرد) جریان می‌یابد. و این جریان تا زمانی ادامه می‌یابد که دو سیستم هم‌دما شوند.

چون گرما به دلیل وجودِ گرادیان دمایی شارش می‌یابد، دانستن توزیع دما ضروری است.

گرادیان

در حسابان بردارها گرادیانِ یک میدان نرده‌ای، میدانی برداری‌است که مؤلفه‌های آن نرخ تغییر میدان نخستین را در جهت‌های مختلف نشان می‌دهد. جهت خود میدان برداری گرادیان جهت بیشینهٔ تغییرات است. در بحث مواد رادیو اکتیو نیز از فرمول‌های زیسس استفاده شده است

به تعبیر دیگربرداری را که اندازه و جهت حد اکثر نرخ فضائی افزایش یک کمیت عددی را نمایش می‌دهد؛ گرادیان آن کمیت عددی تعریف می‌کنیم.

$\mathrm{\nabla }f=(\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}).$

در حالت خاص برای اسکالر الگو:چر$f(x,y,z)$الگو:چر، گرادیان f در دستگاه کارتزین به صورت زیر نوشته می‌شود:

$\text{grad}f=\frac{\partial f}{\partial x}𝐢+\frac{\partial f}{\partial y}𝐣+\frac{\partial f}{\partial z}𝐤=\mathrm{\nabla }f$

کاربرد

مسئلهٔ توزیع دما و شارش گرما در بسیاری از شاخه‌های علوم و مهندسی مطرح است. مثلاً در طراحی دیگ‌های بخار، چگالنده‌ها (کْندانسورها)، مبدل‌های حرارتی و رادیاتورها تحلیل انتقال گرما برای محاسبهٔ اندازهٔ آنها لازم است.

شیوه های انتقال گرما

به طور خلاصه می توان شیوه های انتقال گرما را در سه دسته ی کلی جای داد:

۱) رسانش (Conduction)

۲) جابجایی (Convection)

۳) تشعشع (Radiation)

در واقع انتقال دهنده های اصلی گرما شامل الکترون‌های آزاد و فوتون‌ها (در شیوه هدایت) ذرات سیال (در شیوه جابجایی) و فوتونها یا امواج الکترومغناطیسی (در شیوه تشعشع) می شود.

پرونده:Javid11.JPG

انتقال حرارت

برای وقوع هر یک از سه پدیده ی فوق شرایطی لازم است که هر کدام را بصورت جداگانه توضیح می دهیم.

رسانش

وقتی در محیط ساکنی، که می‌تواند جامد یا سیال باشد، شیب دما وجود داشته باشد برای انتقال گرمایی که در محیط روی می دهد از واژه ی رسانش استفاده می کنیم. هنگام بحث در مورد رسانش باید مفاهیمی چون فعالیت اتمی و مولکولی را مورد توجه قرار دهیم زیرا فرآیند ها در این سطوح است که انتقال گرما راتداوم می بخشند. رسانش را به عنوان انتقال انرژی از ذرات پر انرژی به ذرات کم انرژی ماده، بر اثر برهمکنش های بین آن ها می توان دانست.

انتقال گرمای رسانشی با قانون فوریه بیان میشود و برای استفاده از این قانون در تعیین شار گرما باید تغییرات دما در محیط (توزیع دما) معلوم باشد.

نمونه هایی از انتقال گرمای رسانشی:

انتهای آزاد یک قاشق فلزی که به طور ناگهانی در فنجان قهوه ی داغی غوطه‌ور می شود.

انرژی زیادی که در یک روز سرد زمستانی از اتاق گرمی به هوا ی خارج منتقل می شود.

از قانون فوریه می دانیم که شارانتقال حرارت رسانشی که یک بردار است بصورت زیر تعریف می شود:

الگو:چپ‌چین الگو:پایان چپ‌چین$\overrightarrow{q^{″}}=-k\mathrm{\nabla }T$ الگو:سخ علامت منفی به این دلیل ظاهر میشود که گرما همیشه در جهت کاهش دما انتقال می یابد.

البته بیشتر اوقات این انتقال حرارت را در راستای x فرض می کنیم و رابطه ی فوق به این شکل در می آید:

$q^{\prime }{\text{'}}_x=-k\frac{dT}{dx}$

که در این روابط k به معنی رسانندگی گرمایی است و با واحد ( وات/متر کلوین) مشخص می شود.ترم دوم این عبارت نیز گرادیان دماست که در رابطه ی دوم منظور گرادیان دما در راستای x است.

همچنین از فرم انتگرالی داریم:

$\frac{\partial Q}{\partial t}=-k{\oint }_S\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}T\cdot \overrightarrow{dS}$

$\frac{\partial Q}{\partial t}$ این عبارت بیانگر مقدار حرارت انتقال یافته بر واحد زمان است( بر حسب وات ).

$\overrightarrow{dS}$ این عبارت بیانگر المانی از سطح می باشد(بر حسب متر مربع).

$\mathrm{\nabla }T$ این عبارت گرادیان دما را بیان می کند( بر حسب کلوین/متر ).

$k$ این عبارت نیز بیانگر رسانندگی گرمایی است( بر حسب وات/متر کلوین).

تا اینجا بحث ما پیرامون دستگاه مختصات خاصی نبوددر حالی که بسته به نوع دستگاه انتخابی عبارت گرادیان دما می تواند شکلهای متفاوتی داشته باشدمثلا برای مختصات دکارتی در جهت X معادله را باز کردیم.حال می توانیم شکل معادلات قبل رابا دستگاه مختصات های دیگر نظیر استوانه ای و کروی بیان کنیم که این مهم درقسمت مقدمه ای از جابجایی بحث شده است. حال برای نمونه معادله گرما را در دستگاه مختصات استوانه ای برای یک استوانه مینویسیم:

اگر استوانه بلند باشد به گونه ای که بتوان فرض یک بعدی را برای ان در جهت شعاعی کرد آنگاه داریم:

الگو:پایان چپ‌چین$Q=-k{A}_r\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}=-2k\pi r\ell \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}$

به عبارتی دیگر

$Q{\int }_{r_1}^{r_2}\frac{1}{r}\mathrm{d}r=-2k\pi \ell {\int }_{r_1}^{r_2}\mathrm{d}T$

بنابر این انتقال حرارت برابر است با

$Q=2k\pi \ell \frac{T_1-T_2}{\ln r_2-\ln r_1}$

که در رابطه ی فوق

$T_2-T_1$ بیانگر اختلاف دما بین دیواره ی بیرونی و داخلی است.

$r_1$ بیانگر شعاع داخلی است.

$r_2$ بیانگر شعاع خارجی است.

L نیز بیانگر طول است.

جابجایی

برای انتقال گرمای بین سطح و سیالی متحرک، که دمای آن‌ها با هم متفاوت است، از واژهٔ جابجایی استفاده می‌شود. انتقال گرمای جابجایی از دو مکانیزم تشکیل می‌شود. یکی انتقال انرژی ناشی از حرکت تصادفی مولکول‌ها (پخش) و دیگری انتقال انرژی بر اثر حرکت کپه‌ای (ماکروسکوپیک) سیال است. معمولاً از واژهٔ کنوکسیون برای این انتقال ترکیبی و از واژهٔ ادوکسیون برای انتقال ناشی از حرکت کپه‌ای سیال استفاده می‌شود.الگو:سخحرکت تصادفی مولکولی (پخش) در نزدیک سطح که درآنجا سرعت سیال کم است سهم اصلی را دارد.الگو:سخوقتی که جریان توسط وسایل خارجی از قبیل فن و یا پمپ به وجود بیاید جابجایی واداشته داریم. در مقابل در جابجایی آزاد (یا طبیعی)، جریان بر اثر نیروهای شناوری (نیروهایی که از اختلاف چگالی ناشی از تغییرات دما در سیال به وجود می‌آیند) بوجود می‌آید.

نمونه‌ای از انتقال گرمای جابجایی:

فن‌های کامپیوتر که بردهای داخل کیس کامپیوتر را خنک می‌کنند.الگو:سخماهیت فرایند انتقال گرمای جابه جایی هر چه باشد معادلهٔ آهنگ آن به صورت زیر است:الگو:سخ

 الگو:چپ‌چین

الگو:پایان چپ‌چین$q{\text{'}}^{\prime }=h(T(t)-T_{env})$ الگو:سخرابطهٔ بالا را قانون سرمایش نیوتن می‌نامند.

در این نوع از انتقال حرارت رابطهٔ زیر برقرار است:

$\frac{dQ}{dt}=h\cdot A(T(t)-T_{\text{env}})=-h\cdot A\mathrm{\Delta }T(t)$

$\text{h}$ در این عبارت ضریب انتقال حرارت جابجایی نام دارد (بر حسب وات/متر مربع کلوین).

$\text{A}$ این عبارت بیانگر مساحت مقطعی است که انتقال حرارت از آن انجام می‌گیرد (برحسب متر مربع).

$T$ این عبارت بیانگر دمای سطح جسم است (بر حسب کلوین).

$T_{\text{env}}$ این عبارت بیانگر دمای محیط است (بر حسب کلوین).

$\mathrm{\Delta }T(t)=T(t)-T_{\text{env}}$ این عبارت بیانگر اختلاف دمای بین سطح جسم و محیط بر حسب زمان است.

تشعشع

تمام سطوح با دمای معین انرژی را به شکل امواج الکترو مغناطیس (یا به عبارت دیگر فوتون ها) گسیل می دارند. از این رو، در نبود محیط واسط، میان دو سطح با دماهای مختلف انتقال گرمای خالص تشعشعی را داریم. به عبارتی دیگر تشعشع گرمایی، انرژی گسیل شده توسط ماده ایست که در دمای معینی قرار دارد. تشعشع می تواند از سطح جامدات، مایعات و حتی گاز ها نیز صورت بگیرد. به طور کلی ماده به هر شکلی که باشد، گسیل انرژی را می توان به به تغییرات وضعیت الکترون های اتم ها یا مولکول های تشکیل دهنده ی آن ارتباط داد. انتقال حرارت به شیوه ی تشعشع بر خلاف دو شیوه ی دیگر نیازمند فضای مادی نیست.در حقیقت انتقال تشعشع در خلا به موثرترین وجه انجام میشود.

نمونه ای از انتقال گرمای تشعشی:

انتقال حرارت از سطح یک فلز داغ سرخ شده.

انرژی میدان تشعشع توسط امواج الکترومغناطیسی (یا فتونها) انتقال پیدا می‌کند. همهٔ اجسام بااستفاده ازاین امواج دردمای بیشتر از صفر کلوین ازخود انرژی ساطع می‌کنند. به این نوع انتقال حرارت، تابش جابجایی می‌گویند.

یک حد بالایی برای توان گسیل وجود دارد که با قانون استفان-بولتزمن بیان میشود(چنین سطحی را جسم سیاه می گویند) :

$j^{\star }=\sigma T^4.$ الگو:سخ

T:دمای مطلق سطح(کلوین)الگو:سخ

$\sigma =5.67\ast {10}^{-8}(w/m^2.k^4)$ ثابت استفان-بولتزمن

برای اجسام دیگر (شار گرمای گسیل شده توسط سطوح حقیقی کمتر از شار گرمای جسم سیاه با همان دما است)، رابطه ذیل با احتساب ضریبی برقرار است :

$j^{\star }=\epsilon \sigma T^4.$

الگو:سخدر عبارت فوق $\epsilon$ یکی از خواص تشعشعی سطح به نام گسیلمندی است.( $0\le \epsilon \le 1$

و توان کلی انتقال یافته برابر است با :

$P=ϵ\cdot \sigma \cdot A\cdot T^4$

الگو:سخ و هم چنین تبادل گرمای تشعشعی را به صورت زیر بیان میکنیم:الگو:سخ

$q_{rad}=h_{r}A(T-T_{sur})$ الگو:سخ

$h_r$ ضریب انتقال گرمای تشعشعی

$h_r=\sigma \epsilon (T+T_{sur})(T^2+T_{sur}^2)$ الگو:سخ

$T_{sur}$ دمای محیط اطراف

روش تحلیل (الگوریتم) مسائل انتقال حرارت

۱) سطح کنترل مشخص گردد که جهت انتقال گرما را نشان دهد و ماده همگن در نظر گرفته می‌شود مثلاً آهن خالص.

۲) روش انتقال حرارت مشخص شود که یک بعدی و یا سه بعدی می‌باشد.

۳) مبنای زمانی تعیین می‌شود که معمولاً در یک ثانیه انتقال حرارت محاسیه می‌شود.

۴)معادله حرارت یا انرژی نوشته می‌شود که مبنای زمانی یک ثانیه است. هر دو دارای یک واحد می‌باشد.

۵) حجم کنترل را در نظر می‌گیریم و معادله دیفرانسیل را برای هر نقطه از سیستم حل می‌کنیم.

۶) با در نظر گرفتن فرض‌های مسئله محاسبات را تا رسیدن به نتایج خواسته شده انجام می‌دهیم.

خلاصه مطالب و جدول مقاومت‌های حرارتی در سه حالت:

معادلات انتقال حرارت و مقاومت گرمایی معادل.

نوع انتقال حرارت	نرخ انتقال حرارت	مقاومت حرارتی
رسانش	$\dot{Q}=\frac{T_1-T_2}{\frac{L}{kA}}$	$\frac{L}{kA}$
جابجایی	$\dot{Q}=\frac{T_{surf}-T_{envr}}{\frac{1}{h_{conv}{A}_{surf}}}$	$\frac{1}{h_{conv}{A}_{surf}}$
تشعشع	$\dot{Q}=\frac{T_{surf}-T_{surr}}{\frac{1}{h_r{A}_{surf}}}$	$\frac{1}{h_{r}A}$الگو:سخ$h_r=a\sigma A_{surf}(T_{surf}+T_{surr})(T_{surf}^2+T_{surr}^2)$

مثال۱

بررسی انتقال حرارت در فلاسک چای:

پرونده:فلاسك.JPG

انتقال گرما در فلاسک چای

در فلاسک چای اگر شرایط واقعی را بخواهیم در نظر بگیریم، هر ۳ راه انتقال حرارت رسانشی، جابجایی، تشعشعی وجود دارد.

هدف از ایجاد فلاسک این است که چای و یا محتوای خود را از انتقال حرارت با محیط بازدارد، و آهنگ انتقال گرما را به شدت کاهش دهد.

از آنجایی که رسانش نیاز به ماده دارد بخش گسترده‌ای از بدنه فلاسک را با جداره‌ای که بین آن خلاء ایجاد شده می‌پوشانند.

برای جلوگیری از انتقال گرمای جابجایی نیز باید از بزرگ در نظر گرفتن اندازه فلاسک بدون نیاز، پرهیز کرد.

با توجه به اینکه اثر انتقال حرارت رسانش و جابجایی تا حدود زیادی با این روش‌ها کاهش می‌یابد به سراغ انتقال حرارت تشعشعی می‌رویم. برای کاهش این نوع از انتقال حرارت نیز جداره را آینه‌ای می‌سازیم تا اثر تابش نیز ناچیز شود.

مثال۲

سیالی از روی ساچمهٔ نشان داده شده در شکل عبور می‌کند، توزیع دما $T(t)$ را بیابید. مشخصات سیال و دمای سطح ساچمه در شکل مشخص شده است، همچنین فرض می‌کنیم که دمادر همه جای ساچمه یکسان است.

پرونده:ساچمه.png

ساچمه

با توجه به شرایط مرزی داریم: الگو:چپ‌چین $\begin{array}{cc}& T(T=0)=T_0\\ & T(T=\mathrm{\infty })=T_{\mathrm{\infty }}\end{array}$

معادله بقای انرژی عبارت است از: الگو:چپ‌چین $\frac{\partial E_{c.v}}{\partial t}={\dot{E}}_{in}-{\dot{E}}_{out}+{\dot{E}}_{gen}$

از قبل داشتیم که: الگو:چپ‌چین $m=\rho v$

با فرض: الگو:چپ‌چین ${\dot{E}}_{in}={\dot{E}}_{gen}=0$

با توجه به جابجایی در سطح:

${\dot{E}}_{out}=h{A}_s(T-T_{\mathrm{\infty }})$ الگو:چپ‌چین الگو:پایان چپ‌چین همچنین مساحت کره برابر است با: الگو:چپ‌چین $A_S=\pi D^2$

حال با جایگذاری روابط بالا در رابطه بقای انرژی خواهیم داشت:

$\frac{\partial E_{c.v}}{\partial t}=mc\frac{\partial T}{\partial t}$

$\rho c\frac{\pi D^3}{6}\frac{dT}{dt}=-h\pi D^2(T-T_{\mathrm{\infty }})$

$\frac{dT}{dt}=\frac{-6h}{\rho cD}(T-T_{\mathrm{\infty }})$

تغییر متغیر: الگو:چپ‌چین $\theta =(T-T_{\mathrm{\infty }})$

حال با انتگرال‌گیری از طرفین معادله زیر

$\frac{d\theta }{dt}=\frac{-6h\theta }{\rho cD}{\int }_{T_0-T_{\mathrm{\infty }}}^{T(t)-T_{\mathrm{\infty }}}\frac{d\theta }{\theta }={\int }_0^t\frac{-6h}{\rho cD}dt$

به رابطه جدیدی دست پیدا می‌کنیم

$\ln (\frac{T(t)-T_{\mathrm{\infty }}}{T_0-T_{\mathrm{\infty }}})=\frac{-6h}{\rho cD}t$

حال با کمی ساده‌سازی به رابطه نهایی دست می‌یابیم

$T(t)=T_{\mathrm{\infty }}+(T_0-T_{\mathrm{\infty }})e^{\frac{-t}{\tau }}$

$\tau =\frac{\rho cD}{6h}$